考慮滿意度的兩階段DEA固定成本分?jǐn)偡椒?/h1>
2019-03-07 06:55:26李金林
中國管理科學(xué) 2019年2期
張 冉，冉 倫，杜 濤,4，李金林
(1.中國光大集團(tuán)博士后工作站，北京 100033；2.清華大學(xué)五道口金融學(xué)院博士后流動(dòng)站，北京 100083；3.北京理工大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)院，北京 100081；4.延安大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，陜西 延安 716000)
1 引言
數(shù)據(jù)包絡(luò)分析(Data Envelopment Analysis, DEA)方法是用來評(píng)價(jià)具有多項(xiàng)投入和多項(xiàng)產(chǎn)出的決策單元(Decision Making Units, DMU)相對(duì)效率的方法，最早由Charnes等[1]提出。由于固定成本可以作為一項(xiàng)投入要素，因此很多學(xué)者采用DEA方法來研究固定成本的分?jǐn)倖栴}。這類問題有著廣泛的應(yīng)用背景，如集團(tuán)公司為各子公司建立統(tǒng)一的信息系統(tǒng)所需要的成本如何在各子公司進(jìn)行分?jǐn)?，銀行系統(tǒng)為各分行建立統(tǒng)一的交易系統(tǒng)所需要的花費(fèi)如何分?jǐn)偟鹊取?/p>
近年來，DEA方法已被廣泛地應(yīng)用到固定成本的分?jǐn)倖栴}中，并取得了諸多的研究成果。Cook和Kress[2]首次將DEA方法應(yīng)用到固定成本分?jǐn)倖栴}中，將待分?jǐn)偟某杀究醋鲆环N新的投入要素，以成本分?jǐn)偤蟾鱀MU的效率不變和Pareto最小性為準(zhǔn)則，提出了確定成本分?jǐn)偡桨傅姆椒?。Beasley[3]以最大化所有DMU的效率和的平均值為目標(biāo)，建立了一個(gè)非線性的DEA模型。李勇軍和梁樑[4]證明了任何DMU在自我設(shè)計(jì)方案時(shí)，都能找到一組分?jǐn)偡桨甘蛊渥陨淼南鄬?duì)效率值達(dá)到最大值1。并給出了在一組公共權(quán)重下，可以使得組織整體和各DMU效率同時(shí)達(dá)到最優(yōu)的成本分?jǐn)偡桨讣＿M(jìn)而利用Nash討價(jià)還價(jià)博弈模型求得唯一的分?jǐn)偡桨?。隨后，李勇軍等[5]將DEA方法與聯(lián)盟博弈相結(jié)合，定義了聯(lián)盟博弈的特征函數(shù),提出了基于核仁解的固定成本分?jǐn)偰Ｐ?。Li Yongjun等[6]定義了DMU對(duì)分?jǐn)偡桨傅臐M意度，以最大化最小的滿意度為目標(biāo)函數(shù)建立DEA成本分?jǐn)偰Ｐ?，得到唯一的成本分?jǐn)偡桨浮u Juan等[7]提出了一種交叉效率的方法，設(shè)計(jì)了一個(gè)迭代過程得到最優(yōu)的成本分?jǐn)偡桨?。其他的利用DEA方法進(jìn)行成本和資源分?jǐn)偟难芯靠蓞⒁奀ook和Zhu[8]、雷西洋等[9]。以上這些文獻(xiàn)主要集中在決策單元只有一個(gè)生產(chǎn)階段的情況下采用DEA方法進(jìn)行固定成本分?jǐn)偂?/p>
實(shí)際生活中，決策單元可能存在兩個(gè)(或多個(gè))生產(chǎn)階段，其中第一個(gè)階段的產(chǎn)出又作為第二個(gè)階段的投入。例如銀行系統(tǒng)中，第一階段投入人力等資源獲得客戶存款，第二階段再用這些存款進(jìn)行放貸，最終獲得收益。這樣的兩階段DMU的固定成本分?jǐn)偛粌H要考慮固定成本在各DMU之間的分?jǐn)?，還要考慮到階段間的成本分?jǐn)?。目前，兩階段DEA方法的研究較為豐富，如Kao和Hwang[10]、Chen Yao等[11]和畢功兵等[12]，但是利用兩階段DEA方法進(jìn)行固定成本分?jǐn)偟难芯亢苌?。孫玉華和曾慶鐸[13]考慮兩階段網(wǎng)絡(luò)DEA，選取兩階段效率的乘積作為DMU的整體效率，通過最大化DMU整體的效率建立DEA模型。在設(shè)計(jì)成本分?jǐn)偡桨笗r(shí)考慮DMU各階段存在博弈的情況，建立討價(jià)劃價(jià)模型確定DMU和各階段的分?jǐn)偝杀尽Ｈ欢?，他們的研究只是?jiǎn)單的將李勇軍[4]的方法從單階段系統(tǒng)平移到兩階段系統(tǒng)中，并沒有給出該方法適用于兩階段串聯(lián)系統(tǒng)的證明，也沒有任何的數(shù)值算例，使得其研究缺乏理論依據(jù)。Yu等[14]選取加法形式的效率，選取兩階段效率的加權(quán)和作為DMU的整體效率。將Du Juan等[7]提出的交叉效率的方法應(yīng)用到兩階段串聯(lián)系統(tǒng)中。但很可惜，他們的研究并沒有證明交叉效率迭代方法在兩階段串聯(lián)系統(tǒng)可以得到唯一的最優(yōu)解。而且，數(shù)值算例的結(jié)果也顯示最終各DMU兩階段的效率并沒有達(dá)到最優(yōu)。
總的來說，現(xiàn)有的考慮兩階段DEA進(jìn)行固定成本分?jǐn)偟难芯慷际呛?jiǎn)單的將單階段系統(tǒng)的固定成本分?jǐn)偡椒ㄆ揭频絻呻A段系統(tǒng)中。無論是孫玉華和曾慶鐸[13]，還是Yu等[14]都沒有給出方法適用性證明，缺乏理論依據(jù)。與這些研究不同，本文將Li Yongjun等[6]的研究拓展到兩階段生產(chǎn)系統(tǒng)中，證明了該方法的適用性。然后，進(jìn)一步考慮了兩階段存在共享投入的情況下如何進(jìn)行固定成本分?jǐn)?。具體地，選取Chen Yao等[11]提出的加性兩階段DEA整體效率，以最大化當(dāng)前DMU整體效率為目標(biāo)函數(shù)建立DEA成本分?jǐn)偰Ｐ?。首先證明了每個(gè)DMU都可以找到至少一種成本分?jǐn)偡桨甘沟闷渥陨碚w效率和兩階段效率均為1，即Pareto有效。然后證明了存在至少一種成本分?jǐn)偡桨?，使得在一組適當(dāng)?shù)墓矙?quán)重下，所有DMU的整體效率和兩階段的效率均是Pareto有效的，并給出了這樣的有效成本分?jǐn)偡桨讣?。在這個(gè)方案集中，考慮各DMU各階段對(duì)分?jǐn)偡桨傅臐M意度，以最大化最小的滿意度為目標(biāo)，建立最終的DEA成本分?jǐn)偰Ｐ停梢缘玫揭唤M最為公平的成本分?jǐn)偡桨?。將問題拓展到兩階段存在共享投入的生產(chǎn)系統(tǒng)中，這些性質(zhì)定理同樣成立。數(shù)值算例部分選取某銀行的27個(gè)分行的投入產(chǎn)出數(shù)據(jù)，將本文提出的方法與Yu等[14]的研究結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，指出了本文提出方法的優(yōu)越性。然后，將投入數(shù)據(jù)作為共享投入處理，進(jìn)一步給出了考慮共享投入下的固定成本分?jǐn)偨Y(jié)果，并與未將投入視為共享投入的情況下得到的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。利用本文的方法進(jìn)行固定成本分?jǐn)偰軌虮ＷC各分行的整體和階段效率均為Pareto有效，并且分?jǐn)偡桨赋浞挚紤]了各DMU兩階段的滿意度，有利于分?jǐn)偡桨傅膶?shí)際執(zhí)行。
2 考慮固定成本分?jǐn)偟膬呻A段效率評(píng)價(jià)模型
s.t.
