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(鄭州大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 河南 鄭州 450001)

0 引言

共識(shí)問(wèn)題即一致性問(wèn)題，是多自主體網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)最基本的分布式協(xié)調(diào)控制問(wèn)題.在過(guò)去幾十年里，多自主體的共識(shí)問(wèn)題在許多領(lǐng)域都引起了極大關(guān)注[1-5].其中，出現(xiàn)了一類線性切換多自主體系統(tǒng)一致性問(wèn)題，包括無(wú)領(lǐng)導(dǎo)者一致性問(wèn)題[6]和領(lǐng)導(dǎo)者跟隨一致性問(wèn)題[7-8].廣義系統(tǒng)有動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的自然表示，比一般的線性系統(tǒng)有更廣泛的背景[9-10].文獻(xiàn)[11]和[12]分別利用狀態(tài)反饋和輸出反饋來(lái)設(shè)計(jì)控制協(xié)議，給出了廣義多自主體系統(tǒng)達(dá)到一致的充分必要條件.但都只考慮了固定拓?fù)淝樾蜗碌囊恢滦詥?wèn)題，對(duì)于更一般的動(dòng)態(tài)拓?fù)?切換拓?fù)?沒(méi)有研究，給出的條件雖然是充分必要條件，但是證明過(guò)程卻是從系統(tǒng)達(dá)到一致性的條件出發(fā).

本文將文獻(xiàn)[8]中的一般線性系統(tǒng)推廣到廣義系統(tǒng)，并討論在切換拓?fù)湎碌囊活悘V義多自主體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題.與文獻(xiàn)[12]相比，這里討論的拓?fù)鋱D是動(dòng)態(tài)圖, 而且分兩種情形(無(wú)領(lǐng)導(dǎo)者和領(lǐng)導(dǎo)者跟隨)來(lái)研究其一致性.通過(guò)代數(shù)圖論[13]和廣義系統(tǒng)理論[14]得到結(jié)論：要解決廣義多自主體系統(tǒng)的兩個(gè)一致性問(wèn)題，只需要相應(yīng)的慢子系統(tǒng)達(dá)到一致性.

1 預(yù)備知識(shí)

對(duì)于給定的向量或矩陣X，‖X‖表示X的歐幾里得模.向量1N表示所有元素都是1的列向量，span{X}表示由X的列向量張成的線性子空間，a表示不超過(guò)實(shí)數(shù)a的最大的整數(shù)，A1/2表示正定矩陣A的二次方根.?代表Kronecker積，滿足如下性質(zhì)：(A?B)T=AT?BT,(A?B)(C?D)=(AC)?(BD),(A+B)?C=A?C+B?C,A?(B+C)=A?B+A?C.

通常，一個(gè)多自主體系統(tǒng)中每個(gè)自主體之間的信息交換可以通過(guò)有向圖或無(wú)向圖來(lái)描述[13].

2 主要結(jié)果

本文將考慮式如

(1)

廣義多自主體系統(tǒng)的穩(wěn)定性，其中：xi∈Rn，ui∈Rm分別是第i個(gè)自主體的狀態(tài)和輸入；E,A∈Rn×n，B∈Rn×m是常數(shù)矩陣；(E,A)是正則無(wú)脈沖的，且rankE=r≤n.

對(duì)于系統(tǒng)(1)，定義動(dòng)態(tài)圖Gσ(t)=(V,εσ(t))，其中V={1,…，N}，且(j,i)∈εσ(t)，當(dāng)且僅當(dāng)控制ui在時(shí)刻t利用(xj-xi)作為反饋.令A(yù)σ(t)=[aij(t)]N×N是動(dòng)態(tài)圖Gσ(t)的鄰接權(quán)矩陣，則可定義狀態(tài)反饋拓?fù)?/p>

，i=1,…,N，

(2)

這里K∈Rm×n是增益矩陣.

定義1[8]無(wú)領(lǐng)導(dǎo)者一致性問(wèn)題. 給定系統(tǒng)(1)和一個(gè)動(dòng)態(tài)圖Gσ(t)，找到一個(gè)狀態(tài)反饋拓?fù)?2)的反饋增益矩陣K，使得對(duì)于i,j=1,…,N，當(dāng)t→∞時(shí)，xi(t)-xj(t)→0.

對(duì)于以上描述的無(wú)領(lǐng)導(dǎo)者的一致性問(wèn)題，每一個(gè)子系統(tǒng)解的穩(wěn)態(tài)行為是無(wú)足輕重的.還有一個(gè)一致性問(wèn)題稱為領(lǐng)導(dǎo)者跟隨一致性問(wèn)題，而這個(gè)問(wèn)題就要求每一個(gè)子系統(tǒng)的解都要漸近趨近于信號(hào)x0(t).假設(shè)信號(hào)x0(t)由線性系統(tǒng)

(3)

產(chǎn)生，其中x0∈Rn.

，i=1,…,N.

