韋宏 黃美玲

摘 要：“題眼”是指能夠?qū)㈩}目中的已知條件與未知結(jié)論聯(lián)系起來的關(guān)鍵信息。從數(shù)學(xué)解題思維過程的角度，詳細(xì)說明捕捉“題眼”、關(guān)系聯(lián)想、組織求解過程在中考?jí)狠S題的運(yùn)用，由“題眼”聯(lián)想題目的定理和性質(zhì)，幫助學(xué)生提升數(shù)學(xué)思維，形成解題經(jīng)驗(yàn)，提高解題能力。

關(guān)鍵詞：題眼;壓軸題;聯(lián)想

一、數(shù)學(xué)題眼與巧用解析

數(shù)學(xué)中，何謂題眼？羅增儒教授曾指出，數(shù)學(xué)解題的本質(zhì)實(shí)際上是把已知聯(lián)系網(wǎng)與所求聯(lián)系網(wǎng)連線起來的過程。而這條連線的交匯點(diǎn)就是解決問題的切入點(diǎn)、突破口或關(guān)鍵處。因此，“題眼”是指能夠?qū)㈩}目中的已知條件與未知結(jié)論聯(lián)系起來的關(guān)鍵信息，是題目的核心，是問題的樞紐，是問題解決的靈魂。一般地，“題眼”可從題目中的客觀條件、已知結(jié)論、關(guān)鍵字詞句或隱含的數(shù)學(xué)概念、公式、法則、定理和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)捕捉得到。

巧用，本意有靈敏、恰好之意，本文特指靈活運(yùn)用某種方法，促使數(shù)學(xué)題目得以快速解答。巧用“題眼”是指根據(jù)數(shù)學(xué)的題意，圍繞“題眼”展開聯(lián)想、利用“題眼”產(chǎn)生解題思路，以便實(shí)現(xiàn)問題解決的過程。在教學(xué)過程中，教師若能巧用“題眼”，則能較好地抓住題目的要點(diǎn)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，順利地解決問題。

二、巧用數(shù)學(xué)“題眼”的意義

數(shù)學(xué)解題的成功往往需圍繞“題眼”展開關(guān)系聯(lián)想，抓住題目要點(diǎn)，領(lǐng)悟問題的本質(zhì)，找到解決問題的思路和方法。

（一）巧用“題眼”，高效解決問題

高效即快速之意，數(shù)學(xué)問題的解答，也要求有一定的速度，提高學(xué)習(xí)的效率。解數(shù)學(xué)題要先審清題意，尋找并捕捉“題眼”，然后想法設(shè)法利用題眼。巧用“題眼”，能夠幫助學(xué)生快速地分清題目的主次內(nèi)容，舍棄冗余的干擾信息，準(zhǔn)確地把握問題的本質(zhì)，明晰條件、結(jié)論以及問題之間的邏輯關(guān)系，打開學(xué)生解題的思路，促進(jìn)其高效解題。

（二）巧用“題眼”，培養(yǎng)思維品質(zhì)

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)。從認(rèn)知心理學(xué)的角度來看，數(shù)學(xué)解題不僅是一個(gè)由表及里的心理活動(dòng)過程，也是一個(gè)由現(xiàn)象到本質(zhì)的思維探索歷程。在培養(yǎng)學(xué)生使用“題眼”的過程中，也將經(jīng)歷較為復(fù)雜的思維活動(dòng)過程。在教學(xué)過程中，教師指導(dǎo)學(xué)生對(duì)題目中的關(guān)鍵信息進(jìn)行深入挖掘和深度解讀，對(duì)有關(guān)的數(shù)學(xué)材料進(jìn)行加工組織和靈活調(diào)整，以培養(yǎng)其思維的深刻性、靈活性和完整性。

（三）巧用“題眼”，提高數(shù)學(xué)能力

前蘇聯(lián)心理學(xué)家克魯捷茨基認(rèn)為，數(shù)學(xué)能力（Mathematical Ability）是指學(xué)生能較為迅速、容易并透徹地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)、技能和習(xí)慣的那些獨(dú)特的心理特征，它是一種綜合素質(zhì)。巧用“題眼”，要求教師要指導(dǎo)學(xué)生把觀察到的“題眼”與已有的數(shù)學(xué)概念、基本事實(shí)等結(jié)合起來，尋找并捕捉它們的特點(diǎn)，歸納與概括它們的特征，發(fā)掘問題與舊知之間的啟發(fā)性聯(lián)系，選擇和辨認(rèn)所需的數(shù)學(xué)材料，進(jìn)而加工組織成系統(tǒng)的知識(shí)系統(tǒng)，最終實(shí)現(xiàn)問題的解決。由此來看，巧用“題眼”有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)能力、抽象概括能力和數(shù)學(xué)解題能力。