(1)
圖1 兩階段DMU系統(tǒng)
在DEA理論中，當(dāng)被評(píng)價(jià)決策單元的相對(duì)效率值為1的時(shí)候，稱其為Pareto有效。
定理1模型(1)中，對(duì)于任意的DMUd，都存在至少一種成本分?jǐn)偡桨?，使得其自身整體效率和兩階段的效率同時(shí)達(dá)到Pareto有效。
證明：對(duì)于任意DMUd，令：
這是因?yàn)棣螡M足模型(1)的所有約束條件：
定理1說明了每個(gè)DMU從自身的角度出發(fā)，都可以找到至少一組分?jǐn)偡桨甘蛊渥陨頍o論是整體效率還是階段效率都達(dá)到帕累托有效。但是從每個(gè)DMU自身角度出發(fā)得到的成本分?jǐn)偡桨覆荒鼙ＷC其他DMU也達(dá)到Pareto有效，因此需要尋求一種分?jǐn)偡桨讣?，使得所有DMU的兩階段效率和整體效率能夠同時(shí)達(dá)到Pareto有效。
定理2在模型(1)下，至少存在一種成本分?jǐn)偡桨?，使得在一組公共的權(quán)重下，所有DMU的兩階段效率和整體效率同時(shí)達(dá)到Pareto有效。
證明：同樣地，令：
(2)
證明：由定理2可知，存在一組共同的權(quán)重使得所有DMU的兩階段效率和整體效率均為1，假設(shè)這組公共權(quán)重為(vi,ur,?i,r)，則有：
(3)
顯然等式組(3)可以轉(zhuǎn)化為等式組(2)，因此基于(2)的成本分?jǐn)偡桨讣?，能夠保證在一組適當(dāng)?shù)墓矙?quán)重下使得所有DMU的整體效率和階段效率均為1。
定理1至定理3構(gòu)成了本文的兩階段DEA固定成本分?jǐn)偡椒ǖ睦碚摶A(chǔ)。它們保證了在一組適當(dāng)?shù)墓矙?quán)重下，決策者可以找到至少一組成本分?jǐn)偡桨?，使得所有DMU的階段效率和總效率都達(dá)到最優(yōu)，同時(shí)系統(tǒng)的總效率也達(dá)到最優(yōu)。定理3中給出的有效成本分?jǐn)偧械娜魏我粋€(gè)成本分?jǐn)偡桨?，都能夠找到一組合適的公共權(quán)重，使得所有DMU的兩階段效率和總效率都達(dá)到最優(yōu)。
問題(1)是一個(gè)分式規(guī)劃，通過Charnes-Cooper變換將其轉(zhuǎn)換成線性規(guī)劃問題，令：
(4)
3 考慮滿意度的兩階段固定成本分?jǐn)偰Ｐ?/h2>
由定理2可知問題(1)存在唯一的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值1，但使得其目標(biāo)函數(shù)值最優(yōu)的解可能存在很多。即可能存在多種權(quán)重組合和成本分?jǐn)偡桨?，使得DMU的最優(yōu)效率值為1。為了尋求一組確定的成本分?jǐn)偡桨?，考慮各DMU對(duì)成本分?jǐn)偟墓礁兄?，在有效成本分?jǐn)偡桨讣袑ふ乙唤M最為公平的分?jǐn)偡桨浮?/p>
(5)
模型(5)有效地將DMU各階段的DEA相對(duì)效率與其對(duì)分?jǐn)偡桨傅臐M意程度結(jié)合起來。由于采用的是Pareto有效的成本分?jǐn)偡桨讣鳛榧s束條件，因此，可以保證由此得到的分?jǐn)偡桨缚梢允顾蠨MU整體和兩階段效率能夠在一組公共的權(quán)重下同時(shí)達(dá)到Pareto有效。由模型(5)得到的分?jǐn)偡桨赋浞挚紤]了各DMU各階段對(duì)分?jǐn)偨Y(jié)果的滿意度，使得分?jǐn)偡桨父庸健?/p>
(6)
這里我們把n個(gè)DMU拆分成2n個(gè)DMU，即把每個(gè)DMU的每個(gè)階段都當(dāng)做一個(gè)DMU，使其最小的滿意度最大。模型(6)轉(zhuǎn)化為：
(7)
則上述模型中ρj,j=1,2,…,n,是DMUj第I階段的滿意度，ρj,j=n+1,n+2,…,2n,是第II階段的滿意度。Rj,j=1,2,…,n,是DMUj第I階段的固定成本分?jǐn)偭浚琑j,j=n+1,n+2,…,2n,是DMUj第II階段的固定成本分?jǐn)偭?。設(shè)計(jì)以下步驟獲得模型(7)的最終解。
步驟3：令l=l+1,求解下面的模型：
…
ρj≥β,j∈J2l-3,j∈J2l-2
ur,vi,wf,Rj≥0, ?i,r,j
(8)
上述方法可以保證在有限的迭代過程后得到唯一的最優(yōu)解。得到的解是使得各DMU各階段的滿意度差別最小的，保證了分?jǐn)偨Y(jié)果的公平性。同時(shí)由于所有的計(jì)算過程都是以有效的成本分?jǐn)偡桨讣癁榧s束條件的，因此得到的分?jǐn)偡桨缚梢允沟迷谝唤M公共的權(quán)重下，所有的DMU和各階段效率都是Pareto有效的。
4 考慮兩階段存在共享投入的情況
現(xiàn)實(shí)生活中，這些兩階段生產(chǎn)系統(tǒng)往往具有一些共同的投入資源，且該資源很難被清楚地劃分到兩個(gè)階段的生產(chǎn)過程中。如Chen等[16]認(rèn)為銀行的存款階段需要人員、信息技術(shù)、固定資產(chǎn)等投入，同樣，在貸款階段也需要人員、信息技術(shù)和固定資產(chǎn)等投入。而且，這兩個(gè)階段的共同投入很難劃分清楚。因此，考慮共享投入后再依據(jù)效率來進(jìn)行固定成本的分?jǐn)偢臃蠈?shí)際，更具有指導(dǎo)意義。因此，將所研究的兩階段生產(chǎn)系統(tǒng)進(jìn)行拓展，考慮對(duì)如圖2所示的決策單元進(jìn)行固定成本分?jǐn)偂?/p>
圖2 具有共享投入的兩階段DMU系統(tǒng)
