龐嘉鵬

(遼寧省鐵嶺市高級中學(xué)三年25班 112000)

根據(jù)向量的數(shù)形特性,我們可以將三角形數(shù)量化,并通過運算化簡來解決與三角形“四心”有關(guān)的軌跡等問題.本文研究一些有關(guān)向量與三角形的“四心”知識交匯的相關(guān)問題，以幫助同學(xué)們更好地體會向量的獨特魅力.

一、向量在三角形“重心”中的應(yīng)用

三角形重心是三角形三條中線的交點，并且重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2∶1.在三角形重心的研究中，我們可以結(jié)合向量的中線形式或平行四邊形法則，用向量共線來研究動點軌跡過三角形重心的問題.

點評本題主要是通過運用三角形法則和平行四邊形法則以達(dá)到向量共線的目的，再結(jié)合三角形重心定義，得出正確的結(jié)論.

點評本題巧妙地運用了正弦定理，使該題等價變形為例1的形式，從而解決問題，所以熟悉例1的題型是解決這類問題的基礎(chǔ).

二、向量在三角形“內(nèi)心”中的應(yīng)用

三角形的內(nèi)心是指三角形的三個內(nèi)角平分線的交點，即三角形內(nèi)切圓的圓心.本類問題主要是通過單位向量和向量的平行四邊形法則構(gòu)造一個菱形，再利用菱形對角線就是角平分線和向量共線的性質(zhì)，從而解決了動點軌跡過三角形內(nèi)心的問題.

點評本題的關(guān)鍵是熟悉單位向量的形式，通過向量的平行四邊形法則構(gòu)造出一個菱形，再結(jié)合向量共線、內(nèi)心定義，從而解決這類知識的交匯問題.

點評本題結(jié)合了正弦定理，使該問題實現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化，從而變成了例2的形式，問題得以解決.所以熟練掌握例2的題型是解決這類的關(guān)鍵.

點評本題形式比較復(fù)雜，不容易找到解決問題的突破口，解決此類問題還是要等價轉(zhuǎn)化，這里兩次運用了正弦定理，先后轉(zhuǎn)化為上述變式1例2的題型.

三、向量在三角形“垂心”中的應(yīng)用

三角形的垂心是三角形的三條高或其延長線的交點.利用向量研究直線或線段的垂直問題是比較方便的，關(guān)于直線垂直問題就可以轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為零的問題，此時向量的優(yōu)越性就非常明顯地體現(xiàn)出來.兩個向量垂直的充要條件可以把“垂直”的內(nèi)在含義淋漓盡致地體現(xiàn)在一個等式中，有效地回避了解析幾何中錯綜復(fù)雜的位置關(guān)系的演化，而變?yōu)榧兇獾幕嗊\算，通過這種思想來解決動點軌跡過三角形垂心的問題還是比較方便的.

再由三角形垂心的定義可得動點P所在的軌跡一定經(jīng)過△ABC的垂心.

點評本題的切入點不易發(fā)現(xiàn)，首先運用了倍角公式變形，發(fā)現(xiàn)一部分條件屬于正弦定理問題，通過應(yīng)用正弦定理，使該題型轉(zhuǎn)化成例3的題型，所以掌握例3是解決過垂心的問題的關(guān)鍵.

四、向量在三角形“外心”中的應(yīng)用

三角形的外心就是三角形三邊垂直平分線的交點，三角形的三個頂點就在這個外接圓上，即三角形外接圓的圓心.用向量研究外心問題，主要還是要結(jié)合外心定義和向量垂直問題來共同解決動點軌跡過外心的問題.

點評本題難度適中，主要考察了垂直平分線定義、外心定義，通過三角形法則、平行四邊形法則達(dá)到向量共線的目的，使問題得以解決.

在以上的問題中，向量通常是幾何的形式出現(xiàn)的， 用向量作為工具對于解決幾何問題有其獨到之處，將傳統(tǒng)幾何中的定性推理轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算化簡的定量分析，避免了傳統(tǒng)幾何方法中繁瑣的推理及論證，充分體現(xiàn)出數(shù)學(xué)中數(shù)與形這二元結(jié)合、相輔相成的基本內(nèi)涵和本質(zhì)特征，為高中數(shù)學(xué)增加了活力.