周計(jì)祥， 吳邵慶,2， 董萼良,2， 費(fèi)慶國(guó),2

(1.東南大學(xué)工程力學(xué)系 南京，210096) (2.東南大學(xué)江蘇省工程力學(xué)分析重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 南京，210096)

引 言

工程結(jié)構(gòu)的安全問(wèn)題至關(guān)重要，使得結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)[1]成為熱門的研究領(lǐng)域之一。結(jié)構(gòu)在服役過(guò)程中容易產(chǎn)生損傷，影響結(jié)構(gòu)安全，結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)中的損傷識(shí)別一般可分為4個(gè)層次：a. 結(jié)構(gòu)是否發(fā)生損傷; b. 確定損傷的位置; c. 確定損傷程度; d.評(píng)估結(jié)構(gòu)剩余壽命。結(jié)構(gòu)中出現(xiàn)損傷會(huì)引起其動(dòng)力學(xué)參數(shù)發(fā)生變化，如結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)等。通過(guò)對(duì)比損傷前后結(jié)構(gòu)的固有頻率、振型[2]等模態(tài)參數(shù)的變化，可以判斷結(jié)構(gòu)是否發(fā)生損傷，然而由于固有頻率和振型等為全局參數(shù)，局部損傷對(duì)其敏感性較低，準(zhǔn)確地定位損傷甚至定量損傷，仍存在一定的難度?；谀B(tài)應(yīng)變能的損傷識(shí)別方法[3]是基于模態(tài)振型構(gòu)造的單元模態(tài)應(yīng)變能的識(shí)別算法，具有良好的損傷敏感性和噪聲魯棒性。

目前，基于模態(tài)應(yīng)變能識(shí)別的結(jié)構(gòu)損傷研究已有一定成果。Shi等[4]提出基于位移模態(tài)的模態(tài)應(yīng)變能損傷識(shí)別方法，利用數(shù)值仿真驗(yàn)證了該方法對(duì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)損傷定位的有效性。Law等[5]針對(duì)轉(zhuǎn)角自由度難以準(zhǔn)確測(cè)量的問(wèn)題，采用對(duì)實(shí)測(cè)位移振型信息擴(kuò)充的方法獲取轉(zhuǎn)角自由度信息。結(jié)果表明，基于振型擴(kuò)充的模態(tài)應(yīng)變能損傷識(shí)別算法可以有效提高結(jié)構(gòu)損傷定位的精度。Hu等[6]提出了基于位移模態(tài)的交叉模態(tài)應(yīng)變能法，該方法可以有效定位損傷和評(píng)估損傷程度。

以上研究均基于位移模態(tài)開(kāi)展，由于應(yīng)變振型比位移振型具有更豐富的信息，基于應(yīng)變模態(tài)的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法也有一定的研究成果。Xu等[7]提出了一種基于應(yīng)變模態(tài)的損傷識(shí)別算法，通過(guò)建立損傷指標(biāo)與應(yīng)變振型變化之間的聯(lián)系，完成了大跨度網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)的損傷識(shí)別研究。Wu等[8]提出一種基于應(yīng)變模態(tài)構(gòu)造的模態(tài)應(yīng)變能損傷定位方法，推導(dǎo)了梁結(jié)構(gòu)應(yīng)變模態(tài)與位移模態(tài)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，建立模態(tài)應(yīng)變能的應(yīng)變模態(tài)表達(dá)式。數(shù)值仿真和實(shí)驗(yàn)研究結(jié)構(gòu)均表明，該方法可以準(zhǔn)確識(shí)別損傷位置，且比基于位移模態(tài)的模態(tài)應(yīng)變能損傷識(shí)別方法具有更好的抗噪性。

