鄭照明月，程 偉，王光遠，李 名

(1.北京航空航天大學(xué) 航空科學(xué)與工程學(xué)院，北京 100191；2.四川航天系統(tǒng)工程研究所，成都 610100;3.中國空間技術(shù)研究院,北京 100094)

為了繼續(xù)提升高分辨率遙感衛(wèi)星的成像質(zhì)量，遙感衛(wèi)星的穩(wěn)定度要求隨之不斷提升[1]。但衛(wèi)星上存在著控制力矩陀螺，動量輪，太陽翼驅(qū)動機構(gòu)，數(shù)傳天線等活動部件[2-6]。衛(wèi)星在軌運行時，活動部件會產(chǎn)生微振動。微振動不僅影響相機等有效載荷的分辨率和指向精度，而且還可能影響衛(wèi)星姿態(tài)控制[7]。其中，星載數(shù)傳天線在航天器數(shù)據(jù)中繼和星間鏈路等任務(wù)中扮演著重要角色，但也是低頻段微振動的主要擾振源[8-10]。

混合式兩相步進電機由于其結(jié)構(gòu)簡單、定位精度高、易于開環(huán)控制電路等優(yōu)點，在航天器活動部件低速轉(zhuǎn)動上應(yīng)用廣泛[11-12]。目前，細分驅(qū)動(subdivision driving,SDD)被廣泛使用，它通過將電流變化細分為多個微電脈沖來提高電機的分辨率[13]和操作的平穩(wěn)性[14]。星載數(shù)傳天線由兩個垂直布置的步進電機驅(qū)動反射器轉(zhuǎn)動[15]。反射器為較大尺寸的柔性結(jié)構(gòu)，通過驅(qū)動機構(gòu)與支撐臂連接。為了提高數(shù)傳天線的指向范圍，避免反射器與衛(wèi)星本體出現(xiàn)干涉，雙軸數(shù)傳天線的支撐臂被設(shè)計為較長的尺寸，且具備一定的柔性。在天線工作時，步進電機的電脈沖信號和減速機構(gòu)的嚙合齒諧波傳動都會產(chǎn)生微擾動[16-17]。這種微擾動可能引起柔性負載-反射器、柔性邊界-支撐臂產(chǎn)生結(jié)構(gòu)振動，并反作用于步進電機。進而既影響星上有效載荷的性能指標，又會影響數(shù)傳天線本身的指向精度。所以，數(shù)傳天線的微振動現(xiàn)象可以歸納為在柔性邊界上步進電機驅(qū)動柔性負載的耦合振動問題，而這種問題的建模和分析比較復(fù)雜。

多數(shù)研究者以數(shù)傳天線的指向精度為設(shè)計目標，從步進電機和控制方法的角度建模。劉輝等[18]從指向算法、指向執(zhí)行、地面站指向、大氣傳輸?shù)确矫娣治隽藬?shù)傳天線指向精度的影響因素。周勇等[19]考慮了諧波齒輪的非線性和驅(qū)動電路的動態(tài)特性，建立了數(shù)傳跟蹤天線驅(qū)動機構(gòu)模型。這類思路雖能有效分析數(shù)傳天線的指向精度，但卻無法預(yù)測數(shù)傳天線產(chǎn)生微振動的力矩大小。部分研究者從柔性結(jié)構(gòu)角度建立了數(shù)傳天線的動力學(xué)模型。宋建虎[20]通過有限元法建立了數(shù)傳天線的動力學(xué)模型，計算分析了振動特性。Cao等[21]通過采用加載模態(tài)綜合-混合坐標法建立了數(shù)傳天線的柔性耦合動力學(xué)方程。他們的研究未考慮步進電機與柔性結(jié)構(gòu)的耦合作用，不能準確解釋數(shù)傳天線的微振動現(xiàn)象。

