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(鄭州大學(xué) 水利與環(huán)境學(xué)院 河南 鄭州 450001)

0 引言

在斜拉橋的有限元模型中，拉索的模擬是決定分析精度的重要因素.對(duì)于成橋階段，可以采用桁架單元，用直桿模擬拉索.為增加分析的準(zhǔn)確性，可采用Ernst公式修正桿的彈性模量.對(duì)大跨度斜拉橋中大垂度的長(zhǎng)索及施工過(guò)程中的拉索，必須考慮索的曲線特性.為精確模擬曲線形索，文獻(xiàn)[1]建立了多節(jié)點(diǎn)的曲線單元，文獻(xiàn)[2]采用三次多項(xiàng)式插值建立了兩節(jié)點(diǎn)的曲線單元，文獻(xiàn)[3]采用拉格朗日插值構(gòu)造了兩節(jié)點(diǎn)的曲線索單元，文獻(xiàn)[4]建立了五節(jié)點(diǎn)的曲線索單元.文獻(xiàn)[5-7]利用彈性懸鏈線的解析解建立了彈性懸鏈線單元，并建議了計(jì)算時(shí)的初值.目前，彈性懸鏈線單元已被廣泛應(yīng)用于拉索模擬，并被引入部分結(jié)構(gòu)有限元分析軟件(如Midas/Civil).文獻(xiàn)[8]在該單元的基礎(chǔ)上建立了分析索結(jié)構(gòu)中滑動(dòng)索的滑移索單元.文獻(xiàn)[9]對(duì)單索問(wèn)題進(jìn)行了分類(lèi)，算例結(jié)果表明，修正彈性模量的方法只能用于水平長(zhǎng)度不超過(guò)400 m的斜拉索，否則將引起較大的誤差.文獻(xiàn)[10-11]建立了帶剛臂的索單元，假定兩端剛臂總與索端部相切，在應(yīng)用于斜拉橋模擬時(shí)，限制了塔上節(jié)點(diǎn)的劃分，也不便與主梁連接.文獻(xiàn)[12-13]也建立了帶剛臂的索單元，剛臂與索端部鉸接，且文獻(xiàn)[13]指出文獻(xiàn)[12]在對(duì)剛臂端部力矢量微分時(shí)，忽略了對(duì)角度變量的微分.本文在彈性懸鏈線解析解的基礎(chǔ)上建立了兩端有彈性段的索單元，進(jìn)而在索單元兩端增加剛臂，推導(dǎo)和構(gòu)造了該組合索單元.

1 彈性懸鏈線單元

圖1 彈性懸鏈線單元Fig.1 Element of elastic catenary

一個(gè)彈性懸鏈線單元如圖1所示，其水平投影長(zhǎng)度為lc，豎直投影長(zhǎng)度為hc.索的彈性模量為E，橫截面面積為A0，單位長(zhǎng)度重量為q0，該索段的無(wú)應(yīng)力長(zhǎng)度為L(zhǎng)0.據(jù)彈性懸鏈線理論[6-7]，索的投影方程為

(1)

(2)

式中：TIc和TJc分別為索段左端和右端節(jié)點(diǎn)處的索力.

根據(jù)單元受力平衡條件，可得Fc3=-Fc1,Fc4=q0·L0-Fc2.

式(1)和式(2)分別對(duì)Fc1、Fc2求偏導(dǎo)，可得索段在I端的柔度矩陣為

(3)

左端點(diǎn)力的增大會(huì)使水平投影和豎直投影減小.因此，柔度矩陣fc中各元素取計(jì)算值的負(fù)值.進(jìn)而，可得到彈性懸鏈線單元的剛度矩陣為

(4)

式中：kc為柔度矩陣fc的逆矩陣.