三、巧用數(shù)學(xué)“題眼”的方法

如何巧用“題眼”？解題中，要想巧用“題眼”，首先要審清題意，捕捉“題眼”。其次，調(diào)動(dòng)已有的知識(shí)，回憶某些熟悉的特征，圍繞“題眼”進(jìn)行“關(guān)系聯(lián)想”。3[3]即根據(jù)數(shù)學(xué)材料之間的一般關(guān)系、因果關(guān)系和內(nèi)在聯(lián)系等展開聯(lián)想。例如，給出一個(gè)題目，便聯(lián)想到它屬于哪種題型，解決的一般方法是什么;由一個(gè)已知條件聯(lián)想到相關(guān)的特征或性質(zhì);由一個(gè)定理公式聯(lián)想到它的推論和應(yīng)用等等?？梢姡P(guān)系聯(lián)想就是一種調(diào)動(dòng)已有的知識(shí)、回憶某些熟悉的特征、辨認(rèn)所需的數(shù)學(xué)材料的思維活動(dòng)。然而，在解題環(huán)節(jié)中，關(guān)系聯(lián)想只是提供了問題解決的可能。因此，還需要對(duì)所收集的數(shù)學(xué)材料加以組織求解，讓舊知充實(shí)或重組到原題中來，使原題得到重構(gòu)、獲得新的意義，實(shí)現(xiàn)由未知問題到已有知識(shí)的逐級(jí)遞進(jìn)、逐步轉(zhuǎn)化和還原求解。

近年來，中考數(shù)學(xué)壓軸題題目難度系數(shù)大，綜合性很強(qiáng)，不僅注重考察學(xué)生綜合運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)的能力，還關(guān)注學(xué)生解題思維的探索性與創(chuàng)新性，巧用“題眼”，即可順利解出壓軸題。下文將以三道中考數(shù)學(xué)壓軸題為例，詳細(xì)分析巧用“題眼”的方法。

（一）挖掘題目內(nèi)涵，由“題眼”聯(lián)想定理

美國心理學(xué)家桑代克認(rèn)為，一定的情境刺激與適當(dāng)?shù)姆磻?yīng)所形成的聯(lián)結(jié)構(gòu)成了問題的解決。數(shù)學(xué)中，這樣的“情境刺激”即為數(shù)學(xué)問題，“適當(dāng)?shù)姆磻?yīng)”是指結(jié)論或目標(biāo)，問題解決的關(guān)鍵則是要找到這兩者之間的關(guān)系聯(lián)結(jié)。數(shù)學(xué)題目中，“題眼”通常以一個(gè)字、一個(gè)詞或一句話的方式來呈現(xiàn)。審題時(shí)，不僅要善于捕捉“題眼”，更重要的是要挖掘這些關(guān)鍵字、詞、句的深刻內(nèi)涵，理解題目的條件，認(rèn)清問題的要求，深入分析已知條件與所求目標(biāo)的各個(gè)元素以及元素之間的關(guān)系，利用它們之間的內(nèi)在聯(lián)系、因果關(guān)系等來回憶某些熟悉的概念、公式、法則、定理、性質(zhì)或者數(shù)學(xué)方法，盡可能地把回憶起來的知識(shí)點(diǎn)用數(shù)學(xué)語言來表述出所求問題的元素，以此實(shí)現(xiàn)條件、目標(biāo)與已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)之間的“關(guān)系聯(lián)想”，從而找到解題的思路和方法。

例：（成都）拋物線與直線：交于A（1，1），B兩點(diǎn)。若在X軸上有且只有一點(diǎn)P，使得∠APB=90°，求出k的值。

解題分析：①捕捉“題眼”：有且只有;∠APB=90°。②關(guān)系聯(lián)想：可以明確這兩個(gè)“題眼”構(gòu)成了點(diǎn)P存在的限定條件，兩者缺一不可。由于點(diǎn)P“有且只有”一個(gè)，且“∠APB=90°”，便可由合并后的“題眼”聯(lián)想到切線定理。因此，以AB為直徑的圓與X軸只有一個(gè)交點(diǎn)。③組織求解：如圖1，過A，B兩點(diǎn)添加輔助圓O，由此構(gòu)造相似三角形，建立線段間的比例關(guān)系：AM·BN=PN·PM，最后，用含有k的代數(shù)式依次表示點(diǎn)B、點(diǎn)P的坐標(biāo)以及未知線段，解出關(guān)于k的一元二次方程：即可。

（二）分清主次信息，由“題眼”聯(lián)想性質(zhì)

性質(zhì)是定理的另一種表現(xiàn)形式，常常隱含于題干信息或解題過程中。中考?jí)狠S題的題目信息量大，客觀條件足，考察的知識(shí)點(diǎn)較多，“題眼”的數(shù)量也不止一個(gè)，這時(shí)就需要分清主次信息，把問題的信息與認(rèn)知結(jié)構(gòu)的信息整合起來。根據(jù)問題所提出的目標(biāo)，從復(fù)雜的回憶系統(tǒng)中檢索出所需的理論法則或者與本問題的某些元素有聯(lián)系的定理性質(zhì)等。研究“題眼”時(shí)，可以將問題的條件用直觀的圖形、表格等表示出來，方便思考問題，產(chǎn)生解題思路。

