李東輝，李 晨，張業(yè)偉，臧 健

(1.沈陽(yáng)航空航天大學(xué) 航空宇航學(xué)院，沈陽(yáng) 110136；2.新鄉(xiāng)航空工業(yè)集團(tuán)有限公司，河南 新鄉(xiāng) 453700)

眾所周知，航天器對(duì)于其附加質(zhì)量有嚴(yán)苛的技術(shù)要求，而非線性能量阱(nonlinear energy sink,NES)具有附加質(zhì)量小、可靠性強(qiáng)、魯棒性強(qiáng)、振動(dòng)抑制頻帶寬、無(wú)需能源提供等優(yōu)點(diǎn)[1-2]。

近年來(lái)研究人員對(duì)非線性能量阱進(jìn)行了大量的研究。針對(duì)離散系統(tǒng)，楊凱等[3]基于非線性輸出頻率響應(yīng)函數(shù)，對(duì)引入了非線性能量阱的單自由度振動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行了分析，通過(guò)分析非線性能量阱各參數(shù)對(duì)振動(dòng)抑制效果的影響，對(duì)非線性能量阱進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)參數(shù)設(shè)計(jì)。Boroson等[4]研究了幾種并聯(lián)非線性能量阱的最優(yōu)設(shè)計(jì)，獲得了更大的平均效率。Dai等[5]研究發(fā)現(xiàn)在適當(dāng)?shù)姆蔷€性能量阱參數(shù)下，可以有效抑制圓柱渦激振動(dòng)。Qiu等[6]將錐形彈簧所含有的立方非線性應(yīng)用到非線性能量阱中，研究發(fā)現(xiàn)這種彈簧不會(huì)引入新的線性剛度。Xue等[7]研究了具有非線性能量阱的線性系統(tǒng)的非線性行為和減振問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)具有非線性能量阱的線性系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧和隨機(jī)激勵(lì)下也能實(shí)現(xiàn)較大的減振 。熊懷等[8]研究了耦合非線性能量阱的非保守系統(tǒng)的定向能量傳遞現(xiàn)象，給出了非線性能量阱具有吸振能力時(shí)線性振子阻尼的有效范圍。

對(duì)于連續(xù)體系統(tǒng)，Zhang等[9]研究了帶有非線性能量阱的軸向運(yùn)動(dòng)梁的熱激振動(dòng)抑制問(wèn)題，通過(guò)數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明，該結(jié)構(gòu)可以有效抑制熱激振動(dòng)。劉艮等[10]研究了非線性能量阱在懸臂薄板振動(dòng)抑制中的應(yīng)用，發(fā)現(xiàn)非線性能量阱對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)位置較為敏感，并且在位移響應(yīng)最大位置處減振效果最大。Zhang等[11]提出用非線性能量阱來(lái)抑制軸向運(yùn)動(dòng)梁的強(qiáng)迫振動(dòng)，結(jié)果表明非線性能量阱與有很好的控制過(guò)度振動(dòng)的潛力。

此外，非線性能量阱也被廣泛應(yīng)用于工程實(shí)際中，Guo等[12]用非線性能量阱抑制機(jī)翼的極限環(huán)振蕩(Limit cycle oscillation,LCO)，研究了LCO抑制對(duì)氣彈性系統(tǒng)的影響。結(jié)果表明，結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)超臨界Hopf分岔系統(tǒng)和亞臨界Hopf分岔系統(tǒng)有不同程度的影響。楊凱等[13]研究了空間結(jié)構(gòu)振動(dòng)抑制的被動(dòng)非線性消振方法，提出了適用于空間環(huán)境的非線性消振器結(jié)構(gòu)及動(dòng)力學(xué)模型。Yang等[14]將非線性能量阱耦合到整星結(jié)構(gòu)的衛(wèi)星適配器中，分別通過(guò)數(shù)值、有限元以及試驗(yàn)驗(yàn)證了非線性能量阱對(duì)于衛(wèi)星振動(dòng)抑制的有效性。孫斌等[15]針對(duì)某型民用航空發(fā)動(dòng)機(jī)雙頻帶激勵(lì)特點(diǎn)，建立了單自由度線性振子耦合非線性能量阱的動(dòng)力學(xué)模型，研究發(fā)現(xiàn)非線性能量阱對(duì)雙頻帶外激勵(lì)有更好的振動(dòng)抑制效果。Zhang等[16]提出了一種將非線性能量阱與懸浮磁電式能量采集器相結(jié)合的整星能量采集裝置。該裝置有效地降低了振動(dòng)，具有比現(xiàn)有系統(tǒng)更強(qiáng)的能量采集能力。Li等[17]將非線性能量阱與壓電能量采集裝置結(jié)合。研究結(jié)果表明，這種集成的壓電結(jié)構(gòu)可以有效地降低振動(dòng)，并獲得一定的振動(dòng)能量。

