郝 巖, 申永軍， 楊紹普， 邢海軍

(石家莊鐵道大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，石家莊 050043)

黏彈性材料在建筑、醫(yī)學(xué)、機(jī)械和航天等工程領(lǐng)域的應(yīng)用非常廣泛，其模型一般可簡化為Kelvin模型和Maxwell模型。在工程實(shí)際中，阻尼元件本身不可避免地存在一定的彈性，所以Maxwell模型更能代表工程實(shí)踐中的黏彈性材料[1]。帥詞俊等[2]提出了一種針對黏彈材料的KWW函數(shù)與廣義Maxwell模型轉(zhuǎn)換的計(jì)算方法，實(shí)現(xiàn)了對黏彈材料的廣義Maxwell模型的擬合。張小兵等[3]采用廣義Maxwell模型模擬玻璃模壓仿真過程所表現(xiàn)的黏彈力學(xué)特性，研究結(jié)果對玻璃模壓建模及非球面透鏡的實(shí)際加工具有一定指導(dǎo)意義。文獻(xiàn)[4]通過對Maxwell模型進(jìn)行黏性系數(shù)非定常改進(jìn)，現(xiàn)場試驗(yàn)研究應(yīng)力波在完整巖體中的濾波特性。文獻(xiàn)[5]對Maxwell黏滯阻尼耗能結(jié)構(gòu)的兩自由度體系的隨機(jī)地震響應(yīng)進(jìn)行了分析，結(jié)果更為準(zhǔn)確、簡便。

動力吸振是振動控制常用的方法之一，通過動力吸振器(Dynamic Vibration Absorber，DVA)吸收主振動系統(tǒng)的能量來降低主系統(tǒng)的振動[6]。Frahm[7]發(fā)明了第一個(gè)無阻尼的動力吸振器，研究發(fā)現(xiàn)該模型的適用頻率非常窄。Ormondroyd等[8]通過在DVA中加入阻尼發(fā)現(xiàn)能夠有效抑制主系統(tǒng)振幅并適當(dāng)拓寬減振頻率，這種含有阻尼的動力吸振器就是目前廣為所知的Voigt型DVA。同時(shí)Ormondroyd等首先發(fā)現(xiàn)了該動力吸振器的幅頻曲線存在兩個(gè)獨(dú)立于阻尼的固定點(diǎn)，并據(jù)此提出了設(shè)計(jì)動力吸振器的固定點(diǎn)理論。Hahnkamm[9]根據(jù)該理論得到了吸振器最優(yōu)調(diào)諧比的設(shè)計(jì)公式；隨后，Brock[10]推導(dǎo)出了最優(yōu)阻尼比的設(shè)計(jì)公式。實(shí)際上，上述結(jié)果是Voigt型動力吸振器的近似最優(yōu)解而非精確解。Nishihara等[11-12]通過推導(dǎo)得到了精確解析解，發(fā)現(xiàn)根據(jù)固定點(diǎn)理論推導(dǎo)的結(jié)果與精確解析解非常接近。Ren[13]提出了一種新型接地式動力吸振器，并根據(jù)不動點(diǎn)理論推導(dǎo)得到了最優(yōu)設(shè)計(jì)公式，結(jié)果表明相同質(zhì)量比時(shí)該DVA能獲得更好的減振效果。Liu等[14]采用另一種方法也推導(dǎo)出了相同的結(jié)果。為了進(jìn)一步提高動力吸振器的減振效果，并且考慮到工程實(shí)際中大量使用黏彈性材料加質(zhì)量塊來構(gòu)成DVA，Asami等[15-16]提出了三要素型動力吸振器并得到了最優(yōu)設(shè)計(jì)公式，發(fā)現(xiàn)在相同質(zhì)量比情況下，該模型具有更好的減振效果。文獻(xiàn)[17-18]研究了四種半主動動力吸振器的近似解析解，并與數(shù)值解對比，分析了時(shí)滯對系統(tǒng)的影響和半主動動力吸振器的減振效果。