在步進電機與結(jié)構(gòu)耦合振動的研究中，Yang等[22]通過試驗和仿真驗證了步進電機存在電磁剛度。劉希剛[23]根據(jù)步進電機原理，將負載簡化為剛性，建立了數(shù)傳天線的微振動的一般解析模型和簡化模型。Chen等[24]通過簡化和線性化步進電機的電磁轉(zhuǎn)矩建立了步進電機的振動方程，并用兩自由度柔性系統(tǒng)進行了仿真分析。Sattar等[25]根據(jù)拉格朗日能量法建立了步進電機與剛性載荷運動學(xué)和微振動耦合的動力學(xué)模型。他們在研究中未考慮負載柔性和邊界柔性的影響，或?qū)ω撦d柔性和邊界柔性進行一定程度的簡化。也有研究者通過試驗研究了數(shù)傳天線的微振動現(xiàn)象，但未深入討論其產(chǎn)生原因和耦合機理。Wu等綜合考慮了步進電機和天線結(jié)構(gòu)模態(tài)，通過試驗給出了一種半經(jīng)驗半解析的數(shù)傳天線微振動模型。Oh等使用KISTLER公司生產(chǎn)的測力臺測試了一種數(shù)傳天線的微振動，并設(shè)計了一種可以抑制其微振動的偽彈性SMA網(wǎng)墊。但他們均未揭示步進電機和天線結(jié)構(gòu)的耦合關(guān)系。因此，需通過數(shù)學(xué)建模研究在柔性邊界上步進電機驅(qū)動柔性負載的耦合振動問題，并通過試驗驗證和分析數(shù)傳天線微振動產(chǎn)生的機理和影響因素。

本文研究了在柔性邊界上步進電機驅(qū)動柔性負載的動力學(xué)模型。通過線性化方法簡化了步進電機的動力學(xué)方程。采用動態(tài)子結(jié)構(gòu)方法建立了在柔性邊界上步進電機驅(qū)動柔性負載的動力學(xué)模型，并給出了數(shù)傳天線微振動的解析表達式。通過坐標變化法分析了系統(tǒng)振動的耦合關(guān)系。最后，通過仿真和試驗驗證了方法的有效性。

1 雙軸數(shù)傳天線機電耦合模型

1.1 電流細分化的步進電機動力學(xué)方程的簡化

兩相混合式步進電機的驅(qū)動模型為

(1)

式中：Φ為磁鏈矢量；I為電流矢量;L為電感矩陣。電感矩陣為對稱矩陣，忽略周期性磁導(dǎo)函數(shù)的高階諧波分量，電感矩陣可表示為

式中，z為轉(zhuǎn)子齒數(shù)。為了使步進電機運行過程具備較好的平穩(wěn)性，通常將步進電機的驅(qū)動電流進行階梯化細分，因此電流矢量I可表示為

(3)

式中：IA和IB分別為A,B兩相繞組電流;If為永磁體的等效勵磁電流；Im為兩相繞組電流細分后的幅值;γ為電流細分后的電步距角;i為運行步數(shù)。

兩相混合式步進電機的動力學(xué)模型為

(4)

式中：θ為轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)角；J0和C0為電機轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動慣量和電機內(nèi)部的黏性阻尼系數(shù)；Te和Tl為電磁轉(zhuǎn)矩和負載轉(zhuǎn)矩。由式(1)～式(3)，電磁轉(zhuǎn)矩Te可化為

Km[IBcos(zθ)-IAsin(zθ)]-Kdcos(4zθ)=

(5)

(6)

(7)

所以，電流細分化的步進電機的動力學(xué)方程可化為

(8)

式中：K0=KmImz為步進電機的等效電磁剛度;Tex=KmImγi為電磁轉(zhuǎn)矩中的階梯激勵，該分量與轉(zhuǎn)子角位移無關(guān)。根據(jù)上式可知，電流細分化的步進電機可等效為電磁彈簧-阻尼系統(tǒng)，為進一步分析步進電機和數(shù)傳天線柔性負載和柔性支撐臂的耦合振動提供基礎(chǔ)。

1.2 柔性結(jié)構(gòu)動力學(xué)模型降階

雙軸數(shù)傳天線由支撐臂、X軸步進電機、Y軸步進電機和反射器組成，其中支撐臂和反射器為柔性結(jié)構(gòu)。圖1給出了雙軸數(shù)傳天線的結(jié)構(gòu)示意圖。采用有限元方法對柔性結(jié)構(gòu)建模時，結(jié)構(gòu)自由度高，迭代計算量大，效率低。故選用動態(tài)子結(jié)構(gòu)方法，對柔性結(jié)構(gòu)的動力學(xué)模型進行縮聚，將高自由度的物理坐標轉(zhuǎn)化成低自由度的模態(tài)坐標，從而提高了計算效率。數(shù)傳天線的微振動主要集中于低頻段，忽略高階模態(tài)影響對計算精度影響不大。

圖1 雙軸數(shù)傳天線結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Structure diagram of data transmission antenna

