周巧娟

(南京審計大學(xué) 金審學(xué)院，南京，210023)

隨著微課、慕課及SPOC的廣泛普及，互聯(lián)網(wǎng)與教學(xué)的結(jié)合越來越受到廣大教師的重視。[1]45在“互聯(lián)網(wǎng)+教育”背景下，大量的數(shù)學(xué)類課程充斥著學(xué)生的眼球。由于各類課程所針對的學(xué)生層次有著明顯的差別，對于獨立院校的經(jīng)管類學(xué)生而言，不少課程相對偏難甚至不合適。對此，基于“愛課程”平臺所建設(shè)的私播課(Small Private Online Courses)更適合我校學(xué)生的實際情況，基于SPOC教學(xué)的微積分混合式教學(xué)有了實施與開展的平臺與空間。

2017年以來，筆者在校資源共享課《微積分》建設(shè)中負(fù)責(zé)課程的設(shè)計及主要的講解工作。自投入使用以來，近兩輪的教學(xué)實踐表明：提供單純的“資源提供型”的教學(xué)模式，可以對傳統(tǒng)課堂起一定的補(bǔ)充作用，但是效果不是太顯著，若想充分發(fā)揮在線課程的作用，需要將SPOC課程與傳統(tǒng)的課堂進(jìn)行深入地融合，構(gòu)建基于SPOC教學(xué)和面授教學(xué)的混合式教學(xué)模式。

1 混合式教學(xué)模式下微積分課程的教學(xué)目標(biāo)

基于SPOC教學(xué)和面授教學(xué)的混合式教學(xué)模式應(yīng)達(dá)到如下目標(biāo)：

(1)將SPOC在線學(xué)習(xí)與面授教學(xué)深入融合[2]2，兩者能夠相輔相成，互相補(bǔ)充；

(2)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)習(xí)的主體是學(xué)生，教師能夠通過線上線下同時參與到學(xué)生的學(xué)習(xí)中去，起到引導(dǎo)和監(jiān)督的作用；

(3)完善的評價體系，可以對學(xué)生的學(xué)習(xí)過程有較全面的、客觀的評價，不應(yīng)只注重卷面成績；

(4)在教學(xué)中充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，建立以教師和學(xué)生為雙主體的平等合作關(guān)系。

通過以上目標(biāo)的實現(xiàn)，最終達(dá)到全面提升課程教學(xué)效果、培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維、方法及學(xué)生綜合能力的目標(biāo)。

2 混合式教學(xué)下微積分課程教學(xué)改革措施

一個有效的混合式學(xué)習(xí)過程，包括線上知識單元和教學(xué)過程的合理設(shè)計，線上線下教學(xué)資源的合理使用，以及教師的教育教學(xué)藝術(shù)和學(xué)生的自我內(nèi)驅(qū)力這四個要素。[1]50因此，混合式教學(xué)下的微積分課程教學(xué)改革也應(yīng)從這四個要素出發(fā)，尋找SPOC教學(xué)與面授教學(xué)的最佳融合方式。

2.1 線上知識單元和教學(xué)過程的合理設(shè)計

SPOC是基于微課的視頻教學(xué)平臺，課程的知識單元，不應(yīng)是課堂教學(xué)的全程錄像，而是基于課程各個重要知識點的碎片化的教學(xué)過程，這為學(xué)生的碎片化學(xué)習(xí)提供了直接有效的學(xué)習(xí)內(nèi)容。SPOC的內(nèi)容分解，既要保證內(nèi)容的相對完整性。又應(yīng)從大大小小的知識點中提煉出重要的、學(xué)生難以理解的知識點?！段⒎e分》課程提煉出65個重要知識點，針對每個知識點制作教學(xué)微視頻，每個微視頻的時間控制在10～15分鐘左右，并可根據(jù)內(nèi)容插入多個節(jié)點。

