邵超群

(江蘇省南京師范大學(xué) 210024)

一、利用函數(shù)的單調(diào)性求解數(shù)列問題

例1 (2013.上海)在數(shù)列{an}中，an=2n-1，若一個7行12列的矩陣的第i行第j列的元素cij=aiaj+ai+aj,(i=1,2,…,7;j=1,2,…,12)，則該矩陣元素能取到的不同元素的個數(shù)為( ).

A.18 B.28 C.48 D.63

分析解決這道題目首先要理解不同元素的意思，即元素不重復(fù).由于該矩陣的第i行第j列的元素cij=aiaj+ai+aj=(2i-1)(2j-1)+2i-1+2j-1=2i+j-1(i=1,2,…,7;j=1,2,…,12)，要使aij=amn(i,m=1,2,…,7;j,n=1,2,…,12)(找出重復(fù)元素)，則滿足2i+j-1=2m+n-1，得到i+j=m+n.由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知：當(dāng)i+j≠m+n時，aij≠amn，因此即可得出該矩陣元素能取到的不同數(shù)值是i+j(i=1,2,…,7;j=1,2,…,12)的所有不同和.

解答該矩陣的第i行第j列的元素cij=aiaj+ai+aj=(2i-1)(2j-1)+2i-1+2j-1=2i+j-1(i=1,2,…,7;j=1,2,…,12)，當(dāng)且僅當(dāng)i+j=m+n時，aij=amn(i,m=1,2,…,7;j,n=1,2,…,12).因此該矩陣元素能取到的不同數(shù)值為i+j的所有不同和，其和為2,3,…,19，共18個不同數(shù)值.故選A.

反思由題意得出：當(dāng)且僅當(dāng)i+j=m+n時，aij=amn(i,m=1,2,…,7;j,n=1,2,…,12)是解題的關(guān)鍵.

解(1)、(2)略；

反思數(shù)列問題中像第三問這種不等式的證明高考題中很常見，常常需要運用分析法，把問題轉(zhuǎn)化為一個個熟悉的問題進行求解.例如本題是轉(zhuǎn)化為一個新的函數(shù)，最終利用函數(shù)的單調(diào)性證明，在這個過程中常常會使用放縮法等有技巧性的手段.教師在實際的解題教學(xué)中可以簡要地介紹幾種常見的放縮結(jié)構(gòu)，注意把重點放在問題的分析上.

二、利用函數(shù)的周期性求解數(shù)列問題

解該數(shù)列前2012項和可分為兩部分求解：一部分是常數(shù)項1求和，其和為2012；

反思由三角函數(shù)周期性化簡求和是解題的關(guān)鍵，教師在平時教學(xué)過程中應(yīng)多注意引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)和三角函數(shù)的性質(zhì)多做聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，而不是沉浸于“題海戰(zhàn)術(shù)”.

例4 (2009.北京)已知數(shù)列{an}滿足：a4n-3=1，a4n-1=0，a2n=an，n∈N*，則a2009=____；a2014=____.

解本題表面上是數(shù)列遞推，2009=4×503-3，則a2009=a4×503-3=1；同理a2014=a2×1007=a1007=a4×252-1=0.但本質(zhì)上是體現(xiàn)著數(shù)列(函數(shù))的周期性，如果把數(shù)列看作是一個抽象函數(shù)f(x)，我們很快就能得到f(1)=f(5)=…=f(4x-3)=1(x∈N*)、f(3)=f(7)=…=f(4x-1)=0(x∈N*)、f(1)=f(2)=…=f(2x)(x∈N*).根據(jù)上述幾個關(guān)系式，易知當(dāng)數(shù)列取到奇數(shù)項時，呈現(xiàn)出1，0周期為2的交替數(shù)列；而當(dāng)為偶數(shù)項時，是恒為1的常數(shù)列.因此a2009=a1004×2+1=a3=1，a2014=a1=0.顯然從函數(shù)(周期性)能更清晰地理解本題的數(shù)列遞推.

例5 (2012年蘇錫常鎮(zhèn)一模)設(shè)u(n)表示正整數(shù)n的個位數(shù)，a(n)=u(n2)-u(n)，則數(shù)列{an}的前2012項和等于____.

分析高中階段求數(shù)列前n項和，要么是通項公式比較特殊(等差、等比等)，要么是前后項之間有一部分可以化簡(裂項相消這種形式)，還有一種就是根據(jù)周期來求.本題新定義的這個數(shù)列均不屬于前兩種，那它是否具有周期性呢？這就是我們要考慮的.

解因為u(n)是表示正整數(shù)n的個位數(shù)，而我們發(fā)現(xiàn)a(n)=u(n2)-u(n) 是周期為10的數(shù)列，一個周期內(nèi)各項為：0、2、6、2、0、0、2、-4、-8、0，一個周期內(nèi)各項之和為0，所以前2012項和實際就是前兩項值和為2.

反思這種新定義的數(shù)列是近年高考的?？碱}，實際上只要弄清它的定義法則就很簡單了.比如本題u(n)的周期為10這是很容易看出的，那么u(n2)是否也具有周期性呢，結(jié)合它的定義法則很容易就可以得到它的周期也為10，只要繞過這道關(guān)，問題就解決了.

三、利用函數(shù)的對稱性求解數(shù)列問題

這里的函數(shù)并不是指所有函數(shù)，而是指在正整數(shù)集上的某一區(qū)域內(nèi)對稱軸的函數(shù)，比如二次函數(shù)，三角函數(shù)等等，遇到與這些函數(shù)有關(guān)的數(shù)列問題時，我們可以往這方面考慮，常常能起到事半功倍的效果.

例6 已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=16，S5=S12.當(dāng)n為何值時，Sn有最大值，并求出其最大值.

分析等差數(shù)列的前n項和是關(guān)于x的二次函數(shù)的離散點，又由于Sn有最大值，說明圖象開口朝下d<0，因此它的最大值可能有兩項，需要進一步分析.

反思從二次函數(shù)圖象的對稱性角度，可以更加直觀便捷地解決此類問題，并且符合學(xué)生的認(rèn)知，從而更加自然地列出關(guān)系式，這也更容易幫助學(xué)生理解等差數(shù)列前n項和的性質(zhì).