負(fù)剛度器件產(chǎn)生的力與位移的方向相同，具有承載能力大、變形小、可控性能好、固有頻率低等優(yōu)點(diǎn)。因此，近年來針對負(fù)剛度的理論和應(yīng)用研究越來越多。Alabuzhev等[19]出版了第一部關(guān)于負(fù)剛度器件的專著，較全面地介紹了負(fù)剛度的實(shí)現(xiàn)形式及隔振系統(tǒng)的理論和應(yīng)用。Platus[20]提出將負(fù)剛度器件應(yīng)用于隔振器中，設(shè)計(jì)出一種準(zhǔn)零剛度結(jié)構(gòu)。彭獻(xiàn)等[21]研究了含負(fù)剛度彈簧系統(tǒng)的隔振原理，并進(jìn)行了能量分析。彭解華等[22]對正負(fù)剛度并聯(lián)系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)采用正負(fù)剛度并聯(lián)既能降低系統(tǒng)固有頻率又能提高隔振效果。Acar等[23]提出了一種含負(fù)剛度的自適應(yīng)動力吸振器，能夠有效地降低系統(tǒng)振幅。文獻(xiàn)[24]研究了一種含負(fù)剛度器件的新型動力吸振器的參數(shù)優(yōu)化。文獻(xiàn)[25]研究了含負(fù)剛度器件的三要素型動力吸振器的參數(shù)優(yōu)化，表明含負(fù)剛度器件的動力吸振器能夠取得很好的減振效果。文獻(xiàn)[26]研究了一種含負(fù)剛度器件的線性振蕩器的超阻尼特性，并對其進(jìn)行動力學(xué)仿真分析。

本文首先將負(fù)剛度器件引入到黏彈性材料中的Maxwell模型，并將含負(fù)剛度器件的Maxwell模型加入到動力吸振器中形成一種含負(fù)剛度器件的Maxwell模型動力吸振器。其次，利用固定點(diǎn)理論和H∞優(yōu)化準(zhǔn)則對系統(tǒng)剛度和阻尼參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。最后通過與其它經(jīng)典動力吸振器模型在簡諧激勵(lì)下的響應(yīng)對比，說明了本文模型能夠大幅降低系統(tǒng)共振區(qū)的振幅，同時(shí)也拓寬了減振頻率，并驗(yàn)證了本文模型有較好的吸振效果。進(jìn)一步在隨機(jī)激勵(lì)條件下同樣證明了本文模型具有很好的減振效果。

1 動力吸振器模型及解析解研究

本文提出的含負(fù)剛度器件的Maxwell模型動力吸振器，如圖1所示。其中m1為主系統(tǒng)質(zhì)量；m2為動力吸振器質(zhì)量；k1和k2分別為主系統(tǒng)和動力吸振器的剛度；k和c分別為Maxwell模型的負(fù)剛度和阻尼；F和ω分別為激振力振幅和頻率；x1，x2和x3分別為主系統(tǒng)、動力吸振器以及串聯(lián)負(fù)剛度彈性系統(tǒng)和阻尼分割點(diǎn)的位移。根據(jù)牛頓第二定律可以得到系統(tǒng)的動力學(xué)方程

(1)

圖1 含負(fù)剛度的Maxwell模型動力吸振器Fig.1 Maxwell model DVA with negative stiffness

引入以下參數(shù)

式(1)可化為

(2)

設(shè)

x1=X1ejωt,x2=X2ejωt,x3=X3ejωt

(3)

將式(3)代入式(2)解出

(4)

式中：j為虛數(shù);其它參數(shù)為

令

定義主系統(tǒng)振幅放大因子A

(5)

其中，

A2=αυ(λ2-υ2),
B2=2λ(υ2+αυ2-λ2),
C2=αυ[λ2(1+(1+μ)υ2)-λ4-υ2],
D2=2λ{(lán)λ4+(1+α)υ2+μαυ4-λ2[1+(1+α+μ)υ2]}

2 最優(yōu)參數(shù)