由于振型的轉(zhuǎn)角自由度信息難以通過(guò)實(shí)測(cè)準(zhǔn)確獲取，而常用振型擴(kuò)充方法在由實(shí)測(cè)位移振型估計(jì)轉(zhuǎn)角振型中會(huì)帶來(lái)較大誤差。筆者在Wu等[8]提出的基于應(yīng)變模態(tài)的模態(tài)應(yīng)變能損傷定位方法的研究基礎(chǔ)上，基于靈敏度分析方法，推導(dǎo)了基于應(yīng)變模態(tài)振型的梁結(jié)構(gòu)模態(tài)應(yīng)變能與結(jié)構(gòu)損傷之間的定量關(guān)系，構(gòu)造了損傷識(shí)別方程組，完成了結(jié)構(gòu)損傷的定量識(shí)別。

1 基于模態(tài)應(yīng)變能的損傷識(shí)別理論

1.1 基于位移模態(tài)的損傷方程組

定義損傷前后第i個(gè)單元、第j階模態(tài)應(yīng)變能[4](model strain energy，簡(jiǎn)稱MSE)分別為

(1a)

(1b)

結(jié)構(gòu)發(fā)生損傷后，結(jié)構(gòu)模型會(huì)發(fā)生變化，對(duì)結(jié)構(gòu)剛度影響顯著。引入單元?jiǎng)偠日蹨p系數(shù)αi描述第i個(gè)單元的損傷程度，即

(2)

令βi=1-αi，損傷前后單元?jiǎng)偠茸兓靠杀硎緸?/p>

(3)

其中：βi為第i個(gè)單元的損傷量。

由單元模態(tài)應(yīng)變能與單元?jiǎng)偠日蹨p系數(shù)之間的關(guān)系[9]，建立結(jié)構(gòu)損傷程度與結(jié)構(gòu)模態(tài)應(yīng)變能變化關(guān)系的方程組

SN×N×MβN×M=(ΔR)N×M

(4)

其中：N為單元個(gè)數(shù)；M為模態(tài)階數(shù)；S為靈敏度矩陣；β為損傷程度矩陣；ΔR為僅考慮振型變化時(shí)的損傷前后單元模態(tài)應(yīng)變能變化量矩陣。

(5)

(6)

(7)

其中：M為整體質(zhì)量矩陣；K為整體剛度矩陣；Ki，Kk分別為第i個(gè)和第k個(gè)單元?jiǎng)偠染仃噷?duì)整體剛度矩陣的貢獻(xiàn)，其維數(shù)與總剛度矩陣一致，除第i個(gè)和第k個(gè)單元對(duì)應(yīng)自由度以外，其他位置元素的值均為零；Φj為結(jié)構(gòu)的第j階質(zhì)量歸一化振型；λj為第j階固有頻率。

1.2 應(yīng)變模態(tài)與位移模態(tài)之間的關(guān)系

結(jié)構(gòu)在發(fā)生小變形情況下，應(yīng)變?chǔ)排c非剛體位移u的關(guān)系可表示為

ε=ATu

(8)

AT為兩者之間的關(guān)系矩陣，則有

u=Hsε

(9)

其中：Hs為位移與應(yīng)變之間的轉(zhuǎn)換矩陣，且

Hs=A(ATA)-1

(10)

單元位移模態(tài)振型φe與應(yīng)變模態(tài)振型εe之間的關(guān)系[10]可以類似表示為

φe=Hsεe

(11)

由式(11)可知，實(shí)測(cè)應(yīng)變模態(tài)與位移模態(tài)之間存在直接聯(lián)系，且應(yīng)變信號(hào)中包含了轉(zhuǎn)角信息。引入整體位移振型與應(yīng)變振型之間的轉(zhuǎn)換矩陣H，即

(12)

獲得第j階結(jié)構(gòu)位移模態(tài)振型Φj與應(yīng)變模態(tài)振型εj的關(guān)系為

Φj=Hεjj=1,2,…,M

(13)

1.3 基于應(yīng)變模態(tài)的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方程組

將式(11)代入式(1)，得到基于應(yīng)變模態(tài)的第i個(gè)單元第j階模態(tài)的單元模態(tài)應(yīng)變能表達(dá)式為

(14)

(15)

式(7)可以重新表示為

(16)

推得基于應(yīng)變模態(tài)的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方程為

(Sε)N×N×M(βε)N×M=(ΔRε)N×M

(17)