對(duì)于每個(gè)DMUj，其共享的投入在兩階段之間的比例βi2j在理論上的取值范圍是[0,1]，但當(dāng)βi2j取0或1的時(shí)候代表項(xiàng)投入資源要么全部用于第I階段生產(chǎn)，要么全部用于第II階段的生產(chǎn)，因此就不是共享的投入了。而且，在實(shí)際中，每個(gè)DMU每項(xiàng)共享的投入其在兩階段的占比會(huì)有一個(gè)大概的取值范圍，參照Chen Yao等[16]的研究，本文設(shè)置為[Li2j,Ui2j]。對(duì)于任意的DMUd，最大化其整體效率可以建立以下模型：
s.t.
Li2j≤βi2j≤Ui2j, ?i2∈I2,j=1,2,…,n
(9)
Li2j≤βi2j≤Ui2j, ?i2∈I2, ?j
(10)
實(shí)際上，由于階段I和階段II都參與固定成本的分?jǐn)偅虼斯潭ǔ杀疽彩且环N共享的投入?？梢哉f，不考慮共享投入是一種特殊情況，共享投入的模型更加具有一般化。因此，是否考慮共享投入不會(huì)影響到本文幾個(gè)定理的結(jié)論。即對(duì)于任意的決策單元，總是能找到至少一種成本分?jǐn)偡桨福沟闷渥陨碚w效率和兩階段的效率同時(shí)達(dá)到Pareto有效。并且當(dāng)對(duì)所有決策單元采用一組合適的公共權(quán)重來進(jìn)行效率評(píng)價(jià)時(shí)，能夠找到至少一組成本分?jǐn)偡桨甘沟盟袥Q策單元的整體效率和兩階段的效率同時(shí)達(dá)到Pareto有效。
s.t.
υi2Li2j≤γi2j≤υi2Ui2j, ?i2∈I2,j=1,2,…,n
(11)
Li2j≤βi2j≤Ui2j, ?i2∈I2, ?j
(12)
同樣可以采用第3節(jié)中的算法求解模型(12)，由于采用的是Pareto有效的成本分?jǐn)偡桨讣鳛榧s束條件，因此，可以保證由此得到的分?jǐn)偡桨缚梢允顾蠨MU整體和兩階段效率能夠在一組公共的權(quán)重下同時(shí)達(dá)到Pareto有效。
5 算例分析
為了方便與Yu等進(jìn)行對(duì)比，本文同樣采用Chen Yao等[16]使用的銀行的相關(guān)數(shù)據(jù)對(duì)上述建立的考慮滿意度的兩階段固定成本分?jǐn)偰Ｐ瓦M(jìn)行檢驗(yàn)。數(shù)據(jù)中的27個(gè)分行隸屬于同一個(gè)銀行，并且各自獨(dú)立運(yùn)營(yíng)。每個(gè)分行都以固定資產(chǎn)、IT投入和員工作為第一階段的投入來獲得顧客存款。然后在第二階段利用這些存款作為投入，以貸款回收比例和利潤(rùn)作為產(chǎn)出。
假設(shè)銀行總行要將100萬美元的某項(xiàng)固定成本分?jǐn)偟?7個(gè)分行。利用本文提出方法，首先算出每個(gè)DMU各階段固定成本均攤的最大值和最小值，然后建立模型(5)，采用本文改進(jìn)的算法來求解，利用Matlab編程，程序計(jì)算1次就滿足了n1+n2+…+nl≥m+g+s，即滿意度最小的決策單元的數(shù)量大于6，這時(shí)迭代停止，得到的最終的兩階段成本分?jǐn)偨Y(jié)果、滿意度和公共權(quán)重下的效率如表1所示：
表1中第2至5列分別顯示了各DMU兩階段需要分?jǐn)偟墓潭ǔ杀镜淖钚≈岛妥畲笾?。所有DMU第I階段需要分?jǐn)偟某杀镜淖钚≈刀际?。而對(duì)于DMU的階段II，只有幾個(gè)分行的最小值是0，大多數(shù)分行的最小值都大于0。這意味著大多數(shù)分行的階段II勢(shì)必要比階段I分?jǐn)偢喑杀尽Ｍ瑯?，通過對(duì)比各DMU兩階段需要分?jǐn)偟淖畲蟮某杀疽部梢钥闯?，階段II需要分?jǐn)偟淖畲笾狄财毡楸入A段I高。這與通過對(duì)比最小值得到的結(jié)論是一致的。第6和7列是模型最終算得的各DMU兩階段需要分?jǐn)偟墓潭ǔ杀镜淖顑?yōu)值，所有DMU兩階段的固定成本分?jǐn)偟目偭繛镽=100。在這個(gè)分?jǐn)偡桨赶?，可以保證DMU各階段對(duì)分?jǐn)偡桨傅淖钚M意度最大化。第8和9列即是各DMU各階段對(duì)該分?jǐn)偡桨傅臐M意度。其中第 6，8，9，10，11，14，15，16分行的階段I和第3，14，24分行的階段II對(duì)分?jǐn)偡桨傅臐M意度最低，為0.54。其他分行的兩階段對(duì)分?jǐn)偡桨傅臐M意度均高于0.54，最大的滿意度為第20分行的階段II0.75。滿意度最小的決策單元的個(gè)數(shù)為11大于6，因此模型計(jì)算1次即終止。最后3列驗(yàn)證了在這組公共權(quán)重下，各DMU按照上述結(jié)果對(duì)各階段進(jìn)行固定成本分?jǐn)?，可以保證所有DMU的整體和階段效率均為Pareto有效。通過對(duì)比第8列和第9列數(shù)據(jù)還可以發(fā)現(xiàn)，同一個(gè)DMU在兩個(gè)階段之間對(duì)固定成本的分?jǐn)偡桨傅臐M意度也很相近。因此，該分?jǐn)偡桨甘禽^公平的，切實(shí)可行的。
接下來，將利用本文提出的方法得到的結(jié)果與Yu等[14]的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，見表2。
表1 本文方法固定成本分?jǐn)偟南嚓P(guān)結(jié)果
表2 本文和Yu等[14]分?jǐn)偨Y(jié)果對(duì)比
續(xù)表2 本文和Yu等分?jǐn)偨Y(jié)果對(duì)比
表2中Yu等[14]的結(jié)果是通過兩階段DEA交叉效率的方法得到的。本文則是采用公共權(quán)重對(duì)所有DMU進(jìn)行效率評(píng)價(jià)和成本分?jǐn)?。由于Yu等[14]文中只給出了DMU整體分?jǐn)偟某杀玖亢头謹(jǐn)偤髢呻A段的效率，因此，這里僅對(duì)這幾項(xiàng)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。通過對(duì)比DMU整體的成本分?jǐn)偭靠梢钥闯?，兩種方法的分?jǐn)偨Y(jié)果存在一定的差別。但從整體的分?jǐn)傏厔?shì)來看，兩種方法的結(jié)果是一致的。如第7、9和18分行的成本分?jǐn)偭烤哂谄渌中校坏?2、16和17分行的成本分?jǐn)偭烤陀谄渌中械?。通過對(duì)比分?jǐn)偤髢呻A段的效率，可以明顯看出，本文提出的方法能夠保證所有的DMU兩階段的效率都達(dá)到最優(yōu)值1。而Yu等[14]在分?jǐn)偤髢呻A段的效率并非都達(dá)到了最優(yōu)值1，這也說明了該方法存在一定的改進(jìn)空間。因此，從分?jǐn)偤蟾鱀MU的效率來看，本文提出的方法優(yōu)于Yu等[14]的方法。