圖2給出了雙軸數(shù)傳天線的坐標系，XYZ定義為慣性坐標系，x0y0z0為原點位于C點的固定坐標系，xayaza為中間坐標系，xbybzb為反射器坐標系。定義α為X軸電機轉(zhuǎn)過的角位移，β為Y軸電機轉(zhuǎn)過的角位移。首先，Y軸電機和反射器繞x0軸轉(zhuǎn)動α至中間坐標系，然后，反射器繞ya軸轉(zhuǎn)動β。坐標系的變換關(guān)系為

圖2 雙軸數(shù)傳天線坐標系Fig.2 Coordinate system of data transmission antenna

(9)

式中：i0j0和k0為x0y0z0坐標系的單位向量;iaja和ka為中間坐標系xayaza的單位向量;ibjb和kb為xbybzb坐標系的單位向量;R(x0,α)和R(ya,β)為坐標轉(zhuǎn)換矩陣。當天線反射器大角度轉(zhuǎn)動后，天線構(gòu)型和力學(xué)特征均會發(fā)生較大變化，在后續(xù)推導(dǎo)中，將通過引入坐標轉(zhuǎn)換矩陣進行建模分析。

將數(shù)傳天線分為4個子結(jié)構(gòu)，子結(jié)構(gòu)1～子結(jié)構(gòu)4依次為反射器、Y軸步進電機、X軸步進電機和支撐臂。根據(jù)動態(tài)子結(jié)構(gòu)方法，將子結(jié)構(gòu)的自由度劃分為內(nèi)部自由度和界面自由度。子結(jié)構(gòu)1在其局部坐標系的動力學(xué)方程為

(10)

(11)

(12)

根據(jù)固定界面模態(tài)綜合法，子結(jié)構(gòu)的假設(shè)模態(tài)集由主模態(tài)和約束模態(tài)構(gòu)成，子結(jié)構(gòu)1的主模態(tài)和約束模態(tài)的求解方法為

(13)

(14)

式中，下標l代表子結(jié)構(gòu)1保留的主模態(tài)階數(shù)，將式(14)第一行展開可得

(15)

因此，子結(jié)構(gòu)1在其局部坐標系的假設(shè)模態(tài)集為

(16)

子結(jié)構(gòu)2和子結(jié)構(gòu)3在自由界面下均為單自由度振動系統(tǒng)，僅存在一個扭轉(zhuǎn)自由度，根據(jù)式(8)可將步進電機的動力學(xué)方程寫為

(17)

(18)

式中：上標2和3分別為子結(jié)構(gòu)2和子結(jié)構(gòu)3，各物理量的含義為

M2=J0+Jβ,M3=J0+Jα,C2=C3=C0,

K2=K3=K0,F2=F3=Tex

(19)

根據(jù)式(13)～式(15)給出方法，可得子結(jié)構(gòu)2和子結(jié)構(gòu)3的假設(shè)模態(tài)集

φ2=φ3=1

(20)

子結(jié)構(gòu)4同樣為柔性結(jié)構(gòu)，其動力學(xué)方程為

(21)

(22)

(23)

得到所有子結(jié)構(gòu)的假設(shè)模態(tài)集后，可將系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣、位移列向量、激勵列向量和模態(tài)矩陣定義為

(25)

對應(yīng)于模態(tài)矩陣φ的模態(tài)坐標Xp可寫為

(26)

X=φXp

(27)

對系統(tǒng)的動力學(xué)方程進行第一次坐標變換，可將耦合系統(tǒng)自由度較高的物理坐標縮聚為自由度較低的混合坐標，即系統(tǒng)的動力學(xué)方程為

(28)

其中，

Mp=φTMφ,Cp=φTCφ,Kp=φTKφ,Fp=φTF

(29)

引入式(12)給出的坐標變換關(guān)系和界面位移協(xié)調(diào)條件

I4=(0 0 0 1 0 0)T,I5=(0 0 0 1 0 0)T(30)

式中，Rα和Rβ為子結(jié)構(gòu)1在A點坐標的坐標轉(zhuǎn)換矩陣，根據(jù)式(13)～式(16)的模態(tài)綜合過程可知，子結(jié)構(gòu)1的內(nèi)部節(jié)點物理坐標在模態(tài)綜合后，將通過模態(tài)坐標體現(xiàn)，模態(tài)綜合前后是否對內(nèi)部節(jié)點坐標變換不影響綜合后的系統(tǒng)動力學(xué)方程，僅對界面節(jié)點A處的物理坐標進行坐標變換即可反映反射器在大角度轉(zhuǎn)動后系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特征的變化，所以模型在反射器大角度轉(zhuǎn)動后同樣適用。同時，模態(tài)坐標Xp中各坐標并非完全獨立，引入變換矩陣S，將Xp中非獨立的坐標消去，得到耦合系統(tǒng)獨立的模態(tài)坐標Xq