由式(5)通過簡單推導(dǎo)，可以證明系統(tǒng)歸一化的幅頻曲線都將通過三個(gè)獨(dú)立于阻尼比的點(diǎn)，這三個(gè)點(diǎn)稱作動力吸振器主系統(tǒng)幅頻曲線的固定點(diǎn)。為了直觀證明該結(jié)論，圖2給出了阻尼比分別為0,38.24%和∞時(shí)的歸一化幅頻曲線。從圖2和圖3可知，曲線均通過P，Q，R三點(diǎn)。這里只是對數(shù)值進(jìn)行了驗(yàn)證，在Ormondroyd等的研究中有類似的證明。根據(jù)固定點(diǎn)理論，為了使三個(gè)固定點(diǎn)縱坐標(biāo)等值，只需使阻尼比趨于零和趨于無窮時(shí)的響應(yīng)值相等，即

(6)

化簡得到

λ6+a1λ4+a2λ2+a3=0

(7)

其中,

因?yàn)楣潭c(diǎn)與阻尼比無關(guān)，當(dāng)ξ=0時(shí)，

(8)

圖2 不同阻尼比下歸一化幅頻曲線Fig.2 The amplitude-frequency curve under different damping ratios

當(dāng)ξ=μ時(shí)，

(9)

所以為了求出P,Q,R三點(diǎn)的縱坐標(biāo)，聯(lián)立式(8)和式(9)得到

(10)

(11a)

(11b)

(11c)

當(dāng)把三個(gè)固定點(diǎn)的縱坐標(biāo)調(diào)到同一高度，就可以得到最優(yōu)頻率比，從而有可能使得幅頻曲線的最大值最小化，這個(gè)調(diào)整需要兩步完成。

第一步把P點(diǎn)和R點(diǎn)的縱坐標(biāo)調(diào)整到同一高度，即

(12)

其中，

A3=(2+α)υ2,
B3=-2,
C3=αυ2(1+μυ2),
D3=-αυ2,

(13)

化簡式(13)得到

(14)

把式(14)代入式(7)可得到

(λ2-1-μυ2)[(λ2-2)λ2-
2υ2(μλ2-1)+υ4(μ-1)]=0

(15)

解式(15)得

式(11)可以寫成

(16a)

(16b)

第二步，把P點(diǎn)或R點(diǎn)與Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)調(diào)整到同一高度，聯(lián)立式(16a)和式(16b)可以得到最優(yōu)頻率比為

(17)

將式(17)代入式(14)得到負(fù)剛度比

(18)

此時(shí),

(19)

由于不恰當(dāng)?shù)呢?fù)剛度值會使系統(tǒng)出現(xiàn)不穩(wěn)定的現(xiàn)象，通過研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)預(yù)加荷載使系統(tǒng)產(chǎn)生位移等于固定點(diǎn)處響應(yīng)值時(shí)，系統(tǒng)將處于穩(wěn)定狀態(tài)。為了驗(yàn)證式(18)的負(fù)剛度比，需令

(20)

即

(21)

其中,

從而得到

(22a)

(22b)

α3=2μ-2

(22c)

通過研究發(fā)現(xiàn)，只有α1能夠在保證系統(tǒng)穩(wěn)定狀態(tài)下取得最優(yōu)減振效果，其他結(jié)果不符合要求，因此選擇α1作為最優(yōu)負(fù)剛度比，即

(23)

(24a)

(24b)

根據(jù)固定點(diǎn)理論，無論阻尼比ξ如何選取，系統(tǒng)的幅頻曲線都會通過P,Q,R三點(diǎn)，可知振幅最高點(diǎn)不會低于P,Q,R三點(diǎn)的縱坐標(biāo)。最優(yōu)阻尼比可以通過調(diào)整兩個(gè)共振峰為同一高度時(shí)實(shí)現(xiàn)。從圖3可知，當(dāng)兩個(gè)共振峰在同一高度時(shí)，Q點(diǎn)附近恰好是幅頻曲線斜率為零的區(qū)域，即近似認(rèn)為Q點(diǎn)的曲線斜率為零。根據(jù)極值條件，可知

(25)

聯(lián)立式(25)可以得到近似最優(yōu)阻尼比

(26)