實(shí)際生活中，銀行的存貸款兩階段都需要固定資產(chǎn)、IT投入和員工。因此，這些投入是兩階段共享的資源，而且很難進(jìn)行精確的劃分。針對(duì)這種情況，本文參照Chen Yao等[16]的設(shè)置，假設(shè)不同分行同一種共享投入資源比例的上下界是相同的，設(shè)定這三項(xiàng)共享的投入資源用于階段I的比例區(qū)間分別為0.4≤βF≤0.6，0.25≤βI≤0.75和0.55≤βE≤0.75。利用第4節(jié)中的方法來分?jǐn)?00萬美元固定成本。將是否作為共享投入處理得到的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如表3所示。
表3 是否視為共享投入的結(jié)果對(duì)比
表3中第2至7列是未將固定資產(chǎn)、IT投入和員工作為共享投入處理得到的結(jié)果。第8至13列是將它們作為共享投入處理得到的結(jié)果?？梢钥闯觯瑹o論是否將它們作為共享投入，最終得到的結(jié)果，各DMU整體及其兩階段的公共權(quán)重效率都為1?？紤]共享投入的情況下，所有決策單元階段I的
表3 是否視為共享投入的結(jié)果對(duì)比
成本分?jǐn)偭慷甲冃?，階段II的成本分?jǐn)偭孔兇?。這是因?yàn)殡A段I的投入分出去一部分到階段II，即階段I 的投入減少，與之對(duì)應(yīng)的其應(yīng)該分?jǐn)偟某杀疽搽S之減少。同理，階段II的投入增加，則與之對(duì)應(yīng)的其應(yīng)該分?jǐn)偟某杀疽搽S之增加。因此，是否考慮共享投入對(duì)成本分?jǐn)偟慕Y(jié)果是有影響的。當(dāng)兩階段存在共享的投入資源時(shí)，將這些資源分配到兩階段后再進(jìn)行計(jì)算更加合理。
6 結(jié)語
本文研究?jī)呻A段DEA固定成本分?jǐn)倖栴}。首先從效率的角度出發(fā)，證明了每個(gè)DMU從自身角度出發(fā)都能夠找到至少一組成本分?jǐn)偡桨?，使得其自身達(dá)到Pareto有效。對(duì)各DMU選取相同的投入產(chǎn)出權(quán)重時(shí)，至少存在一種固定成本分?jǐn)偡桨福沟酶鱀MU的整體和兩階段都是Pareto有效的，并給出了使得DMU的整體和階段效率在公共的權(quán)重下都達(dá)到Pareto有效的有效成本分?jǐn)偡桨讣?。然后從公平的角度，定義了DMU各階段對(duì)分?jǐn)偡桨傅臐M意度，在滿足有效成本分?jǐn)偡桨讣那疤嵯?，最大化最小的滿意度得到最終的分?jǐn)偡桨浮Ｈ缓髮栴}拓展到兩階段含有共享投入的情況下，證明了這些定理和性質(zhì)同樣成立。數(shù)值算例部分將本文與Yu等[14]的研究結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，驗(yàn)證了本文方法的可行性和有效性，指出了本文方法的優(yōu)越性。
本文提出的方法適用于組織采用統(tǒng)一的權(quán)重進(jìn)行效率評(píng)價(jià)和成本分?jǐn)偟那闆r。例如，銀行總行對(duì)各分行進(jìn)行固定成本分?jǐn)?、連鎖超市對(duì)各子超市進(jìn)行固定成本分?jǐn)偂⒓瘓F(tuán)總公司對(duì)各子公司進(jìn)行固定成本分?jǐn)偟?。本文既考慮了DMU的整體和階段效率，又考慮了DMU各階段對(duì)分?jǐn)偡桨傅臐M意度，兼顧了效率和公平，得到的分?jǐn)偡桨负侠砜尚?，能夠?yàn)楣芾碚咛峁┮欢ǖ臎Q策依據(jù)。
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張 冉，冉 倫，杜 濤,4，李金林
(1.中國光大集團(tuán)博士后工作站，北京 100033；2.清華大學(xué)五道口金融學(xué)院博士后流動(dòng)站，北京 100083；3.北京理工大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)院，北京 100081；4.延安大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，陜西 延安 716000)
1 引言
數(shù)據(jù)包絡(luò)分析(Data Envelopment Analysis, DEA)方法是用來評(píng)價(jià)具有多項(xiàng)投入和多項(xiàng)產(chǎn)出的決策單元(Decision Making Units, DMU)相對(duì)效率的方法，最早由Charnes等[1]提出。由于固定成本可以作為一項(xiàng)投入要素，因此很多學(xué)者采用DEA方法來研究固定成本的分?jǐn)倖栴}。這類問題有著廣泛的應(yīng)用背景，如集團(tuán)公司為各子公司建立統(tǒng)一的信息系統(tǒng)所需要的成本如何在各子公司進(jìn)行分?jǐn)?，銀行系統(tǒng)為各分行建立統(tǒng)一的交易系統(tǒng)所需要的花費(fèi)如何分?jǐn)偟鹊取?/p>