近年來(lái)，非線性能量阱的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)有了若干發(fā)展，Wei等[18]提出并分析了一種并聯(lián)非線性能量阱的方法，研究發(fā)現(xiàn)并聯(lián)非線性能量阱與傳統(tǒng)非線性能量阱相比能跟有效地抑制振動(dòng)。Zang等[19]提出了一種新型杠桿型非線性能量阱(lever-type nonlinear energy sink,LNES)，研究發(fā)現(xiàn)杠桿型非線性能量阱比傳統(tǒng)非線性能量的吸振性能更好而且附加質(zhì)量更小。鐘銳等[20]對(duì)比研究了單自由度非線性能量阱和兩自由度串聯(lián)非線性能量阱的吸振效能，重點(diǎn)分析了串聯(lián)NES對(duì)高分支響應(yīng)的抑制作用。Zhang等[21]提出一種新型磁滯非線性能量阱 (hysteresis nonlinear energy sink,HNES)，仿真結(jié)果表明新型磁滯非線性能量阱能夠有效的對(duì)主結(jié)構(gòu)進(jìn)行振動(dòng)控制。

本文基于杠桿型非線性能量阱，應(yīng)用串聯(lián)非線性能量阱的方法，構(gòu)成一個(gè)帶有杠桿型串聯(lián)非線性能量阱的整星結(jié)構(gòu)。對(duì)采用串聯(lián)非線性能量阱后的杠桿非線性能量阱整星系統(tǒng)進(jìn)行振動(dòng)控制研究，對(duì)杠桿型串聯(lián)非線性能量阱與杠桿型并聯(lián)非線性能量阱的吸振性能進(jìn)行對(duì)比研究。

1 帶有杠桿式串聯(lián)非線性能量阱的整星結(jié)構(gòu)

傳統(tǒng)杠桿型非線性能量阱模型如圖1所示，本文所研究系統(tǒng)模型如圖2所示，質(zhì)量m1、線性彈簧k1以及線性阻尼c1組成了單自由度整星結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)質(zhì)量m1受到一個(gè)外部的諧波激勵(lì)F=Acos(ωt)。杠桿式串聯(lián)非線性能量阱由質(zhì)量m2，m3阻尼c2，c3以及非線性剛度k2，k3組成的兩個(gè)非線性能量阱串聯(lián)組成，與一根忽略質(zhì)量的剛性桿相連。剛性桿的A點(diǎn)與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量相連。D點(diǎn)通過(guò)彈簧k2、阻尼c2與m2相連。

圖1 帶有傳統(tǒng)杠桿式非線性能量阱的整星結(jié)構(gòu)Fig.1 The system model with a traditiona llever-type nonlinear energy sink

圖2 帶有杠桿式串聯(lián)非線性能量阱的整星結(jié)構(gòu)Fig.2 The system model with lever-type nonlinear energy sinks

本文假設(shè)杠桿的運(yùn)動(dòng)幅值較小，因此由牛頓第二定律得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程

式中：xi為結(jié)構(gòu)mi(i=1，2，3)的位移；x0為D點(diǎn)的位移；A點(diǎn)的位移與結(jié)構(gòu)m1相同；杠桿支點(diǎn)位置用參數(shù)α來(lái)表示，α為長(zhǎng)度AD與AB的比值。

無(wú)量綱參數(shù)為

(2)

把式(1)進(jìn)行無(wú)量綱處理得

(3)

式中，l為線性彈簧k1在100 N作用下的伸長(zhǎng)。

基于諧波平衡法，式(3)的振動(dòng)響應(yīng)可以近似為一組有限諧波的疊加。因?yàn)橄到y(tǒng)僅含立方非線性，我們?cè)O(shè)解響應(yīng)為1次諧波與3次諧波的疊加。