其中：Sε為基于應(yīng)變模態(tài)的靈敏度矩陣；βε為基于應(yīng)變模態(tài)的損傷程度矩陣；ΔRε為基于應(yīng)變模態(tài)的模態(tài)應(yīng)變能變化量矩陣。

(18)

(19)

其中：εj為結(jié)構(gòu)的第j階應(yīng)變模態(tài)振型。

1.4 損傷識(shí)別方程組求解

結(jié)構(gòu)常發(fā)生局部損傷，引起結(jié)構(gòu)有限元模型中個(gè)別單元的剛度降低，此時(shí)式(17)中的靈敏度系數(shù)矩陣Sε會(huì)呈現(xiàn)病態(tài)。當(dāng)實(shí)測(cè)模態(tài)數(shù)據(jù)存在噪聲污染時(shí)，用直接求逆的方法求解結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方程組會(huì)帶來(lái)很大誤差，需要使用正則化方法提高求解的精度。筆者采用奇異值截?cái)嗨惴?truncated singular value decomposition，簡(jiǎn)稱TSVD)[11-12]來(lái)減小噪聲污染對(duì)損傷識(shí)別結(jié)果的影響，以提高求解精度。由于表示損傷程度β值不可能為負(fù)，采用非負(fù)最小二乘法[13]求解奇異值分解后的損傷識(shí)別方程。

2 數(shù)值仿真

以如圖1所示，兩端固支的等截面均質(zhì)彈性梁為研究對(duì)象。梁的參數(shù)如下：長(zhǎng)×寬×高=880 mm×25 mm×5 mm，分8個(gè)平面梁?jiǎn)卧?；彈性模量E=72 GPa，泊松比μ=0.3，密度ρ=2 700 kg/m3。在Wu等[8]提出的基于應(yīng)變模態(tài)的模態(tài)應(yīng)變能損傷定位方法的研究基礎(chǔ)上，運(yùn)用筆者提出的損傷識(shí)別理論，由損傷前后梁的應(yīng)變模態(tài)定位損傷來(lái)識(shí)別各單元的損傷程度，其中損傷量以比例系數(shù)的形式給出，為無(wú)量綱量。

圖1 梁結(jié)構(gòu)有限元模型Fig.1 Finite element model of beam structure

當(dāng)結(jié)構(gòu)發(fā)生裂紋損傷時(shí)，其抗彎剛度會(huì)降低，而結(jié)構(gòu)整體質(zhì)量變化很小，因此筆者只考慮了損傷引起的剛度變化。在有限元仿真中，通過(guò)降低單元的抗彎剛度來(lái)模擬損傷。表1為各損傷工況對(duì)應(yīng)的損傷位置和損傷程度。研究發(fā)現(xiàn)[9]，單元的低階模態(tài)應(yīng)變能比高階模態(tài)應(yīng)變能更好地反應(yīng)結(jié)構(gòu)損傷，且抗噪性能更強(qiáng)。因此，筆者只研究基于前三階模態(tài)應(yīng)變能的損傷指標(biāo)。

表1 梁模型各損傷工況

圖2 無(wú)噪聲干擾下基于前三階應(yīng)變模態(tài)的損傷識(shí)別結(jié)果Fig.2 Damage identification results based on the first three strain modes without noise pollution

圖3 5%噪聲干擾下基于前三階應(yīng)變模態(tài)的損傷識(shí)別結(jié)果Fig.3 Damage identification results based on the first three strain modes with 5% noise pollution