近年來，DEA方法已被廣泛地應(yīng)用到固定成本的分?jǐn)倖栴}中，并取得了諸多的研究成果。Cook和Kress[2]首次將DEA方法應(yīng)用到固定成本分?jǐn)倖栴}中，將待分?jǐn)偟某杀究醋鲆环N新的投入要素，以成本分?jǐn)偤蟾鱀MU的效率不變和Pareto最小性為準(zhǔn)則，提出了確定成本分?jǐn)偡桨傅姆椒?。Beasley[3]以最大化所有DMU的效率和的平均值為目標(biāo)，建立了一個(gè)非線性的DEA模型。李勇軍和梁樑[4]證明了任何DMU在自我設(shè)計(jì)方案時(shí)，都能找到一組分?jǐn)偡桨甘蛊渥陨淼南鄬?duì)效率值達(dá)到最大值1。并給出了在一組公共權(quán)重下，可以使得組織整體和各DMU效率同時(shí)達(dá)到最優(yōu)的成本分?jǐn)偡桨讣＿M(jìn)而利用Nash討價(jià)還價(jià)博弈模型求得唯一的分?jǐn)偡桨?。隨后，李勇軍等[5]將DEA方法與聯(lián)盟博弈相結(jié)合，定義了聯(lián)盟博弈的特征函數(shù),提出了基于核仁解的固定成本分?jǐn)偰Ｐ?。Li Yongjun等[6]定義了DMU對(duì)分?jǐn)偡桨傅臐M意度，以最大化最小的滿意度為目標(biāo)函數(shù)建立DEA成本分?jǐn)偰Ｐ?，得到唯一的成本分?jǐn)偡桨浮u Juan等[7]提出了一種交叉效率的方法，設(shè)計(jì)了一個(gè)迭代過程得到最優(yōu)的成本分?jǐn)偡桨?。其他的利用DEA方法進(jìn)行成本和資源分?jǐn)偟难芯靠蓞⒁奀ook和Zhu[8]、雷西洋等[9]。以上這些文獻(xiàn)主要集中在決策單元只有一個(gè)生產(chǎn)階段的情況下采用DEA方法進(jìn)行固定成本分?jǐn)偂?/p>
實(shí)際生活中，決策單元可能存在兩個(gè)(或多個(gè))生產(chǎn)階段，其中第一個(gè)階段的產(chǎn)出又作為第二個(gè)階段的投入。例如銀行系統(tǒng)中，第一階段投入人力等資源獲得客戶存款，第二階段再用這些存款進(jìn)行放貸，最終獲得收益。這樣的兩階段DMU的固定成本分?jǐn)偛粌H要考慮固定成本在各DMU之間的分?jǐn)?，還要考慮到階段間的成本分?jǐn)?。目前，兩階段DEA方法的研究較為豐富，如Kao和Hwang[10]、Chen Yao等[11]和畢功兵等[12]，但是利用兩階段DEA方法進(jìn)行固定成本分?jǐn)偟难芯亢苌?。孫玉華和曾慶鐸[13]考慮兩階段網(wǎng)絡(luò)DEA，選取兩階段效率的乘積作為DMU的整體效率，通過最大化DMU整體的效率建立DEA模型。在設(shè)計(jì)成本分?jǐn)偡桨笗r(shí)考慮DMU各階段存在博弈的情況，建立討價(jià)劃價(jià)模型確定DMU和各階段的分?jǐn)偝杀尽Ｈ欢?，他們的研究只是?jiǎn)單的將李勇軍[4]的方法從單階段系統(tǒng)平移到兩階段系統(tǒng)中，并沒有給出該方法適用于兩階段串聯(lián)系統(tǒng)的證明，也沒有任何的數(shù)值算例，使得其研究缺乏理論依據(jù)。Yu等[14]選取加法形式的效率，選取兩階段效率的加權(quán)和作為DMU的整體效率。將Du Juan等[7]提出的交叉效率的方法應(yīng)用到兩階段串聯(lián)系統(tǒng)中。但很可惜，他們的研究并沒有證明交叉效率迭代方法在兩階段串聯(lián)系統(tǒng)可以得到唯一的最優(yōu)解。而且，數(shù)值算例的結(jié)果也顯示最終各DMU兩階段的效率并沒有達(dá)到最優(yōu)。
總的來說，現(xiàn)有的考慮兩階段DEA進(jìn)行固定成本分?jǐn)偟难芯慷际呛?jiǎn)單的將單階段系統(tǒng)的固定成本分?jǐn)偡椒ㄆ揭频絻呻A段系統(tǒng)中。無論是孫玉華和曾慶鐸[13]，還是Yu等[14]都沒有給出方法適用性證明，缺乏理論依據(jù)。與這些研究不同，本文將Li Yongjun等[6]的研究拓展到兩階段生產(chǎn)系統(tǒng)中，證明了該方法的適用性。然后，進(jìn)一步考慮了兩階段存在共享投入的情況下如何進(jìn)行固定成本分?jǐn)?。具體地，選取Chen Yao等[11]提出的加性兩階段DEA整體效率，以最大化當(dāng)前DMU整體效率為目標(biāo)函數(shù)建立DEA成本分?jǐn)偰Ｐ?。首先證明了每個(gè)DMU都可以找到至少一種成本分?jǐn)偡桨甘沟闷渥陨碚w效率和兩階段效率均為1，即Pareto有效。然后證明了存在至少一種成本分?jǐn)偡桨?，使得在一組適當(dāng)?shù)墓矙?quán)重下，所有DMU的整體效率和兩階段的效率均是Pareto有效的，并給出了這樣的有效成本分?jǐn)偡桨讣?。在這個(gè)方案集中，考慮各DMU各階段對(duì)分?jǐn)偡桨傅臐M意度，以最大化最小的滿意度為目標(biāo)，建立最終的DEA成本分?jǐn)偰Ｐ停梢缘玫揭唤M最為公平的成本分?jǐn)偡桨?。將問題拓展到兩階段存在共享投入的生產(chǎn)系統(tǒng)中，這些性質(zhì)定理同樣成立。數(shù)值算例部分選取某銀行的27個(gè)分行的投入產(chǎn)出數(shù)據(jù)，將本文提出的方法與Yu等[14]的研究結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，指出了本文提出方法的優(yōu)越性。然后，將投入數(shù)據(jù)作為共享投入處理，進(jìn)一步給出了考慮共享投入下的固定成本分?jǐn)偨Y(jié)果，并與未將投入視為共享投入的情況下得到的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。利用本文的方法進(jìn)行固定成本分?jǐn)偰軌虮ＷC各分行的整體和階段效率均為Pareto有效，并且分?jǐn)偡桨赋浞挚紤]了各DMU兩階段的滿意度，有利于分?jǐn)偡桨傅膶?shí)際執(zhí)行。
2 考慮固定成本分?jǐn)偟膬呻A段效率評(píng)價(jià)模型
s.t.