例2：（2018玉林）如圖2，點(diǎn)A，B分別為直線與X軸和Y軸的兩個(gè)交點(diǎn)。二次函數(shù)交Y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P位于直線y=c上，且在第一象限內(nèi)。點(diǎn)O是坐標(biāo)的原點(diǎn)，連接PB，有△PCB≌△BOA。設(shè)點(diǎn)F是該二次函數(shù)與X軸的正半軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)上的一點(diǎn)M位于點(diǎn)C，F(xiàn)之間（包括端點(diǎn)C，F(xiàn)），而且點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m。

（1）求出該二次函數(shù)的表達(dá)式;（2）當(dāng)∠MPO=∠POA時(shí)，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)。

解題分析：（1）①捕捉“題眼”：要求拋物線的解析式，首先想到的是待定系數(shù)法。因此，需要找出位于該拋物線上的點(diǎn)C、P坐標(biāo)。觀察圖象可得，點(diǎn)C、P分別是題目中△PCB的兩個(gè)頂點(diǎn)。從而“△PCB≌△BOA”為本小題的“題眼”。②關(guān)系聯(lián)想：圍繞“題眼”，展開聯(lián)想，檢索所需的信息?；貞浫热切蔚男再|(zhì)，主要有：對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)線段相等和對(duì)應(yīng)角相等這三點(diǎn)。③組織求解：在這些知識(shí)點(diǎn)中，哪個(gè)更適合本問題的求解呢？顯然，將對(duì)應(yīng)邊相等這一性質(zhì)“充實(shí)”到待定系數(shù)法中來，即可分別求出點(diǎn)C、P的坐標(biāo)：C（0，4）、P（3，4）以及該二次函數(shù)的表達(dá)式為：。

（2）為本小題的“題眼”為“∠MPO=∠POA”。由圖3可知，點(diǎn)M在二次函數(shù)上，若∠MPO=∠POA，則聯(lián)想兩個(gè)大知識(shí)點(diǎn)：全等或相似三角形中的“對(duì)應(yīng)角相等”和等腰三角形中的“等邊對(duì)等角”。而僅有∠MPO=∠POA和公共邊OP兩個(gè)條件，不易證明△POM與△POA全等或相似。此時(shí)考慮第二個(gè)知識(shí)點(diǎn)“等邊對(duì)等角”，由此構(gòu)造等腰三角形：分別延長直線PM和OA，交X軸于點(diǎn)Q，使得PQ=OQ。由圖聯(lián)想到：等腰三角形“三線合一”的特殊性質(zhì);點(diǎn)坐標(biāo)（3，4）的特殊性（“勾股數(shù)”），則過點(diǎn)Q作等腰△POQ底邊OP上的高QE，由此解出點(diǎn)Q的坐標(biāo)：（）。至此，P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)均已知，再聯(lián)立直線PQ與拋物線的解析式，解出符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)有（0，4）或（）。

巧用“題眼”開展教學(xué)，是教師教學(xué)機(jī)智的集中體現(xiàn);通過“題眼”教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)規(guī)律，不僅是新時(shí)期課程教學(xué)改革的要求，也是拓展數(shù)學(xué)課程內(nèi)容邊界、深化課堂教學(xué)改革的重要基礎(chǔ)。巧用“題眼”，一般是由“題眼”聯(lián)想到重要的數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)原理（公式、法則、定理和性質(zhì)等）。因此，為了提高學(xué)生的“關(guān)系聯(lián)想”能力，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)不僅要讓學(xué)生掌握單一的概念，還要引導(dǎo)學(xué)生形成一定的概念網(wǎng)絡(luò)體系;數(shù)學(xué)原理的教學(xué)則要讓學(xué)生準(zhǔn)確地理解和記憶原理的條件和結(jié)論、熟悉原理的適用范圍、掌握原理的證明方法等?？傊?，數(shù)學(xué)教師應(yīng)努力幫助學(xué)生提升數(shù)學(xué)能力，豐富解題經(jīng)驗(yàn)，提高數(shù)學(xué)涵養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)

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[2] 王成杰.題根 ?題眼 ?題感[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2013（24）：42-45.

[3] 張雄，李得虎.數(shù)學(xué)方法論與解題研究[M].北京：高等教育出版社， 2001.

基金項(xiàng)目：本課題系2016年度廣西職業(yè)教育教學(xué)改革研究立項(xiàng)項(xiàng)目“中職教師品牌培訓(xùn)項(xiàng)目設(shè)計(jì)、開發(fā)與實(shí)施研究”（課題編號(hào)：GXZZJG2016A138）的階段性成果。

作者簡介：韋宏（1968- ），男，廣西上林人，南寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)科學(xué)學(xué)院副教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向：學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）;黃美玲（1994- ），女，廣西來賓人，南寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)科學(xué)學(xué)院碩士研究生，研究方向：學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）。