為了說(shuō)明該方法的有效性，筆者研究了多種損傷工況下梁模型的損傷識(shí)別效果。為了貼近工程實(shí)際，研究了噪聲干擾對(duì)結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別結(jié)果的影響。從圖2(a)，2(b)和3(a)，3(b)可以看出，對(duì)于不同損傷程度的單損傷工況，在有無(wú)噪聲干擾的情況下，該方法均可以有效識(shí)別出損傷位置和損傷程度。同樣的，從圖2(c)，2(d)和3(c)，3(d)可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于多損傷工況，該方法依然有效。為了進(jìn)一步說(shuō)明損傷識(shí)別效果，并考慮到結(jié)構(gòu)發(fā)生小損傷后，即使識(shí)別結(jié)果與真實(shí)值存在微小的差異都會(huì)使損傷指標(biāo)的百分比誤差很大，影響對(duì)結(jié)果準(zhǔn)確度的判斷。因此，筆者以單元?jiǎng)偠日蹨p系數(shù)作為識(shí)別結(jié)果誤差的表征。表2中各損傷工況的識(shí)別結(jié)果表明，無(wú)論有無(wú)噪聲干擾，采用本研究方法，識(shí)別誤差均可控制在5%以內(nèi)，識(shí)別結(jié)果可靠。同時(shí)發(fā)現(xiàn)，基于第1階應(yīng)變模態(tài)振型的識(shí)別結(jié)果精度高于基于第2, 3階模態(tài)識(shí)別結(jié)果精度，這與文獻(xiàn)[9]中得出采用低階模態(tài)應(yīng)變能可以更好地獲取損傷識(shí)別結(jié)果的結(jié)論一致。因此，本研究方法適用于多種損傷工況，且損傷識(shí)別結(jié)果可靠，同時(shí)具有良好的抗噪性。

為了進(jìn)一步揭示本研究方法在抗噪聲方面的優(yōu)勢(shì)，將筆者提出的基于應(yīng)變模態(tài)的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別(方法I)與基于傳統(tǒng)位移模態(tài)和振型擴(kuò)充法[5]的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別(方法II)進(jìn)行對(duì)比分析。同樣采用圖1中梁模型為研究對(duì)象，以單損傷工況C2和多損傷工況C3為例，采用基于第1階模態(tài)的損傷指標(biāo)，對(duì)比無(wú)噪聲和5%噪聲情況下兩種方法的損傷識(shí)別結(jié)果如圖4，5所示。

從圖4可以發(fā)現(xiàn)，在無(wú)噪聲干擾的情況下，無(wú)論是單損傷還是多損傷，方法Ⅰ和方法II均可以有效識(shí)別出損傷位置和損傷程度，且損傷識(shí)別結(jié)果無(wú)明顯差異。圖5表明，在有噪聲干擾的情況下，方法Ⅰ與方法Ⅱ的損傷量識(shí)別結(jié)果出現(xiàn)了較為明顯的差異。對(duì)于發(fā)生損傷的梁?jiǎn)卧椒á竦淖R(shí)別結(jié)果比方法Ⅱ的識(shí)別結(jié)果更加準(zhǔn)確； 而對(duì)于未發(fā)生損傷的梁?jiǎn)卧椒á虻淖R(shí)別結(jié)果與真實(shí)值出現(xiàn)了較為明顯的偏差。例如：工況C2中的第4個(gè)單元損傷量超過(guò)5%；工況C3中的第4個(gè)單元損傷量高于第2個(gè)單元損傷量。同時(shí)，表3的結(jié)果也表明，在無(wú)噪聲干擾的情況下，方法Ⅰ與方法Ⅱ的損傷識(shí)別結(jié)果無(wú)明顯差異，誤差均控制在2%以內(nèi)；但在噪聲干擾的情況下，方法Ⅱ的損傷識(shí)別結(jié)果誤差明顯高于方法I的損傷識(shí)別結(jié)果誤差，其中工況C2的損傷識(shí)別結(jié)果誤差超過(guò)5%。因此， 方法Ⅰ比方法Ⅱ的抗噪性能更強(qiáng)，損傷識(shí)別結(jié)果更為可靠。

表2各工況下?lián)p傷單元的剛度折減系數(shù)α識(shí)別結(jié)果

Tab.2Theidentifiedstiffnessreductionfactorsαofthedamagedelementsunderdifferentdamagescenarios

損傷工況損傷單元階次無(wú)噪聲誤差/%5%噪聲誤差/%C1210.8990.110.8950.5620.9030.330.9101.1130.8861.560.8762.67C2210.7940.750.7842.0020.7812.380.8151.8830.7822.250.7723.50C32610.8930.780.8891.2220.8881.330.9080.8930.8802.220.8802.2210.7871.630.7911.1320.7930.880.7871.6330.7980.250.7743.25C42610.7911.130.7891.3820.7713.630.7861.7530.7822.250.8172.1210.7970.380.8121.5020.8010.130.8162.0030.7664.250.7940.75