這里aij和bij(i=1，2，3)，(j=1，2，3)為待確定的諧波系數(shù)。將式(4)代入式(3)中，平衡sin(iγτ)與cos(iγτ)(i=1，3)的系數(shù)，得到一組非線性代數(shù)方程式(5)。

通過(guò)結(jié)合偽弧長(zhǎng)延伸法我們可以得到各階諧波系數(shù)，進(jìn)而確定幅頻特性曲線。為了有效的描述帶有高階系數(shù)的幅頻特性曲線，在這里我們用均方根值來(lái)處理系統(tǒng)的響應(yīng)。

-a11cos(τγ)γ2-b11sin(τγ)γ2-9a31cos(3τγ)γ2-9b31sin(3τγ)γ2+a11cos(τγ)+b11sin(τγ)+a31cos(3τγ)+

b31sin(3τγ)+ζ1[-a11sin(τγ)γ+b11cos(τγ)γ-3a31sin(3τγ)γ+3b31cos(3τγ)γ]+

λ2[-a12cos(τγ)γ2-b12sin(τγ)γ2-9a32cos(3τγ)γ2-9b32sin(3τγ)γ2]+

λ3[-a13cos(τγ)γ2-b13sin(τγ)γ2-9a33cos(3τγ)γ2-9b33sin(3τγ)γ2]+

(5)

(6)

下面對(duì)由諧波平衡法得到的幅頻響應(yīng)進(jìn)行數(shù)值驗(yàn)證，系統(tǒng)參數(shù)如表1所示。

表1 系統(tǒng)參數(shù)Tab.1 System parameter

通過(guò)比較諧波解析解與數(shù)值解發(fā)現(xiàn)，總體上，三階諧波解與數(shù)值解已經(jīng)很吻合了，如圖3所示。

圖3 系統(tǒng)幅頻響應(yīng)解析解與數(shù)值解的對(duì)比Fig.3 Comparison of the amplitude-frequency curve of the energy sink based on the analytical and numerical methods

此外，如圖4所示，在不同激振頻率下，系統(tǒng)的振動(dòng)形式始終呈現(xiàn)穩(wěn)定的周期響應(yīng)，并無(wú)準(zhǔn)周期與混沌運(yùn)動(dòng)。

圖4 不同激勵(lì)頻率對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響Fig.4 Influence of different excitation frequencies on system response

2 杠桿型串聯(lián)非線性能量阱的質(zhì)量、剛度以及杠桿支點(diǎn)位置對(duì)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響

2.1 質(zhì)量對(duì)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響

下面討論杠桿串聯(lián)非線性能量阱的質(zhì)量λ2和λ3對(duì)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響。首先討論質(zhì)量λ2對(duì)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響，參數(shù)設(shè)置如表1所示。質(zhì)量λ2對(duì)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響如圖5所示。

圖5 質(zhì)量λ2對(duì)系統(tǒng)幅頻特性的影響Fig.5 Amplitude-frequency response curve of the structure varying mass λ2

在質(zhì)量λ2較小時(shí)，隨著質(zhì)量λ2參數(shù)的增大，幅頻響應(yīng)曲線的峰值逐漸降低；繼續(xù)增大質(zhì)量λ2，系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線向右彎曲，彎曲頻率大約在0.79～0.81；隨著質(zhì)量λ2的增大，在共振頻率附近出現(xiàn)孤立的環(huán)狀共振響應(yīng)；伴隨著質(zhì)量λ2的增大，孤立的環(huán)狀共振響應(yīng)逐漸遠(yuǎn)離系統(tǒng)原本的幅頻響應(yīng)曲線，并逐漸減小直至消失。孤立環(huán)狀響應(yīng)的出現(xiàn)會(huì)使系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線的峰值極大的增加，為避免孤立環(huán)狀響應(yīng)的出現(xiàn)，需要進(jìn)一步優(yōu)化參數(shù)設(shè)置。