10～15分鐘課程的設(shè)計，不應(yīng)只是圍繞內(nèi)容進(jìn)行講解，更要加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想和方法在內(nèi)容中的滲透和融入，如類比的思想，劃歸的思想，數(shù)形結(jié)合的思想等等。那么如何將數(shù)學(xué)思想和方法滲透和融入到教學(xué)內(nèi)容中呢？這需要從數(shù)學(xué)思想和方法的學(xué)習(xí)過程的三個階段出發(fā)，潛意識階段、明朗化階段和深刻化階段是數(shù)學(xué)思想方法學(xué)習(xí)過程的三個階段。潛意識階段中，學(xué)生注重知識的模仿學(xué)習(xí)；而明朗化階段，是學(xué)生認(rèn)知數(shù)學(xué)思想和方法的重要階段，教師需要積極引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注和理解教學(xué)活動中所使用的探索方法和策略，將思維過程顯化，從而為深刻化階段即數(shù)學(xué)思想和方法的應(yīng)用階段作準(zhǔn)備。因此，每一個微視頻的設(shè)計都應(yīng)針對學(xué)生明朗化階段的學(xué)習(xí)，深入挖掘教學(xué)內(nèi)容中所隱含的數(shù)學(xué)思想和方法，并對其探索思路和過程進(jìn)行展示。

【線上知識單元教學(xué)設(shè)計】拉格朗日中值定理

在拉格朗日中值定理的講解中，除了定理內(nèi)容外，關(guān)鍵就是數(shù)學(xué)中常用的兩種思想——數(shù)形結(jié)合的思想與化歸思想的講解。在微課視頻的設(shè)計中要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注到這兩種方法，并將思維的過程進(jìn)行顯化。

(1)概念引入，由羅爾定理出發(fā)提出問題，第三個條件不滿足時會有什么情況出現(xiàn)？給出圖形演示，從中找出拉格朗日中值定理的條件結(jié)論(數(shù)形結(jié)合的思想)。圖形是一種直觀的感知，學(xué)生通過對直觀的，具體的圖形感知，得到抽象的定理的條件和結(jié)論。這種從直觀到抽象的講解過程符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

(2)教師詳細(xì)介紹定理的條件和結(jié)論，并從幾何學(xué)的角度出發(fā)解釋該定理的含義，即定理在幾何上的應(yīng)用，通過這部分內(nèi)容的講解可以強(qiáng)化學(xué)生對定理的理解，并以此作為節(jié)點在視頻處添加討論題：你知道拉格朗日中值定理在物理學(xué)上的應(yīng)用是什么？學(xué)生可以在網(wǎng)絡(luò)交互平臺上進(jìn)行討論，最后教師給予解答。

(3)引導(dǎo)學(xué)生思考如何證明定理：法一，與圖形結(jié)合，即數(shù)形結(jié)合的思想。引導(dǎo)學(xué)生從圖形出發(fā)，尋找一個輔助函數(shù)能夠滿足羅爾定理的第三個條件。法二，演繹推理，由拉格朗日中值定理的結(jié)論出發(fā)，通過解析法尋找一個輔助函數(shù)能夠滿足羅爾定理的第三個條件。在講完這部分內(nèi)容后可以添加討論題：這兩種方法用到的共同的數(shù)學(xué)方法是什么？(化歸法)通過這樣的討論讓學(xué)生體會到化歸法在數(shù)學(xué)中的運用，同時化歸法也是學(xué)生在解決實際問題中常用的一種重要方法。

(4)引導(dǎo)學(xué)生深入地思考：拉格朗日中值定理的本質(zhì)是什么？我們會運用導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，理論依據(jù)在哪？這兩個問題的討論在學(xué)生知識框架的構(gòu)建中起到了非常重要的作用，拉格朗日中值定理在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間架起了一座橋梁，是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的理論基礎(chǔ)。

在上述在線教學(xué)單元的設(shè)計中，第二部分過程是學(xué)生學(xué)習(xí)的潛意識階段，通過從幾何到物理的類比，學(xué)生一直在模仿學(xué)習(xí)；第三部分的學(xué)習(xí)，學(xué)生對定理有了一些深入的認(rèn)識，即進(jìn)入學(xué)習(xí)的明朗化階段，通過對定理的兩種證明方法的學(xué)習(xí)，學(xué)生既對定理的本質(zhì)有了進(jìn)一步的認(rèn)識，又對數(shù)學(xué)方法有了很好的理解；第四部分的學(xué)習(xí)是從知識到應(yīng)用的學(xué)習(xí)過程，即深刻化階段，通過這一部分的討論，學(xué)生對中值定理中隱藏的本質(zhì)有了深入的認(rèn)識。

線下的教學(xué)過程，即面授教學(xué)過程應(yīng)與線上的教學(xué)有本質(zhì)的區(qū)別，不應(yīng)是線上教學(xué)過程的重復(fù)。因此，線下的教學(xué)應(yīng)該以解決重難點及幫助學(xué)生構(gòu)建知識體系為主，即將碎片化的知識點系統(tǒng)化，網(wǎng)絡(luò)化，并逐步融合到學(xué)生自有的知識體系中。