圖4 無(wú)噪聲干擾下方法Ⅰ，Ⅱ的損傷識(shí)別結(jié)果對(duì)比Fig.4 Comparison between the damage identification results from method Ⅰ and method Ⅱ without noise pollution

圖5 5%噪聲干擾下方法Ⅰ，Ⅱ的損傷識(shí)別結(jié)果對(duì)比Fig.5 Comparison between the damage identification results from method Ⅰ and method Ⅱ with 5% noise pollution

表3方法Ⅰ，Ⅱ中各工況損傷單元的剛度折減系數(shù)α識(shí)別結(jié)果

Tab.3TheidentifiedstiffnessreductionfactorsαofthedamagedelementsfrommethodⅠandmethodⅡ

損傷工況損傷單元方法無(wú)噪聲誤差/%5%噪聲誤差/%C22Ⅰ0.7940.750.7842.00Ⅱ0.7911.130.7516.13C326Ⅰ0.8930.780.8891.22Ⅱ0.8891.220.9313.44Ⅰ0.7871.630.7911.13Ⅱ0.7871.630.7861.75

3 實(shí) 驗(yàn)

圖6 模態(tài)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)與單元損傷模擬Fig.6 Modal testing system and elemental damage simulation

以圖1所示的兩端固支的等截面均質(zhì)彈性梁為實(shí)驗(yàn)研究對(duì)象，其材料參數(shù)如上所述。如圖6(a)所示，在節(jié)點(diǎn)6處布置加速度傳感器識(shí)別位移模態(tài)，采用力錘激勵(lì)的方法識(shí)別模態(tài)信息。圖6(b)中，在每個(gè)節(jié)點(diǎn)上布置光纖布拉格光柵傳感器，采用基于隨機(jī)子空間算法識(shí)別應(yīng)變模態(tài)[14-15]。需要說(shuō)明的是，采用其他的模態(tài)識(shí)別方法其識(shí)別結(jié)果與該方法存在一定差異，篇幅限制，對(duì)此未做深入研究。筆者通過(guò)在梁局部制造斷口模擬損傷，由于該模型中單元損傷程度與截面寬度成正比，由此可以由斷口大小模擬定量損傷。實(shí)驗(yàn)中開(kāi)展了對(duì)單損傷工況C2和多損傷工況C4的損傷識(shí)別研究。

理論上應(yīng)變模態(tài)與位移模態(tài)對(duì)應(yīng)頻率是相同的，表4給出的各損傷工況下位移模態(tài)與應(yīng)變模態(tài)前三階固有頻率的結(jié)果表明，位移模態(tài)頻率和應(yīng)變模態(tài)頻率之間的差異均可控制在5%以內(nèi)。由于兩個(gè)實(shí)驗(yàn)在系統(tǒng)搭建和識(shí)別方法上均不相同，且識(shí)別誤差的來(lái)源多樣，無(wú)法斷定誤差主要來(lái)自信號(hào)測(cè)量或者是識(shí)別方法。5%以內(nèi)的誤差在當(dāng)前的實(shí)驗(yàn)條件下保證了一定的精確度。圖7和圖8分別為前三階位移模態(tài)和應(yīng)變模態(tài)的實(shí)測(cè)振型。

表4各損傷工況下位移模態(tài)與應(yīng)變模態(tài)前三階固有頻率比較

Tab.4Modalfrequenciesofthebeamfromtwosetsofexperimentaltests

階次損傷工況位移模態(tài)頻率/Hz應(yīng)變模態(tài)頻率/Hz差異/%1C025.0126.024.04C225.0225.361.36C425.5826.634.102C068.0371.164.60C270.0069.610.56C470.1169.980.193C0145.02142.291.89C2141.12146.623.90C4145.23145.010.15