將初始參數(shù)λ3=0.002 78改為λ3=0.004 17。質(zhì)量λ2對(duì)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響如圖6所示。從圖6中可以看出，在質(zhì)量λ2參數(shù)較小時(shí)，隨著質(zhì)量λ2的增大，幅頻響應(yīng)曲線的峰值逐漸降低。當(dāng)質(zhì)量λ2=0.020 83變?yōu)橘|(zhì)量λ2=0.027 78時(shí)，幅頻響應(yīng)曲線的峰值由86.10增至89.52，繼續(xù)增大質(zhì)量λ2，幅頻響應(yīng)曲線的峰值又開(kāi)始逐漸增大。圖6與圖5相比，沒(méi)有出現(xiàn)孤立的環(huán)狀共振響應(yīng)。

圖6 質(zhì)量λ2對(duì)系統(tǒng)幅頻特性的影響Fig.6 Amplitude-frequency response curve of the structure varying mass λ2

綜上我們可以得出，適當(dāng)質(zhì)量的λ2可以有效降低系統(tǒng)的振幅。合適的質(zhì)量λ3選擇，可以避免孤立的環(huán)狀共振響應(yīng)的出現(xiàn)。

圖7展示了質(zhì)量λ3對(duì)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響。

從圖7中我們可以看出，在質(zhì)量λ3較小時(shí)，隨著質(zhì)量的增大，幅頻響應(yīng)曲線的峰值逐漸降低，當(dāng)質(zhì)量λ3=0.006 94變?yōu)棣?=0.008 33時(shí)，幅頻響應(yīng)曲線的峰值由101.02上升到105.73，繼續(xù)增大λ3的質(zhì)量，幅頻響應(yīng)曲線的峰值開(kāi)始逐漸上升。綜上，一個(gè)適當(dāng)質(zhì)量的λ3可以有效降低系統(tǒng)的振幅。

圖7 質(zhì)量λ3對(duì)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響Fig.7 Amplitude-frequency response curve of the structure varying mass λ3

2.2 非線性剛度對(duì)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響

下面討論杠桿型并聯(lián)非線性能量阱的非線性剛度β2和β3對(duì)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響。圖8展示了非線性剛度β3對(duì)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響。從圖8中可以看出，伴隨著非線性剛度β3的增大，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線的峰值逐漸降低，這種下降的趨勢(shì)一直保持到大約在β3=6.156 6時(shí)停止；繼續(xù)增大非線性剛度β3，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線的峰值逐漸上升。綜上，適當(dāng)?shù)姆蔷€性剛度β3可以小幅降低系統(tǒng)的振幅。

圖8 剛度β3對(duì)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響Fig.8 Amplitude-frequency response curve of the structure varying nonlinear stiffness β3

圖9展示了非線性剛度β2對(duì)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響。從圖9中可以看出，在非線性剛度β2較小時(shí)，隨著β2參數(shù)的增大系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的峰值逐漸降低；當(dāng)非線性剛度β2達(dá)到大約6.156 55時(shí)，下降的趨勢(shì)開(kāi)始停止。接著伴隨著非線性剛度β2的增大，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線的峰值逐漸上升。綜上，適當(dāng)?shù)姆蔷€性剛度β2可以有效降低系統(tǒng)的振幅。

圖9 剛度β2對(duì)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響Fig.9 Amplitude-frequency response curve of the structure varying nonlinear stiffness β2

2.3 支點(diǎn)位置α對(duì)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響

下面討論杠桿型并聯(lián)非線性能量阱的支點(diǎn)位置α對(duì)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響。圖10展示了支點(diǎn)位置α對(duì)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響。從圖10中可以看出，在α較小時(shí)，隨著α的增大，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的峰值逐漸降低。當(dāng)α大約為7時(shí)，下降的趨勢(shì)開(kāi)始停止，接著增大α，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線的峰值開(kāi)始上升。綜上，適當(dāng)?shù)母軛U支點(diǎn)位置可以有效降低系統(tǒng)的振幅。

圖10 支點(diǎn)位置α對(duì)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響Fig.10 Amplitude-frequency response curve of the structure varying fulcrum α

3 杠桿型串聯(lián)非線性能量阱與杠桿型并聯(lián)非線性能量阱性能的比較

下面我們對(duì)杠桿型串聯(lián)非線性能量阱與杠桿型并聯(lián)非線性能量阱的吸振性能進(jìn)行系統(tǒng)比較，將幅頻響應(yīng)曲線的峰值以及總體附加質(zhì)量作為評(píng)價(jià)非線性能量阱吸振性能的指標(biāo)。為了便于比較，我們將整星結(jié)構(gòu)分別耦合杠桿型并聯(lián)非線性能量阱以及杠桿型串聯(lián)非線性能量阱。圖11為帶有杠桿式并聯(lián)非線性能量阱的整星結(jié)構(gòu)。