2.2 SPOC教學(xué)與面授教學(xué)的有效融合方式探索

線上SPOC教學(xué)，做到了學(xué)生的學(xué)習(xí)節(jié)奏可以自控，學(xué)習(xí)時間可以自定，學(xué)習(xí)內(nèi)容可以自選?？此茖W(xué)生的課外學(xué)習(xí)時間延長了，學(xué)習(xí)的頻率變高了，提升了單一的知識點的學(xué)習(xí)效率和資源的利用價值。然而，碎片化的學(xué)習(xí)不利于支持?jǐn)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的邏輯性，難以解決復(fù)雜的學(xué)習(xí)任務(wù)和形成完整的個人知識體系，[3-4]這就需要SPOC教學(xué)和面授教學(xué)的有效融合。

2.2.1 SPOC教學(xué)與面授教學(xué)的融合框架

傳統(tǒng)的面授教學(xué)的主體是教師，教師與學(xué)生的交流僅局限于課堂，由于大班化教學(xué)模式的普遍性及課程課時的局限性，教師在課堂上與學(xué)生的交流更有限，傳統(tǒng)的微積分教學(xué)框架如圖1所示：

傳統(tǒng)的教學(xué)的不足之處在于：①不同基礎(chǔ)的學(xué)生接受能力不同，無法在相同的時間內(nèi)接受同樣的內(nèi)容；②學(xué)生接受程度的反饋很少，基本上教師是通過學(xué)生課上表情與部分學(xué)生的課堂練習(xí)了解學(xué)生對知識的接受程度。SPOC教學(xué)中每一個知識點的介紹均有相應(yīng)的視頻、課件、課上練習(xí)題、課后測試題，完全可以利用SPOC教學(xué)彌補(bǔ)傳統(tǒng)教學(xué)的不足。因此可以嘗試將SPOC教學(xué)與面授教學(xué)進(jìn)行深入地融合，框架如圖2所示：

圖2 融合框架

這樣的融合方式改變了傳統(tǒng)課堂中教師的主體地位，教師與學(xué)生的雙主體形式體現(xiàn)了“教”與“學(xué)”的同等重要性，通過SPOC課程的融入，學(xué)生將更多地參與到教學(xué)活動中，形式上既滿足課前時間和空間的離散性，又可以在課堂教學(xué)中實現(xiàn)學(xué)習(xí)時間和空間的一體化，獲取更多的課堂和課外等學(xué)習(xí)資源。[5]同時，教師與學(xué)生的交流在很大程度上有所增加，而學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容的反饋也在增多，教師可以在課前、課中和課后對學(xué)生的學(xué)習(xí)過程進(jìn)行實時的監(jiān)控。

“翻轉(zhuǎn)課堂”為SPOC教學(xué)與面授教學(xué)的融合提供了一定的途徑，但其更適合小班教學(xué)，對于大班化的教學(xué)，課堂上直接展開討論與研究實施有一定的困難，全部的教學(xué)過程可能只能有部分學(xué)生參與，課堂的教學(xué)效果亦無法保證。構(gòu)建主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，“學(xué)習(xí)是構(gòu)建內(nèi)在心理表征的過程，學(xué)習(xí)者不是將知識從外界搬過來，而是學(xué)生憑借原有的知識和經(jīng)驗，通過外界的互動，主動生成信息的過程”。借助思維導(dǎo)圖可以從學(xué)生的已有認(rèn)知出發(fā)，幫助學(xué)生將碎片化的知識點內(nèi)化到自己的知識體系中，因此借助思維導(dǎo)圖的部分翻轉(zhuǎn)課堂模式更適合大班的課堂教學(xué)。在部分翻轉(zhuǎn)的課堂教學(xué)模式中，教師借助思維導(dǎo)圖建立知識框架，將學(xué)生在SPOC教學(xué)中學(xué)習(xí)的一些碎片化的知識點鑲嵌到知識的框架中，對前后交錯的知識點進(jìn)行梳理，最后利用實際問題的小組討論檢驗學(xué)生對知識點的掌握與應(yīng)用情況。

2.2.3 SPOC教學(xué)與面授教學(xué)融合的過程

以洛必達(dá)法則這一節(jié)為例，SPOC教學(xué)與面授教學(xué)融合的過程如下：

(2)根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)的反饋，制定新的教學(xué)重點，準(zhǔn)備課堂教學(xué)的資料。