(31)

則耦合系統(tǒng)以自由度較低的獨立模態(tài)坐標表示的動力學(xué)方程可寫為

(32)

其中，

Mq=STMpS,Cq=STCpS,Kq=STKpS,Fq=STFp(33)

式(32)具備l+m+8階自由度，各個坐標相互獨立，并且XC，α和β具有明確的物理含義。便于結(jié)合控制方法，建立數(shù)傳天線的機電耦合模型，同時較低的自由度保證迭代計算效率，各個坐標相互獨立便于分析耦合關(guān)系。為了方便動力學(xué)模型與控制模型連接，將式(32)改寫成狀態(tài)空間形式，并用下標s表示結(jié)構(gòu)

(34)

其中，

(35)

雙軸數(shù)傳天線的狀態(tài)空間方程的階數(shù)較低，提高了仿真效率，且狀態(tài)空間方程的形式易與雙軸電機的控制模型連接，進行聯(lián)合仿真用以優(yōu)化控制方法和控制參數(shù)。

2 微振動模型

雙軸數(shù)傳天線的步進電機啟動后，驅(qū)動系統(tǒng)會給電機輸入脈沖激勵電流，使其行星齒輪在嚙合過程中產(chǎn)生激振。電流脈沖引起振動的基頻f0為

(36)

(37)

3 仿真與試驗驗證

3.1 Simulink仿真模型

首先，通過模態(tài)試驗獲取數(shù)傳天線的低階模態(tài)，表1給出了數(shù)傳天線的模態(tài)頻率和振型，結(jié)合模態(tài)試驗結(jié)果建立數(shù)傳天線的有限元模型。分別提取柔性結(jié)構(gòu)反射器和支撐臂的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣，由于數(shù)傳天線的微振動主要集中在低頻段，子結(jié)構(gòu)1和子結(jié)構(gòu)4的僅保留前10階模態(tài)進行模態(tài)綜合，表1最后一列給出了模態(tài)綜合后的系統(tǒng)頻率。再根據(jù)第一章給出方法得到耦合系統(tǒng)動力學(xué)方程的狀態(tài)空間形式，使用MATLAB的Simulink模塊建立了數(shù)傳天線的仿真仿真模型，如圖3所示。表2給出了仿真過程中使用的參數(shù)，阻尼系數(shù)根據(jù)天線材料及試驗結(jié)果共同確定。

表1 數(shù)傳天線模態(tài)Tab.1 Mode of data transmission antenna

圖3 雙軸數(shù)傳天線仿真模型Fig.3 Simulation model of data transmission antenna

表2 仿真參數(shù)Tab.2 Simulation parameters

3.2 微振動試驗

試驗系統(tǒng)包含3個部分：待測設(shè)備、測試設(shè)備、零重力狀態(tài)模擬設(shè)備，如圖4所示。待測設(shè)備有數(shù)傳天線和天線控制設(shè)備。測試設(shè)備有微振動測力臺，單向力傳感器，加速度傳感器，力錘等。微振動測力臺為一種高剛度的壓電式測力臺，由北京航空航天大學(xué)研制，其測試原理和方法由Chen等的研究給出，用于測量耦合系統(tǒng)產(chǎn)生微振動。單向力傳感器在氦氣球充氣時，測量氦氣球給吊繩的拉力。加速度傳感器和力錘用于測試耦合系統(tǒng)的模態(tài)。

圖4 微振動試驗Fig.4 Micro vibration experiment

3.3 仿真與試驗結(jié)果對比分析

圖5給出了數(shù)傳天線X軸電機和Y軸電機分別轉(zhuǎn)動時的微振動的典型頻域曲線，表3和表4給出了上述頻域曲線峰值點的頻率和幅值。X軸電機100.0 Hz,144.4 Hz和Y軸電機144.4 Hz 3個頻點的微振動幅值較小(小于0.01 Nm)，試驗時受環(huán)境噪聲影響較大，導(dǎo)致試驗與仿真的偏差較大，忽略上述3個頻點微振動的結(jié)果。其他峰值處微振動的仿真和試驗結(jié)果表明：頻率一致，幅值誤差不超過9.41%，所以雙軸數(shù)傳天線的微振動模型能準確預(yù)測耦合系統(tǒng)產(chǎn)生的微振動。

