■安徽省阜陽市太和中學(xué) 任海濤

一、題目呈現(xiàn)

試題:(2018年安徽省江南十校聯(lián)考題第20題)A、B、C、D是拋物線E:x2=2p y(p＞0)上的四點,A、C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱且在直線B D的異側(cè),直線l:x-y-1=0是拋物線在點C處的切線方程,且B D∥l。

(1)求拋物線E的方程。

(2)求證:A C平分∠B A D。

二、題目分析與解法

本題是一道解析幾何綜合題,以直線和拋物線為載體,主要考查拋物線的方程和性質(zhì),以及直線和拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,又考查了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能。本題貼近學(xué)生實際,既注意全面,又突出重點,注重對知識內(nèi)在聯(lián)系的考查,注重對中學(xué)數(shù)學(xué)中所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法的考查。本題考查了同學(xué)們的抽象概括能力、運算求解能力、推理論證能力及分析問題與解決問題能力,也有效考查了同學(xué)們的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

(1)試題第一問考查拋物線的切線問題,既可以從切線的求法入手,也可以從直線和拋物線的位置關(guān)系入手,從而得到如下解法:

因為直線l:x-y-1=0是拋物線在C處的切線方程,且直線B D∥l,所以利用切點的性質(zhì)可得

所以拋物線的方程為x2=4y。

因為直線l:x-y-1=0是拋物線在C處的切線方程,所以Δ=0,解得p=2或0(舍去)。

所以拋物線的方程為x2=4y。

(2)第二問考查了直線與拋物線的位置關(guān)系,在研究A C平分∠B A D時,要善于從數(shù)和形兩個角度出發(fā),注重平面幾何知識的滲透,解析幾何首先是幾何問題,一味強調(diào)解析幾何中的代數(shù)運算有時會導(dǎo)致煩瑣的運算過程,在解題時要綜合考慮幾何因素,即在用代數(shù)方法研究曲線間關(guān)系的同時,注意利用好圖形本身所具有的平面幾何知識,從而得到不同的解法。

由(1)可知C(2,1),A(-2,1)。

因為B D∥l,所以B D的方程可設(shè)為y=x+t。

【法一】A、C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,故A C∥x軸。要證A C平分∠B A D,不妨從斜率入手,證明:kAD+kAB=0。

證明如下:

【法二】要證A C平分∠B A D,可以從角平分線的性質(zhì)入手,只需證點C到∠B A D兩邊的距離相等。

化簡即為(x2-2)x-4y+2x2=0,所以點C到直線A D的距離為:

同理可得點C到直線A B的距離為d2=

因此,A C平分∠B A D。

【法三】要證A C平分∠B A D,可以從向量的角度入手。

因此,c o s∠DA C=c o s∠B A C,∠DA C=∠B A C,A C平分∠B A D。

【法四】從圖形的對稱性入手,要證A C平分∠B A D,只需證明點B關(guān)于A C的對稱點在直線A D上,由法二知:A D的方程為(x2-2)x-4y+2x2=0。

故A C平分∠B A D。

三、題源剖析

本題具有初等幾何的背景,圓有性質(zhì):圓的圓心必在切線夾角的平分線上。

類比到圓錐曲線中,可得到性質(zhì):過圓錐曲線外一點作圓錐曲線兩切線與焦點連線所成的角相等(拋物線可看成另一焦點在無窮遠處)(以橢圓為例證明)。

證明:設(shè)P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2)。

四、命題拓展

圓錐曲線的切線作為和圓錐曲線位置關(guān)系最特殊的直線揭示了直線和圓錐曲線位置關(guān)系中定性的結(jié)論和幾何性質(zhì)的不變性。將上述性質(zhì)進行推廣,可以得到以下性質(zhì):

性質(zhì)2:已知點B(-m,0)(m＞0),設(shè)不垂直于x軸的直線l與拋物線y2=2p x(p＞0)交于不同的兩點P、Q,若x軸是∠P B Q平分線?直線l過定點(m,0)。

性質(zhì)3:已知點B(m,0)(|m|＞a),不垂直于x軸的直線l與橢圓交于不同的兩點P、Q,則x軸是∠P B Q平分線?直線l過定點

同學(xué)們解題時需要從形式的“變”發(fā)現(xiàn)本質(zhì)的“不變”,從本質(zhì)的“不變”探索形式的“變”的規(guī)律,發(fā)現(xiàn)知識的橫向聯(lián)系,揭示其內(nèi)在的聯(lián)系與規(guī)律,從中提煉出數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法,領(lǐng)悟思維的誘導(dǎo)、調(diào)整、進階、完善,重新全面梳理知識、方法,注意知識結(jié)構(gòu)的重組與概括,精學(xué)一題、妙解一類,固化于形、內(nèi)化于心,進而形成一個有序化、條理化、網(wǎng)絡(luò)化的高效的有機認知結(jié)構(gòu),從而有層次地、遞進地理解數(shù)學(xué)本質(zhì),從而提升大家的數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)。