(1)
圖1 兩階段DMU系統(tǒng)
在DEA理論中，當(dāng)被評(píng)價(jià)決策單元的相對(duì)效率值為1的時(shí)候，稱其為Pareto有效。
定理1模型(1)中，對(duì)于任意的DMUd，都存在至少一種成本分?jǐn)偡桨?，使得其自身整體效率和兩階段的效率同時(shí)達(dá)到Pareto有效。
證明：對(duì)于任意DMUd，令：
這是因?yàn)棣螡M足模型(1)的所有約束條件：
定理1說明了每個(gè)DMU從自身的角度出發(fā)，都可以找到至少一組分?jǐn)偡桨甘蛊渥陨頍o論是整體效率還是階段效率都達(dá)到帕累托有效。但是從每個(gè)DMU自身角度出發(fā)得到的成本分?jǐn)偡桨覆荒鼙ＷC其他DMU也達(dá)到Pareto有效，因此需要尋求一種分?jǐn)偡桨讣?，使得所有DMU的兩階段效率和整體效率能夠同時(shí)達(dá)到Pareto有效。
定理2在模型(1)下，至少存在一種成本分?jǐn)偡桨?，使得在一組公共的權(quán)重下，所有DMU的兩階段效率和整體效率同時(shí)達(dá)到Pareto有效。
證明：同樣地，令：
(2)
證明：由定理2可知，存在一組共同的權(quán)重使得所有DMU的兩階段效率和整體效率均為1，假設(shè)這組公共權(quán)重為(vi,ur,?i,r)，則有：
(3)
顯然等式組(3)可以轉(zhuǎn)化為等式組(2)，因此基于(2)的成本分?jǐn)偡桨讣?，能夠保證在一組適當(dāng)?shù)墓矙?quán)重下使得所有DMU的整體效率和階段效率均為1。
定理1至定理3構(gòu)成了本文的兩階段DEA固定成本分?jǐn)偡椒ǖ睦碚摶A(chǔ)。它們保證了在一組適當(dāng)?shù)墓矙?quán)重下，決策者可以找到至少一組成本分?jǐn)偡桨?，使得所有DMU的階段效率和總效率都達(dá)到最優(yōu)，同時(shí)系統(tǒng)的總效率也達(dá)到最優(yōu)。定理3中給出的有效成本分?jǐn)偧械娜魏我粋€(gè)成本分?jǐn)偡桨?，都能夠找到一組合適的公共權(quán)重，使得所有DMU的兩階段效率和總效率都達(dá)到最優(yōu)。
問題(1)是一個(gè)分式規(guī)劃，通過Charnes-Cooper變換將其轉(zhuǎn)換成線性規(guī)劃問題，令：
(4)
3 考慮滿意度的兩階段固定成本分?jǐn)偰Ｐ?/h2>
由定理2可知問題(1)存在唯一的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值1，但使得其目標(biāo)函數(shù)值最優(yōu)的解可能存在很多。即可能存在多種權(quán)重組合和成本分?jǐn)偡桨?，使得DMU的最優(yōu)效率值為1。為了尋求一組確定的成本分?jǐn)偡桨?，考慮各DMU對(duì)成本分?jǐn)偟墓礁兄?，在有效成本分?jǐn)偡桨讣袑ふ乙唤M最為公平的分?jǐn)偡桨浮?/p>
(5)
模型(5)有效地將DMU各階段的DEA相對(duì)效率與其對(duì)分?jǐn)偡桨傅臐M意程度結(jié)合起來。由于采用的是Pareto有效的成本分?jǐn)偡桨讣鳛榧s束條件，因此，可以保證由此得到的分?jǐn)偡桨缚梢允顾蠨MU整體和兩階段效率能夠在一組公共的權(quán)重下同時(shí)達(dá)到Pareto有效。由模型(5)得到的分?jǐn)偡桨赋浞挚紤]了各DMU各階段對(duì)分?jǐn)偨Y(jié)果的滿意度，使得分?jǐn)偡桨父庸健?/p>
(6)
這里我們把n個(gè)DMU拆分成2n個(gè)DMU，即把每個(gè)DMU的每個(gè)階段都當(dāng)做一個(gè)DMU，使其最小的滿意度最大。模型(6)轉(zhuǎn)化為：
(7)
則上述模型中ρj,j=1,2,…,n,是DMUj第I階段的滿意度，ρj,j=n+1,n+2,…,2n,是第II階段的滿意度。Rj,j=1,2,…,n,是DMUj第I階段的固定成本分?jǐn)偭浚琑j,j=n+1,n+2,…,2n,是DMUj第II階段的固定成本分?jǐn)偭?。設(shè)計(jì)以下步驟獲得模型(7)的最終解。
步驟3：令l=l+1,求解下面的模型：
…
ρj≥β,j∈J2l-3,j∈J2l-2
ur,vi,wf,Rj≥0, ?i,r,j
(8)
上述方法可以保證在有限的迭代過程后得到唯一的最優(yōu)解。得到的解是使得各DMU各階段的滿意度差別最小的，保證了分?jǐn)偨Y(jié)果的公平性。同時(shí)由于所有的計(jì)算過程都是以有效的成本分?jǐn)偡桨讣癁榧s束條件的，因此得到的分?jǐn)偡桨缚梢允沟迷谝唤M公共的權(quán)重下，所有的DMU和各階段效率都是Pareto有效的。
4 考慮兩階段存在共享投入的情況
現(xiàn)實(shí)生活中，這些兩階段生產(chǎn)系統(tǒng)往往具有一些共同的投入資源，且該資源很難被清楚地劃分到兩個(gè)階段的生產(chǎn)過程中。如Chen等[16]認(rèn)為銀行的存款階段需要人員、信息技術(shù)、固定資產(chǎn)等投入，同樣，在貸款階段也需要人員、信息技術(shù)和固定資產(chǎn)等投入。而且，這兩個(gè)階段的共同投入很難劃分清楚。因此，考慮共享投入后再依據(jù)效率來進(jìn)行固定成本的分?jǐn)偢臃蠈?shí)際，更具有指導(dǎo)意義。因此，將所研究的兩階段生產(chǎn)系統(tǒng)進(jìn)行拓展，考慮對(duì)如圖2所示的決策單元進(jìn)行固定成本分?jǐn)偂?/p>