2 帶彈性段的索單元

索體兩端的鋼套筒與其內(nèi)部的鋼絲通過(guò)高強(qiáng)黏結(jié)材料固結(jié)為整體，且鋼套筒的橫截面面積與其內(nèi)部所有鋼絲的橫截面面積相當(dāng).因此，套筒段宜單獨(dú)考慮，可近似為一個(gè)彈性段，其方向沿索段端部索力方向，也就是索段端部的切線方向.帶彈性段的索單元如圖2(a)所示，其水平投影長(zhǎng)度為le，豎直投影長(zhǎng)度為he，Wi和Wj分別為索體端部超出錨墊板的錨杯部分和螺母的重量，sei、qei和sej、qej分別為兩個(gè)彈性段的原長(zhǎng)及單位長(zhǎng)度重量，彈性段受到的重力平移到相應(yīng)的端部節(jié)點(diǎn).

圖2 帶彈性段的索單元和彈性段兩端力的關(guān)系Fig.2 Cable element with elastic segments and forces on the both sides

彈性段兩端力的關(guān)系如由圖2(b)所示，帶彈性段的索單元的節(jié)點(diǎn)力為

(5)

兩端帶彈性段索體的投影方程為

(6)

(7)

式中：Eei和Aei分別為i端彈性段的彈性模量和橫截面面積;Eej和Aej分別為j端彈性段的彈性模量和橫截面面積.

式(6)和式(7)分別對(duì)Fc1、Fc2求偏導(dǎo)，可得帶彈性段的索單元在左端點(diǎn)的柔度矩陣為

(8)

帶彈性段的索單元在左端點(diǎn)的剛度矩陣為

(9)

由剛度矩陣的對(duì)稱(chēng)性可知，兩端帶彈性段的索單元的剛度矩陣可以表示為

(10)

根據(jù)剛度矩陣的定義，可得

(11)

3 兩端帶剛臂和彈性段的組合索單元

在帶彈性段的索單元兩端增加剛臂，得到如圖3(a)所示的組合索單元.αi和αj分別為兩端剛臂的傾角，剛臂的長(zhǎng)度分別為si和sj.左端剛臂的受力如圖3(b)所示，其兩端點(diǎn)之間的坐標(biāo)關(guān)系[13]為

xi=xa+si·cosαi,

(12)

yi=ya+si·sinαi.

(13)

圖3 帶剛臂和彈性段的組合索單元Fig.3 The combined cable element with rigid arms and elastic segments

對(duì)式(12)和式(13)兩端微分，可得左端剛臂兩端點(diǎn)之間的位移關(guān)系為

(14)

同理，可得右端剛臂兩端點(diǎn)之間的位移關(guān)系為

(15)

聯(lián)立式(14)和式(15)，并記

(16)

可得

(17)

根據(jù)剛臂兩端力的關(guān)系，組合索單元的節(jié)點(diǎn)力可以表示為

(18)

對(duì)式(18)兩端微分，可得

(19)

其中Tα除了兩個(gè)元素Tα3,3=-si·cosαi·Fe1-si·sinαi·Fe2，Tα6,6=sj·cosαj·Fe3+sj·sinαj·Fe4外，其余元素均為零.

聯(lián)立式(11)、式(17)、式(19),可得組合索單元的剛度矩陣為

(20)

圖4 下端位于不同位置的單根索Fig.4 Single cable with the lower end at different locations

4 算例驗(yàn)證

算例1下端位于不同位置的單根索如圖4所示，該索的計(jì)算參數(shù)見(jiàn)文獻(xiàn)[5]和[11]，無(wú)應(yīng)力長(zhǎng)度L0=100 m，橫截面面積A0=1 cm2，彈性模量E=3×107Pa，單位長(zhǎng)度重量q0=1 N/m，線膨脹系數(shù)為6.5×10-6.采用2個(gè)等原長(zhǎng)的彈性懸鏈線單元模擬該索，共有3個(gè)節(jié)點(diǎn).

由圖4可以看出，不考慮彈性段的計(jì)算結(jié)果，與文獻(xiàn)[5]對(duì)比，除最大張力工況有一定誤差外，其他結(jié)果相同.最大張力工況的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[11]的結(jié)果相同，從而證明了本文彈性懸鏈線單元部分推導(dǎo)的正確性.