圖3 不同阻尼比下幅頻曲線Fig.3 The amplitude-frequency curve under different damping ratios

根據(jù)前述優(yōu)化結(jié)果得到幅頻曲線，如圖4所示?？梢园l(fā)現(xiàn)基本實(shí)現(xiàn)了優(yōu)化目標(biāo)。從圖3可知，當(dāng)兩個(gè)共振峰在同一高度時(shí)，Q點(diǎn)附近正好是幅頻曲線斜率為零的區(qū)域，即近似認(rèn)為Q點(diǎn)的曲線斜率為零，這是誤差的來源之一。另外，選取最優(yōu)負(fù)剛度比時(shí)，選取原則為“預(yù)加荷載使系統(tǒng)產(chǎn)生位移等于固定點(diǎn)處響應(yīng)值”，這個(gè)過程也是近似的，是另一個(gè)誤差來源，這兩方面的原因?qū)е铝俗罱K幅頻曲線的不等高，但在可接受范圍內(nèi)。

圖4 化后的幅頻曲線Fig.4 The amplitude-frequency curve

3 模型對比

為了證明該吸振器的減振效果，將本文提出的模型與三種傳統(tǒng)的動力吸振器模型(即Den Hartog， Ren和Asami等的模型)優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行了對比，其幅頻曲線如圖5所示。從圖5可知，在相同質(zhì)量比的情況下，本文提出的動力吸振器能夠大幅降低系統(tǒng)共振區(qū)振幅，同時(shí)拓寬了減振頻率。

圖5 μ=10%時(shí)與其它形式動力吸振器模型的對比Fig.5 The comparisons of the presented DVA with three other traditional DVAs when μ=10%

4 隨機(jī)激勵(lì)下響應(yīng)對比

由于實(shí)際工程中，外激勵(lì)的來源多為隨機(jī)的或帶有很強(qiáng)的隨機(jī)性，因此，研究受隨機(jī)激勵(lì)的主系統(tǒng)響應(yīng)很重要。設(shè)該系統(tǒng)受均值為零，功率譜密度為S(ω)=S0的白噪聲激勵(lì)，則本文模型與其它三種動力吸振器模型絕對位移響應(yīng)的功率譜密度函數(shù)分別為

SM(ω)=|X1M|2S0,SV(ω)=|X1V|2S0
SR(ω)=|X1R|2S0,SA(ω)=|X1A|2S0

(27)

式中：下標(biāo)M，V，R和A分別為本文模型、Voigt模型、Ren所提出的動力吸振器模型和Asami等所提出的動力吸振器模型。其中在Acar等的研究中已經(jīng)給出Voigt模型和Ren所提出的動力吸振器模型的主系統(tǒng)位移均方值，于是四種動力吸振器模型的主系統(tǒng)位移均方值分別為

(28)

其中，

(29)

設(shè)四種動力吸振器模型中吸振器與主系統(tǒng)的質(zhì)量比均取μ=10%，則根據(jù)本文優(yōu)化結(jié)果以及現(xiàn)有文獻(xiàn)的優(yōu)化公式，可以得到均方值分別為

(30)

從結(jié)果對比可知，當(dāng)主系統(tǒng)參數(shù)相同時(shí)，在隨機(jī)激勵(lì)條件下本文模型仍然具有較好的減振效果。

5 結(jié) 論

本文將負(fù)剛度器件引入到黏彈性材料中的Maxwell模型，并將含負(fù)剛度器件的Maxwell模型應(yīng)用到動力吸振器中形成一種含負(fù)剛度器件的Maxwell模型動力吸振器。利用固定點(diǎn)理論和H∞優(yōu)化準(zhǔn)則對系統(tǒng)剛度和阻尼參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，同時(shí)在保證系統(tǒng)穩(wěn)定性前提下得到了最優(yōu)負(fù)剛度比。最后分別在簡諧激勵(lì)和隨機(jī)激勵(lì)條件下通過與其它經(jīng)典動力吸振器模型的對比，證明了本文模型有較好的減振效果。