圖2 具有共享投入的兩階段DMU系統(tǒng)
對(duì)于每個(gè)DMUj，其共享的投入在兩階段之間的比例βi2j在理論上的取值范圍是[0,1]，但當(dāng)βi2j取0或1的時(shí)候代表項(xiàng)投入資源要么全部用于第I階段生產(chǎn)，要么全部用于第II階段的生產(chǎn)，因此就不是共享的投入了。而且，在實(shí)際中，每個(gè)DMU每項(xiàng)共享的投入其在兩階段的占比會(huì)有一個(gè)大概的取值范圍，參照Chen Yao等[16]的研究，本文設(shè)置為[Li2j,Ui2j]。對(duì)于任意的DMUd，最大化其整體效率可以建立以下模型：
s.t.
Li2j≤βi2j≤Ui2j, ?i2∈I2,j=1,2,…,n
(9)
Li2j≤βi2j≤Ui2j, ?i2∈I2, ?j
(10)
實(shí)際上，由于階段I和階段II都參與固定成本的分?jǐn)偅虼斯潭ǔ杀疽彩且环N共享的投入?？梢哉f，不考慮共享投入是一種特殊情況，共享投入的模型更加具有一般化。因此，是否考慮共享投入不會(huì)影響到本文幾個(gè)定理的結(jié)論。即對(duì)于任意的決策單元，總是能找到至少一種成本分?jǐn)偡桨福沟闷渥陨碚w效率和兩階段的效率同時(shí)達(dá)到Pareto有效。并且當(dāng)對(duì)所有決策單元采用一組合適的公共權(quán)重來進(jìn)行效率評(píng)價(jià)時(shí)，能夠找到至少一組成本分?jǐn)偡桨甘沟盟袥Q策單元的整體效率和兩階段的效率同時(shí)達(dá)到Pareto有效。
s.t.
υi2Li2j≤γi2j≤υi2Ui2j, ?i2∈I2,j=1,2,…,n
(11)
Li2j≤βi2j≤Ui2j, ?i2∈I2, ?j
(12)
同樣可以采用第3節(jié)中的算法求解模型(12)，由于采用的是Pareto有效的成本分?jǐn)偡桨讣鳛榧s束條件，因此，可以保證由此得到的分?jǐn)偡桨缚梢允顾蠨MU整體和兩階段效率能夠在一組公共的權(quán)重下同時(shí)達(dá)到Pareto有效。
5 算例分析
為了方便與Yu等進(jìn)行對(duì)比，本文同樣采用Chen Yao等[16]使用的銀行的相關(guān)數(shù)據(jù)對(duì)上述建立的考慮滿意度的兩階段固定成本分?jǐn)偰Ｐ瓦M(jìn)行檢驗(yàn)。數(shù)據(jù)中的27個(gè)分行隸屬于同一個(gè)銀行，并且各自獨(dú)立運(yùn)營(yíng)。每個(gè)分行都以固定資產(chǎn)、IT投入和員工作為第一階段的投入來獲得顧客存款。然后在第二階段利用這些存款作為投入，以貸款回收比例和利潤(rùn)作為產(chǎn)出。
假設(shè)銀行總行要將100萬美元的某項(xiàng)固定成本分?jǐn)偟?7個(gè)分行。利用本文提出方法，首先算出每個(gè)DMU各階段固定成本均攤的最大值和最小值，然后建立模型(5)，采用本文改進(jìn)的算法來求解，利用Matlab編程，程序計(jì)算1次就滿足了n1+n2+…+nl≥m+g+s，即滿意度最小的決策單元的數(shù)量大于6，這時(shí)迭代停止，得到的最終的兩階段成本分?jǐn)偨Y(jié)果、滿意度和公共權(quán)重下的效率如表1所示：
表1中第2至5列分別顯示了各DMU兩階段需要分?jǐn)偟墓潭ǔ杀镜淖钚≈岛妥畲笾?。所有DMU第I階段需要分?jǐn)偟某杀镜淖钚≈刀际?。而對(duì)于DMU的階段II，只有幾個(gè)分行的最小值是0，大多數(shù)分行的最小值都大于0。這意味著大多數(shù)分行的階段II勢(shì)必要比階段I分?jǐn)偢喑杀尽Ｍ瑯?，通過對(duì)比各DMU兩階段需要分?jǐn)偟淖畲蟮某杀疽部梢钥闯?，階段II需要分?jǐn)偟淖畲笾狄财毡楸入A段I高。這與通過對(duì)比最小值得到的結(jié)論是一致的。第6和7列是模型最終算得的各DMU兩階段需要分?jǐn)偟墓潭ǔ杀镜淖顑?yōu)值，所有DMU兩階段的固定成本分?jǐn)偟目偭繛镽=100。在這個(gè)分?jǐn)偡桨赶?，可以保證DMU各階段對(duì)分?jǐn)偡桨傅淖钚M意度最大化。第8和9列即是各DMU各階段對(duì)該分?jǐn)偡桨傅臐M意度。其中第 6，8，9，10，11，14，15，16分行的階段I和第3，14，24分行的階段II對(duì)分?jǐn)偡桨傅臐M意度最低，為0.54。其他分行的兩階段對(duì)分?jǐn)偡桨傅臐M意度均高于0.54，最大的滿意度為第20分行的階段II0.75。滿意度最小的決策單元的個(gè)數(shù)為11大于6，因此模型計(jì)算1次即終止。最后3列驗(yàn)證了在這組公共權(quán)重下，各DMU按照上述結(jié)果對(duì)各階段進(jìn)行固定成本分?jǐn)?，可以保證所有DMU的整體和階段效率均為Pareto有效。通過對(duì)比第8列和第9列數(shù)據(jù)還可以發(fā)現(xiàn)，同一個(gè)DMU在兩個(gè)階段之間對(duì)固定成本的分?jǐn)偡桨傅臐M意度也很相近。因此，該分?jǐn)偡桨甘禽^公平的，切實(shí)可行的。