圖11 帶有杠桿式并聯(lián)非線性能量阱的整星結(jié)構(gòu)Fig.11 The system model with a lever-type parallel nonlinear energy sink

為保證總體附加質(zhì)量相同，在調(diào)節(jié)參數(shù)過(guò)程中保持λ2=0.013 89不變，通過(guò)調(diào)節(jié)λ3來(lái)對(duì)比研究并聯(lián)非線性能量阱與串聯(lián)非線性能量阱的吸振性能。

如圖12所示，當(dāng)λ3=0.001 39時(shí)，串聯(lián)非線性能量阱與并聯(lián)非線性能量阱系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的峰值分別是273.04和312.78。當(dāng)λ3=0.002 78時(shí)，串聯(lián)非線性能量阱與并聯(lián)非線性能量阱系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的峰值分別是223.27和309.62。當(dāng)λ3=0.006 94時(shí)，串聯(lián)非線性能量阱與并聯(lián)非線性能量阱系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的峰值分別是101.02和299.51。當(dāng)λ3=0.008 33時(shí)，串聯(lián)非線性能量阱與并聯(lián)非線性能量阱系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的峰值分別是105.73和292.41。在總體附加質(zhì)量參數(shù)較小時(shí)，串聯(lián)非線性能量阱系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線的峰值是低于并聯(lián)非線性能量阱的。隨著總體附加質(zhì)量參數(shù)的增加，兩個(gè)系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線的峰值都開(kāi)始降低，串聯(lián)系統(tǒng)下降的幅度要遠(yuǎn)大于并聯(lián)系統(tǒng)下降的幅度。繼續(xù)增大總體附加質(zhì)量參數(shù)，串聯(lián)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線的峰值開(kāi)始上升，并聯(lián)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線的峰值仍遠(yuǎn)大于串聯(lián)系統(tǒng)。這說(shuō)明，杠桿型串聯(lián)非線性能量阱的吸振性能是要優(yōu)于杠桿型并聯(lián)非線性能量阱的。

圖12 杠桿型并聯(lián)非線性能量阱與杠桿型單個(gè)非線性能量阱吸振性能比較Fig.12 Comparison of vibration absorption performance of the lever-type series NES and the lever-type parallel NES

4 結(jié) 論

本文研究了諧波激勵(lì)下帶有杠桿型串聯(lián)非線性能量阱結(jié)構(gòu)的整星系統(tǒng)的振動(dòng)控制?；谥C波平衡法結(jié)合弧長(zhǎng)延伸法確定了系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)。通過(guò)調(diào)節(jié)該結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、非線性剛度以及支點(diǎn)位置等參數(shù)，對(duì)結(jié)構(gòu)的整星振動(dòng)控制能力進(jìn)行了系統(tǒng)的分析與評(píng)價(jià)。最后，對(duì)比分析了杠桿型串聯(lián)非線性能量阱與杠桿型并聯(lián)非線性能量阱的吸振能力。具體結(jié)論如下：

(1)杠桿型串聯(lián)非線性能量阱結(jié)構(gòu)可以有效的對(duì)整星系統(tǒng)進(jìn)行振動(dòng)控制。

(2) 在杠桿型串聯(lián)非線性能量阱下方串聯(lián)的質(zhì)量較小時(shí)，系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線會(huì)出現(xiàn)孤立的環(huán)狀共振響應(yīng)，導(dǎo)致系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線的峰值增大。特別指出，串聯(lián)適當(dāng)?shù)馁|(zhì)量可以避免孤立環(huán)狀響應(yīng)的出現(xiàn)。

(3)隨著杠桿型串聯(lián)非線性能量阱的質(zhì)量、非線性剛度和支點(diǎn)位置參數(shù)的逐漸增大，系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線的共振峰會(huì)逐漸降低至最小值然后再逐漸增大。

(4) 在總體附加質(zhì)量相同的情況下，杠桿型串聯(lián)非線性能量阱的吸振性能要優(yōu)于杠桿型并聯(lián)非線性能量阱。