(3)面授教學(xué)過程：

本次課的難點講解，即洛必達(dá)法則的使用條件；

時代在不斷進(jìn)步，新媒體對于傳統(tǒng)報紙來說是一個機(jī)遇，也是一個挑戰(zhàn)。在一定程度上說，新媒體占有了傳統(tǒng)報紙的市場，但是新媒體也給傳統(tǒng)報紙帶來了機(jī)遇?，F(xiàn)在，很多媒體主動和互聯(lián)網(wǎng)結(jié)合，建立了具有地域性特色的門戶網(wǎng)站。有些報紙在積極探索自己未來的發(fā)展道路，和互聯(lián)網(wǎng)結(jié)合起來，促進(jìn)自身的轉(zhuǎn)型。

本次課的重點講解，未定式的類型判斷及各種未定式之間的轉(zhuǎn)化；

視頻教學(xué)中課上練習(xí)題的講解，找學(xué)生演示，找出易錯點；

通過學(xué)生之間的自我探討，每組同學(xué)都會得到一些未定式之間的轉(zhuǎn)化過程。教師通過繪制思維導(dǎo)圖，對本次課所討論的問題進(jìn)行了總結(jié)，也通過該圖將思維方法及解決問題的思路進(jìn)行了顯化。本節(jié)課的思維導(dǎo)圖如圖3所示：

圖3 洛必達(dá)法則思維導(dǎo)圖

書本中很多章節(jié)的討論都可以按照這一模式展開，每章內(nèi)容學(xué)完以后可以將每節(jié)內(nèi)容的思維導(dǎo)圖連接在一起，即不斷構(gòu)建出一個完整的知識體系。

將思維導(dǎo)圖引入課堂教學(xué)，可以對碎片化的知識點或者思維方法進(jìn)行梳理和關(guān)聯(lián)，彌補(bǔ)了SPOC教學(xué)的不足。學(xué)生通過反復(fù)的思維導(dǎo)圖的構(gòu)建，加深了對各個單元之間的內(nèi)在聯(lián)系的理解，進(jìn)一步明確了自己的不足，這才可以更充分地利用課程資源在自我構(gòu)建的知識框架中加入內(nèi)容、思想和方法，提高運用知識解決實際問題的能力。

(4)課后復(fù)習(xí)鞏固：在課后的學(xué)習(xí)中，學(xué)生完全可以依靠SPOC中的課件及視頻進(jìn)行復(fù)習(xí)，特別是針對自己不明白或者有疑問的地方，可以反復(fù)觀看視頻學(xué)習(xí)并可以在線和老師進(jìn)行探討。

(5)課后作業(yè)及在線測試：通過每節(jié)課的作業(yè)及在線測試，教師可更快、更直接地了解學(xué)生對內(nèi)容、思維和方法的掌握情況，并可以在后續(xù)的授課過程中進(jìn)行鞏固和深化。

2.3 教師教育教學(xué)藝術(shù)的新要求

在傳統(tǒng)課堂中大多數(shù)時間都是教師講，學(xué)生聽，在SPOC教學(xué)與面授教學(xué)相融合的混合式教學(xué)模式下，教師與學(xué)生之間的交流增多，對教師的教學(xué)藝術(shù)也提出了新的要求。

(1)教師要有更扎實的專業(yè)功底和業(yè)務(wù)能力。課堂教學(xué)不再是教師按照想好的思路講，學(xué)生按照板書或PPT聽的階段了。在混合式的教學(xué)模式下，學(xué)生與教師之間會有更多的交流，教師要能夠應(yīng)對學(xué)生提出的各種問題，這要求教師具有更扎實的專業(yè)功底和業(yè)務(wù)能力。

(2)教師要有更強(qiáng)的課堂掌控能力。站得穩(wěn)講臺是教師課堂掌控能力的最直接的體現(xiàn)。在混合式教學(xué)中，教師需要花更多的時間準(zhǔn)備課堂教學(xué)。特別是在教學(xué)討論的環(huán)節(jié)中，學(xué)生思維是多向并發(fā)的，教師需要適應(yīng)更多可能發(fā)生的情況。