接下來，將利用本文提出的方法得到的結(jié)果與Yu等[14]的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，見表2。
表1 本文方法固定成本分?jǐn)偟南嚓P(guān)結(jié)果
表2 本文和Yu等[14]分?jǐn)偨Y(jié)果對(duì)比
續(xù)表2 本文和Yu等分?jǐn)偨Y(jié)果對(duì)比
表2中Yu等[14]的結(jié)果是通過兩階段DEA交叉效率的方法得到的。本文則是采用公共權(quán)重對(duì)所有DMU進(jìn)行效率評(píng)價(jià)和成本分?jǐn)?。由于Yu等[14]文中只給出了DMU整體分?jǐn)偟某杀玖亢头謹(jǐn)偤髢呻A段的效率，因此，這里僅對(duì)這幾項(xiàng)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。通過對(duì)比DMU整體的成本分?jǐn)偭靠梢钥闯?，兩種方法的分?jǐn)偨Y(jié)果存在一定的差別。但從整體的分?jǐn)傏厔?shì)來看，兩種方法的結(jié)果是一致的。如第7、9和18分行的成本分?jǐn)偭烤哂谄渌中校坏?2、16和17分行的成本分?jǐn)偭烤陀谄渌中械?。通過對(duì)比分?jǐn)偤髢呻A段的效率，可以明顯看出，本文提出的方法能夠保證所有的DMU兩階段的效率都達(dá)到最優(yōu)值1。而Yu等[14]在分?jǐn)偤髢呻A段的效率并非都達(dá)到了最優(yōu)值1，這也說明了該方法存在一定的改進(jìn)空間。因此，從分?jǐn)偤蟾鱀MU的效率來看，本文提出的方法優(yōu)于Yu等[14]的方法。
實(shí)際生活中，銀行的存貸款兩階段都需要固定資產(chǎn)、IT投入和員工。因此，這些投入是兩階段共享的資源，而且很難進(jìn)行精確的劃分。針對(duì)這種情況，本文參照Chen Yao等[16]的設(shè)置，假設(shè)不同分行同一種共享投入資源比例的上下界是相同的，設(shè)定這三項(xiàng)共享的投入資源用于階段I的比例區(qū)間分別為0.4≤βF≤0.6，0.25≤βI≤0.75和0.55≤βE≤0.75。利用第4節(jié)中的方法來分?jǐn)?00萬美元固定成本。將是否作為共享投入處理得到的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如表3所示。
表3 是否視為共享投入的結(jié)果對(duì)比
表3中第2至7列是未將固定資產(chǎn)、IT投入和員工作為共享投入處理得到的結(jié)果。第8至13列是將它們作為共享投入處理得到的結(jié)果?？梢钥闯觯瑹o論是否將它們作為共享投入，最終得到的結(jié)果，各DMU整體及其兩階段的公共權(quán)重效率都為1?？紤]共享投入的情況下，所有決策單元階段I的
表3 是否視為共享投入的結(jié)果對(duì)比
成本分?jǐn)偭慷甲冃?，階段II的成本分?jǐn)偭孔兇?。這是因?yàn)殡A段I的投入分出去一部分到階段II，即階段I 的投入減少，與之對(duì)應(yīng)的其應(yīng)該分?jǐn)偟某杀疽搽S之減少。同理，階段II的投入增加，則與之對(duì)應(yīng)的其應(yīng)該分?jǐn)偟某杀疽搽S之增加。因此，是否考慮共享投入對(duì)成本分?jǐn)偟慕Y(jié)果是有影響的。當(dāng)兩階段存在共享的投入資源時(shí)，將這些資源分配到兩階段后再進(jìn)行計(jì)算更加合理。
6 結(jié)語
本文研究?jī)呻A段DEA固定成本分?jǐn)倖栴}。首先從效率的角度出發(fā)，證明了每個(gè)DMU從自身角度出發(fā)都能夠找到至少一組成本分?jǐn)偡桨?，使得其自身達(dá)到Pareto有效。對(duì)各DMU選取相同的投入產(chǎn)出權(quán)重時(shí)，至少存在一種固定成本分?jǐn)偡桨福沟酶鱀MU的整體和兩階段都是Pareto有效的，并給出了使得DMU的整體和階段效率在公共的權(quán)重下都達(dá)到Pareto有效的有效成本分?jǐn)偡桨讣?。然后從公平的角度，定義了DMU各階段對(duì)分?jǐn)偡桨傅臐M意度，在滿足有效成本分?jǐn)偡桨讣那疤嵯?，最大化最小的滿意度得到最終的分?jǐn)偡桨浮Ｈ缓髮栴}拓展到兩階段含有共享投入的情況下，證明了這些定理和性質(zhì)同樣成立。數(shù)值算例部分將本文與Yu等[14]的研究結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，驗(yàn)證了本文方法的可行性和有效性，指出了本文方法的優(yōu)越性。
本文提出的方法適用于組織采用統(tǒng)一的權(quán)重進(jìn)行效率評(píng)價(jià)和成本分?jǐn)偟那闆r。例如，銀行總行對(duì)各分行進(jìn)行固定成本分?jǐn)?、連鎖超市對(duì)各子超市進(jìn)行固定成本分?jǐn)偂⒓瘓F(tuán)總公司對(duì)各子公司進(jìn)行固定成本分?jǐn)偟?。本文既考慮了DMU的整體和階段效率，又考慮了DMU各階段對(duì)分?jǐn)偡桨傅臐M意度，兼顧了效率和公平，得到的分?jǐn)偡桨负侠砜尚?，能夠?yàn)楣芾碚咛峁┮欢ǖ臎Q策依據(jù)。
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