■湖北省巴東縣第三高級中學(xué) 廖慶偉

拋物線是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容,也是高考考查的重點,主要考查定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查基本技能與基本方法的運用。

一、知識掃描

平面內(nèi)與一個定點F和一條直線l(l不過F)的距離相等的點的集合叫作拋物線。這個定點F叫作拋物線的焦點,這條定直線l叫作拋物線的準(zhǔn)線。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為|MF|=d(其中d為點M到準(zhǔn)線的距離)。

拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)如表1所示。

表1

焦半徑:拋物線y2=2p x(p＞0)上一點P(x0,y0)到焦點的距離|P F|。

常用結(jié)論:設(shè)拋物線方程為y2=2p x(p＞0),F為焦點。

通徑:過焦點且與對稱軸垂直的弦A B,|A B|=2p;p越大,拋物線的開口越大。

焦點弦:設(shè)過焦點F的直線l與拋物線交于點A(x1,y1),B(x2,y2),則有:

④點P(x0,y0)在拋物線y2=2p x(p＞0)的內(nèi)部

點P(x0,y0)在拋物線y2=2p x(p＞0)的外部

⑤以A B為直徑的圓與準(zhǔn)線相切。

⑥以A F或B F為直徑的圓與y軸相切。

二、常見題型

考點一:拋物線的定義及運用

例1若拋物線y2=2x上一點M到它的焦點F的距離為,O為坐標(biāo)原點,則△MF O的面積為( )。

解析:由題意知,拋物線的準(zhǔn)線方程為x

所以a=1,代入拋物線方程y2=2x,解得所以

故選B。

點評:利用拋物線的定義解決此類問題時,應(yīng)靈活地運用拋物線上的點到焦點的距離與到準(zhǔn)線距離的等價轉(zhuǎn)化?！翱吹綔?zhǔn)線想到焦點,看到焦點想到準(zhǔn)線”,這是解決拋物線焦點弦有關(guān)問題的有效途徑。

考點二:拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

例2如圖1,拋物線的頂點在坐標(biāo)原點,焦點為F,過拋物線上一點A(3,y)作準(zhǔn)線l的垂線,垂足為B,若△A B F為等邊三角形,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是( )。

圖1

將A(3,y)代入拋物線方程得y2=6p,

由于△A B F為等邊三角形,故kAF=

所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=4x,故選D。

點評:求拋物線方程主要有兩種方法。

①定義法:根據(jù)條件確定動點滿足的幾何特征,從而確定p的值,得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

②待定系數(shù)法:根據(jù)條件設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程,再確定參數(shù)p的值,這里要注意拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式。從簡單化角度出發(fā),焦點在x軸的,設(shè)為y2=a x(a≠0),焦點在y軸的,設(shè)為x2=b y(b≠0)。

考點三:拋物線的幾何性質(zhì)

例3如圖2,設(shè)拋物線2=4x的焦點為F,不經(jīng)過焦點的直線上有三個不同的點A,B,C,其中點A,B在拋物線上,點C在y軸上,則=( )。

圖2

解析:如圖3所示,拋物線的準(zhǔn)線D E的方程為x=-1。

過A作A E⊥D E于E,交y軸于N;過B作B D⊥D E于D,交y軸于M。

由拋物線的定義知|B F|=|B D|,|A F|=|A E|。

圖3

點評:本題需結(jié)合平面幾何中同高的三角形面積比等于底邊比,拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離等于其到焦點的距離求解,在平面幾何背景下考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì),是高考中小題的熱點。

考點四:拋物線中的最值

例4拋物線y2=2p x(p＞0)的焦點為F,已知點A,B為拋物線上的兩個動點,且滿足∠A F B=120°。過弦A B的中點M作拋物線準(zhǔn)線的垂線MN,垂足為N,則的最大值為( )。

解析:設(shè)|A F|=a,|B F|=b。

點評:解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法:一是幾何意義,特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決,非常巧妙;二是將圓錐曲線中最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)法以及均值不等式法求解。本題是利用拋物線性質(zhì)及余弦定理、基本不等式等知識求最值的。注意由于拋物線上的點到焦點的距離與到準(zhǔn)線的距離相等,所以拋物線的頂點到焦點的距離最小。

考點五:拋物線中的定值問題

例5已知拋物線C的頂點在坐標(biāo)原點O,其圖像關(guān)于y軸對稱且經(jīng)過點M(2,1)。

(1)求拋物線C的方程;

(2)過點M作拋物線C的兩條弦MA、MB,設(shè)MA、MB所在直線的斜率分別為k1,k2,當(dāng)k1+k2=-2時,試證明直線A B的斜率為定值,并求出該定值。

解析:(1)設(shè)拋物線C的方程為x2=2p y(p＞0)。

由點M(2,1)在拋物線C上,得4=2p,則p=2。

所以拋物線C的方程為x2=4y。

所以直線A B的斜率為定值-3。

點評:求解此類問題的方法一般有兩種:①從特殊入手,求出定點、定值、定線,再證明定點、定值、定線與變量無關(guān);②直接計算、推理,并在計算、推理的過程中消去變量,從而得到定點、定值、定線。應(yīng)注意到繁難的代數(shù)運算是此類問題的特點,設(shè)而不求方法、整體思想和消元的思想的運用可有效地簡化運算。

考點六:拋物線中的定點問題

例6已知拋物線y2=2p x(p＞0)上點T(3,t)到焦點F的距離為4。

(1)求t,p的值。

(2)如圖4,設(shè)A、B是拋物線上分別位于x軸兩側(cè)的兩個動點,且(其中O為坐標(biāo)原點)。求證:直線A B必過定點,并求出該定點P的坐標(biāo)。

圖4

解析:(1)由拋物線定義可得解得p=2。

所以所求拋物線方程為y2=4x,把T(3,t)代入可解得

故-4t=-20,所以t=5。

所以直線A B過定點P(5,0)。

點評:在解決此類問題的過程中,常利用數(shù)形結(jié)合的方法,充分挖掘題目中所涉及的拋物線方程、直線方程等相關(guān)方面的隱性知識點,比如巧設(shè)直線A B的方程為x=m y+t,利用韋達(dá)定理求出拋物線方程中t的值等。對于直線過定點問題,若得到了直線方程的點斜式:y-y0=k(x-x0),則直線必經(jīng)過定點(x0,y0);若得到了直線方程的斜截式:y=k x+m,則直線必經(jīng)過定點(0,m)。

考點七:拋物線中的探求性問題

例7已知拋物線C:x2=2p y(p＞0)的焦點為F,直線x=4與x軸的交點為P,與C的交點為Q,且

(1)求C的方程。

(2)點A(-a,a)(a＞0)在拋物線C上,是否存在直線l:y=k x+4與C交于點M,N,使得△MAN是以MN為斜邊的直角三角形?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由。

解析:(1)設(shè)Q(4,y0),代入x2=2p y,得由題設(shè)得,解得p=-2(舍去)或p=2。

所以C的方程為x2=4y。

(2)由x2=4y知點A(-4,4),假設(shè)存在滿足條件的直線l。

設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),聯(lián)立方程組

因為Δ=16(k2+4)＞0恒成立,所以直線與拋物線必有交點。

由韋達(dá)定理知x1+x2=4k,x1x2=-16。

所以-16(1+k2)+1 6k+=0,解得k=0(舍)或k=1。

所以存在直線l,方程為y=x+4。

點評:需要注意的是探索結(jié)論型問題是指那些題目結(jié)論不明確或者答案不唯一,給同學(xué)們留有較大探索余地的試題。近年來這類題已成為高考試題的一個新亮點。