(3)教師要有更豐富的課堂的表現(xiàn)力。教學(xué)是一種藝術(shù)，教師是這種藝術(shù)的展示者，教師需要通過各種途徑傳授自己的知識，并讓更多的學(xué)生能夠容易理解和接受。如何設(shè)計一節(jié)課的講解思路，如何設(shè)計問題，如何啟發(fā)學(xué)生，如何將數(shù)學(xué)思維進(jìn)行顯化等等，這些都需要教師在課前進(jìn)行更深刻的思考，并在課堂上完美地展現(xiàn)出來。

2.4 多途徑激發(fā)學(xué)生的自我內(nèi)驅(qū)力

在混合式教學(xué)中，線上視頻的觀看，線上作業(yè)，線上討論，課后的作業(yè)和測試等等，都需要學(xué)生在課余時間內(nèi)完成，雖然教師可以通過網(wǎng)絡(luò)交互平臺進(jìn)行監(jiān)督，但是仍需要學(xué)生能夠主動積極地去完成，即要能多途徑地激發(fā)學(xué)生的自我內(nèi)驅(qū)力。

(1)以興趣激發(fā)內(nèi)驅(qū)力。SPOC教學(xué)講解中，可添加一些數(shù)學(xué)史的內(nèi)容，比如洛必達(dá)法則的第一任創(chuàng)造者是誰，牛頓-萊布尼茲公式的命名，數(shù)學(xué)家拉格朗日的介紹等等。這些內(nèi)容既可以豐富教學(xué)內(nèi)容，又可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而激發(fā)學(xué)生自我學(xué)習(xí)的主動性。

(2)以問題引導(dǎo)式的啟發(fā)性教學(xué)激發(fā)內(nèi)驅(qū)力。問題能夠激發(fā)學(xué)生自我主動思考與探索的意識。教學(xué)過程中，利用一系列循序漸進(jìn)的問題，引導(dǎo)學(xué)生不斷思考問題，解決問題，學(xué)生在一個又一個問題的思考和解決過程當(dāng)中獲得了自信和樂趣。在課后的學(xué)習(xí)中，學(xué)生也會自發(fā)地運用相類似的方法思考與解決問題。

(3)以探究式的學(xué)習(xí)方式激發(fā)內(nèi)驅(qū)力。探究式的學(xué)習(xí)，能夠激發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力。在教學(xué)過程中，教師可以從學(xué)生的專業(yè)領(lǐng)域或現(xiàn)實生活中選擇與所授內(nèi)容相關(guān)的研究主題，發(fā)布給學(xué)生，讓學(xué)生分組討論完成。在學(xué)生間互相探討并合作完成主題的過程中，積極性會有很大地提高，解決實際問題的能力也會有一定地提升。

(4)以學(xué)習(xí)的過程性評價激發(fā)內(nèi)驅(qū)力。加大平時學(xué)習(xí)過程性考核比例，以學(xué)生在線自評、互評的方式提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性。

3 混合式教學(xué)下微積分課程的評價體系

混合式教學(xué)下的微積分課程的評價體系可以由以下幾個方面構(gòu)成：

(1)視頻觀看及參與在線討論的情況(20%)；

(2)每節(jié)課的課上在線測試與課后的在線測試(10%)；

(3)每個單元、期中、期末的在線測試(10%)；

(4)課上討論及分組討論完成情況(20%)；

(5)期末考試成績(40%)。

這一評價體系，對于教師而言，改變了以往傳統(tǒng)教學(xué)一張試卷定成績的情況，大大加重了學(xué)生平時學(xué)習(xí)過程的評價；對于學(xué)生而言，這一體系也促進(jìn)了學(xué)生在平時學(xué)習(xí)過程中自主學(xué)習(xí)，不斷積累，改變了以往考試前刷題、應(yīng)付考試的情況。

4 結(jié)語

SPOC教學(xué)與面授教學(xué)深度融合的教學(xué)模式，既保留了傳統(tǒng)課堂的精髓，又結(jié)合了線上教學(xué)的優(yōu)勢，并通過網(wǎng)絡(luò)交互平臺在教師與學(xué)生之間架起了一座緊密聯(lián)系的橋梁，雖然在微積分教學(xué)中積累了一定的經(jīng)驗，但是還是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。教師作為傳授者和引導(dǎo)者，要將傳統(tǒng)的教學(xué)模式和信息化教學(xué)模式進(jìn)行更加充分地融合，不斷挖掘混合式教學(xué)的優(yōu)勢、優(yōu)化教學(xué)方式、提升自我的能力和素質(zhì)，最終實現(xiàn)全面提升課程教學(xué)效果、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維及綜合能力的目標(biāo)。