圖5 微振動頻域曲線對比Fig.5 Comparison of frequency domain curves of micro vibration

表3 X軸電機微振動頻域峰值Tab.3 Micro vibration peak in frequency domain of X-axis motor

表4 Y軸電機微振動頻域峰值Tab.4 Micro vibration peak in frequency domain of Y-axis motor

圖6和圖7給出了步進電機不同轉(zhuǎn)速下的微振動結(jié)果。當X軸電機轉(zhuǎn)動時，不同轉(zhuǎn)速工況均出現(xiàn)了7.7 Hz,18.0 Hz,112.0 Hz和117.9 Hz的自然頻率，分別對應(yīng)結(jié)構(gòu)第一、三、六、七階模態(tài)頻率7.9 Hz,17.8 Hz,112.7 Hz和118.8 Hz，這些模態(tài)振型均在X軸電機轉(zhuǎn)動方向存在分量。當Y軸電機轉(zhuǎn)動時，不同轉(zhuǎn)速工況均出現(xiàn)了7.7 Hz,14.2 Hz,87.3 Hz和117.9 Hz的自然頻率，分別對應(yīng)結(jié)構(gòu)的第一、二、五、七階模態(tài)頻率7.9 Hz,12.2 Hz,89.9 Hz和118.8 Hz，這些模態(tài)振型均在Y軸電機轉(zhuǎn)動方向存在分量。以上現(xiàn)象表明，步進電機轉(zhuǎn)動時，耦合結(jié)構(gòu)在電機轉(zhuǎn)動方向存在分量的模態(tài)頻率上產(chǎn)生微振動。

圖6 不同角速度的微振動仿真結(jié)果Fig.6 Simulation results of micro vibration with different angular velocity

圖7 不同角速度的微振動試驗結(jié)果Fig.7 Experimental results of micro vibration at different angular velocities

同時，不同轉(zhuǎn)速下在式(36)給出的電流脈沖基頻和倍頻出現(xiàn)了微振動峰值，如：轉(zhuǎn)速0.01 °/s時，在11.1 Hz基頻處和22.2 Hz,33.3 Hz等倍頻處出現(xiàn)了微振動峰值。倍頻處出現(xiàn)的微振動峰值是步進電機減速機構(gòu)等傳動裝置在行星齒輪嚙合過程中引起的。綜上，數(shù)傳天線的微振動成因主要有：①步進電機轉(zhuǎn)動引起耦合結(jié)構(gòu)在具有轉(zhuǎn)動方向分量的模態(tài)頻率附近發(fā)生結(jié)構(gòu)振動；②脈沖激勵電流產(chǎn)生的電磁激勵；③行星齒輪在嚙合過程中，產(chǎn)生了脈沖激勵的倍頻激勵。

同時，當步進電機的轉(zhuǎn)速較低時，耦合結(jié)構(gòu)在低頻段有較多的諧振頻率。若脈沖激勵電流產(chǎn)生的微振動的基頻和倍頻接近耦合結(jié)構(gòu)的自然頻率時，會出現(xiàn)微振動幅值共同放大的耦合現(xiàn)象。隨著步進電機的轉(zhuǎn)速提高，脈沖激勵電流引起的微振動的基頻和倍頻隨之提高，在低頻段出現(xiàn)的諧振頻率減少，與結(jié)構(gòu)頻率耦合的幾率降低。然而隨著轉(zhuǎn)速的升高，耦合結(jié)構(gòu)的低頻微振動幅值隨之提高。所以在天線設(shè)計階段和使用過程中，應(yīng)仔細考慮工作轉(zhuǎn)速、勵磁轉(zhuǎn)矩、負載轉(zhuǎn)矩、機械步距角等參數(shù)的影響，避免微振動與結(jié)構(gòu)頻率發(fā)生耦合。

4 結(jié) 論

分析了在柔性邊界上步進電機驅(qū)動柔性負載的微振動現(xiàn)象。通過簡化步進電機電磁力矩和動態(tài)子結(jié)構(gòu)方法給出了一種面向控制系統(tǒng)的雙軸數(shù)傳天線的動力學(xué)方程，并給出了微振動的解析表達。通過仿真和試驗驗證了模型能準確預(yù)測耦合結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的微振動，結(jié)果表明微振動的主要成因為步進電機轉(zhuǎn)動與柔性結(jié)構(gòu)耦合、電磁脈沖激勵、行星齒輪嚙合等。