圖9表明，無(wú)論是單損傷工況還是多損傷工況，方法Ⅰ均可有效識(shí)別出損傷位置和損傷程度。表5中損傷工況C2，C4的識(shí)別結(jié)果說(shuō)明，采用本研究方法，識(shí)別誤差均可控制在較小的范圍之內(nèi)，損傷識(shí)別結(jié)果是可靠的。同時(shí)發(fā)現(xiàn)，基于第1階應(yīng)變模態(tài)振型的識(shí)別結(jié)果誤差均控制在5%以內(nèi)，比基于第2, 3階應(yīng)變模態(tài)識(shí)別結(jié)果精度更加穩(wěn)定和準(zhǔn)確。 從圖10發(fā)現(xiàn)，無(wú)論是單損傷還是多損傷，方法Ⅱ均無(wú)法有效識(shí)別出損傷位置和損傷程度， 其損傷識(shí)別結(jié)果不準(zhǔn)確。實(shí)驗(yàn)研究與數(shù)值仿真結(jié)論一致。在實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證過(guò)程中，筆者使用了較多測(cè)點(diǎn)，針對(duì)測(cè)點(diǎn)數(shù)可能對(duì)識(shí)別結(jié)果的精度產(chǎn)生影響而開(kāi)展了研究，鑒于篇幅限制，在此直接給出了研究結(jié)論：測(cè)量點(diǎn)數(shù)的減少，會(huì)使損傷識(shí)別誤差增加，如測(cè)量點(diǎn)未覆蓋損傷所在區(qū)域，損傷識(shí)別結(jié)果會(huì)呈現(xiàn)更大誤差。在實(shí)際工程應(yīng)用中，可以通過(guò)仿真分析預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)易損部位，通過(guò)增加易損部位周圍的測(cè)量點(diǎn)數(shù)布置，提高損傷識(shí)別的精度。

圖7 各損傷工況下梁的前三階實(shí)測(cè)位移振型Fig.7 The first three measured displacement modes of beam under different damage scenarios

圖8 各損傷工況下梁的前三階實(shí)測(cè)應(yīng)變振型Fig.8 The first three measured strain modes of beam under different damage scenarios

圖9 方法Ⅰ中基于前三階實(shí)測(cè)應(yīng)變模態(tài)的損傷識(shí)別結(jié)果Fig.9 Damage identification results based on the first three measurement strain modes using method Ⅰ

圖10 方法Ⅱ中基于前三階實(shí)測(cè)位移模態(tài)的損傷識(shí)別結(jié)果Fig.10 Damage identification results based on the first three measurement displacement modes using method Ⅱ

表5基于實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)和方法Ⅰ的剛度折減系數(shù)α識(shí)別結(jié)果

Tab.5IdentifiedstiffnessreductionfactorsαbasedonmeasurementdatausingmethodⅠ

損傷工況損傷單元階次方法Ⅰ誤差/%C2210.7723.5020.7565.5030.7684.00C42610.7614.8920.7733.3830.7802.5010.7792.6320.7812.3830.7595.13

4 結(jié)束語(yǔ)

筆者將傳統(tǒng)采用位移模態(tài)的單元模態(tài)應(yīng)變能表達(dá)式用基于應(yīng)變模態(tài)的表達(dá)式替換,推導(dǎo)了損傷識(shí)別方程組，發(fā)展了基于應(yīng)變模態(tài)的單元模態(tài)應(yīng)變能結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法，實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)損傷的準(zhǔn)確定位和定量。仿真分析和實(shí)驗(yàn)研究結(jié)果均表明，相比于傳統(tǒng)的基于位移模態(tài)和振型擴(kuò)充法的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別法，該方法避免了基于含噪聲污染信號(hào)的振型擴(kuò)充法帶來(lái)的較大誤差，提高了損傷識(shí)別算法的抗噪能力和識(shí)別精度。采用基于第1階應(yīng)變模態(tài)數(shù)據(jù)的損傷識(shí)別效果更優(yōu)于采用高階模態(tài)的損傷識(shí)別效果。該方法易于實(shí)施，在工程損傷識(shí)別中具有很好的應(yīng)用前景。