(4)

為了解決以上兩個(gè)一致性問(wèn)題,我們將系統(tǒng)(1)進(jìn)行正則性分解.由于(E,A)是正則無(wú)脈沖的，由文獻(xiàn)[14]可知，存在可逆矩陣P,Q∈Rn×n，使得

(5)

進(jìn)行坐標(biāo)變換,

，i=1,…,N，

(6)

(7)

(8)

而領(lǐng)導(dǎo)者系統(tǒng)(3)等價(jià)于

(9)

(10)

這種分解通常稱為快、慢子系統(tǒng)分解，式(7)和(9)為慢子系統(tǒng)，式(8)和(10)為快子系統(tǒng).通過(guò)這種分解，證明無(wú)領(lǐng)導(dǎo)者系統(tǒng)和領(lǐng)導(dǎo)者跟隨系統(tǒng)的一致性可分別由相應(yīng)的慢子系統(tǒng)的一致性來(lái)得到.

定理1如果無(wú)領(lǐng)導(dǎo)者慢子系統(tǒng)(7)達(dá)到一致性,則無(wú)領(lǐng)導(dǎo)者系統(tǒng)(1)也達(dá)到一致性.

證明假設(shè)存在一個(gè)增益矩陣K1∈Rm×r，使得

，i=1,…,N，

(11)

由式(2)可得，系統(tǒng)(1)的一致性問(wèn)題也得以解決.

定理2如果無(wú)領(lǐng)導(dǎo)者慢子系統(tǒng)(7)和領(lǐng)導(dǎo)者慢子系統(tǒng)(9)的領(lǐng)導(dǎo)者跟隨一致性問(wèn)題得以解決，則系統(tǒng)(3)和系統(tǒng)(1)的領(lǐng)導(dǎo)者跟隨一致性問(wèn)題也得以解決.

要解決無(wú)領(lǐng)導(dǎo)者系統(tǒng)(1)的一致性問(wèn)題，只需討論無(wú)領(lǐng)導(dǎo)者慢子系統(tǒng)(7)的一致性問(wèn)題，而系統(tǒng)(7)是一個(gè)一般的線性多自主體系統(tǒng)，研究其一致性問(wèn)題就簡(jiǎn)單得多.這里考慮關(guān)于慢子系統(tǒng)(7)的線性切換系統(tǒng)

(12)

假設(shè)1(A1,B1)能控, 令X是一個(gè)正定矩陣，滿足不等式

(13)

假設(shè)2動(dòng)態(tài)圖Gσ(t)是無(wú)向圖，?t≥0.

假設(shè)3存在{i:i=0,1,…}的子序列{ik}，tik+1-tik0，使得連接圖G([tik,tik+1))是連通的.

在假設(shè)2下，圖Gσ(t)的拉普拉斯矩陣Lσ(t)是對(duì)稱半正定的，?t≥0.若一個(gè)動(dòng)態(tài)圖滿足假設(shè)3，就稱圖在[0,∞)上是一致連通的，或者稱在[tik,tik+1)上是共連通的.

引理1[8]考慮系統(tǒng)(12)，在假設(shè)1下，X是滿足式(13)的正定矩陣.σ(t)是駐留時(shí)間為τ的分段常值切換信號(hào)，對(duì)任意的t≥0，F(xiàn)σ(t)是對(duì)稱半正定的矩陣，則

定理3如果假設(shè)1～3成立，則系統(tǒng)(1)在控制協(xié)議(2)下達(dá)到一致性.

(14)

令xc(t)=(x1(t)+x2(t)+…+xN(t))/N，xc(t)稱在t時(shí)刻所有自主體的中心.圖是無(wú)向圖，得

(15)

ωi(t)，i=1,…,N，

(16)

則

?xc(t)+ω(t)，

(17)

3 仿真結(jié)果

例1考慮無(wú)領(lǐng)導(dǎo)者廣義多自主體系統(tǒng)(1)，N=4，系統(tǒng)矩陣為

切換動(dòng)態(tài)圖Gσ(t)，由分段常值的切換信號(hào)定義

×10-11，

最后得到廣義系統(tǒng)的狀態(tài)與中心的誤差趨近于零，即系統(tǒng)最終達(dá)到了一致性.

4 結(jié)論

本文討論了一類具有切換拓?fù)涞膹V義多自主體系統(tǒng)，利用代數(shù)拓?fù)浜蛷V義系統(tǒng)理論知識(shí)，將廣義多自主體系統(tǒng)進(jìn)行快慢子系統(tǒng)分解，通過(guò)研究其慢子系統(tǒng)的性質(zhì)，即設(shè)計(jì)了狀態(tài)反饋控制協(xié)議，得到慢子系統(tǒng)的一致性，從而得到廣義多自主體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題，包括無(wú)領(lǐng)導(dǎo)者一致性問(wèn)題和領(lǐng)導(dǎo)者跟隨一致性問(wèn)題.