考慮彈性段時(shí)，具體可分為以下兩種情況：一種是彈性段的參數(shù)不變化；另一種是彈性段的面積增加1倍，單位長(zhǎng)度索重增加1倍.算例1中彈性段在不同取值情況下的計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1.結(jié)果表明，第1種情況下的結(jié)果與不考慮彈性段的誤差很小.第2種情況在索力較小的幾個(gè)工況下，只是豎向索力稍有增加，但絕對(duì)量很??；對(duì)于張力最大的工況，水平索力和豎向索力都有較大增加，這與實(shí)際情況相符，表明在索力很大時(shí)，不考慮彈性段會(huì)帶來(lái)較大的誤差.

表1 算例1中彈性段在不同取值情況下的計(jì)算結(jié)果

算例2索段的彈性模量E=2×1011Pa，截面面積A0=10-5m2，單位長(zhǎng)度重量q0=10 N/m，無(wú)應(yīng)力長(zhǎng)度L0=3.604 842 m.左、右兩端剛臂長(zhǎng)均為0.8 m，左端剛臂傾角αi=30°，右端剛臂傾角αj=60°.兩端的彈性段長(zhǎng)度均為0.600 925 m，與索段的彈性模量相等，截面面積為10-6m2，各彈性段重量均為50 N，彈性段外端各附加50 N的點(diǎn)荷載.彈性段截面面積取索的十分之一，以便于彈性段有較大的變形.

圖5 算例2中組合單元在變形后的形狀圖Fig.5 The profile after displacement of the combined element in example 2

單元的左端點(diǎn)位于原點(diǎn)，右端點(diǎn)位于(5.095 698 3，3.761 006 7) m.算例2中組合單元在變形后的形狀圖見(jiàn)圖5，組合索單元的節(jié)點(diǎn)力為(-500.045，-215.439，50.757，500.045，451.488，165.847) N.

平衡狀態(tài)下，可推算出去除兩端剛臂后，帶彈性段索單元的節(jié)點(diǎn)力為(-500.045，-215.439， 500.045，451.488) N，它們對(duì)左剛臂左端產(chǎn)生的力矩為-50.757 N·m，與單元在左剛臂處的第3個(gè)節(jié)點(diǎn)力分量平衡，右端也如此.推算索段兩端的節(jié)點(diǎn)力為(-500.045，-315.439， 500.045，351.488) N，索段兩端的水平投影長(zhǎng)度為3 m，豎直投影長(zhǎng)度為2 m，由式(1)和(2)可知，索段處于平衡狀態(tài).因此，組合索單元的單元節(jié)點(diǎn)力計(jì)算正確.通過(guò)依次使組合索單元的各自由度有一微小的位移增量，計(jì)算得到單元節(jié)點(diǎn)力的增量，可按定義法得到單元的剛度矩陣.經(jīng)檢驗(yàn)，組合索單元輸出的剛度矩陣與按定義法得到的剛度矩陣相同.因此，根據(jù)推導(dǎo)所計(jì)算的剛度矩陣是完全正確的.

5 結(jié)論

基于彈性懸鏈線的解析解，首先建立了懸鏈線單元，進(jìn)而在兩端增加彈性段，推導(dǎo)了帶彈性段的索單元的相關(guān)公式；又在帶彈性段的索單元兩端增加剛臂，構(gòu)成了組合索單元，算例證明了所推導(dǎo)公式及編程的正確性.本文的組合索單元是多功能的.在兩端剛臂長(zhǎng)度取零值的情況下，可退化為只有單側(cè)剛臂或不帶剛臂的帶彈性段索單元；在彈性段長(zhǎng)度取零值的情況下，可退化為帶剛臂而不帶彈性段的單元；當(dāng)不考慮剛臂和彈性段后，組合索單元可進(jìn)一步退化為彈性懸鏈線單元.在已知索端部某個(gè)張力或張力分量的情況下，可通過(guò)求解索段的水平投影與豎直投影方程得到索原長(zhǎng)，進(jìn)而建立該組合單元.因此，該組合索單元可用于模擬索的張拉過(guò)程.組合索單元可用于斜拉橋的設(shè)計(jì)與分析，能更精確地模擬拉索，也可以用于模擬拱橋中的吊桿和懸索橋中的吊索.