景 楠，呂閃閃，江 濤

1 上海大學 悉尼工商學院，上海 201899 2 哈爾濱工業(yè)大學(深圳) 經(jīng)濟管理學院，廣東 深圳 518055

引言

金融是國家經(jīng)濟發(fā)展的血液和重要支撐，期貨市場作為金融市場的重要組成部分，成為支持國家經(jīng)濟社會持續(xù)健康發(fā)展的重要平臺。期貨市場存在明顯的波動性，適度的價格波動將增加期貨市場活躍度，提高整體市場流動性，加快資源配置效率；而過度的波動將嚴重阻礙市場的價格發(fā)現(xiàn)，降低資源配置效率，并影響宏觀經(jīng)濟的正常運行[1-3]。此外，金融全球化的進一步開放使中國金融市場受到更多沖擊，波動率是金融資產(chǎn)投資和風險管控的重要因素[4]。對投資者而言，增強波動率預(yù)測效果將為投資者投機、套利、避險提供決策依據(jù)[5]；對市場而言，增強波動率預(yù)測效果有助于減輕市場沖擊影響，促進投資收益穩(wěn)步增長[6]。因此，在一個不完全成熟的期貨市場中，對于市場波動性的分析、估計和預(yù)測尤為重要。

根據(jù)市場結(jié)構(gòu)的突變性、波動率的持續(xù)性等特點，結(jié)合中國期貨市場發(fā)展現(xiàn)狀，本研究以滬深300股指期貨作為標的，探究預(yù)測中國期貨市場波動性的方法。首先，通過廣義自回歸條件異方差(generalized auto regressive conditional heteroskedasticity，GARCH) 模型計算期貨的波動率序列；其次，利用K均值法對波動率序列聚類得到觀察序列；再次，根據(jù)隱馬爾科夫模型(hidden Markov model，HMM) 劃分波動率的狀態(tài)，將不同狀態(tài)對應(yīng)的收益率代入HMM-GARCH 模型，得到不同狀態(tài)下的波動率；最后，通過波動率指數(shù)公式計算波動指數(shù)，用該指數(shù)測量市場的波動性。本研究提出的將HMM與GARCH模型相結(jié)合的波動性指標計算方法，可用于測量中國期貨市場波動狀況，揭示投資者對未來風險的預(yù)期，為相關(guān)學者研究中國期貨市場波動性提供新思路；同時，本研究的波動率指標為政府和投資者提供市場波動性的客觀量化指標，對于投資者的理性投資和中國期貨市場的繁榮穩(wěn)定發(fā)展有重要意義。

1 相關(guān)研究評述

20世紀90年代以來，隨著美國金融市場的波動加大和風險加劇，投資者迫切需要對市場波動性進行動態(tài)測量，波動率指數(shù)應(yīng)運而生。1993年，美國芝加哥期權(quán)交易所(Chicago board options exchange，CBOE)編制和發(fā)布了基于S&P100指數(shù)的波動率指數(shù)(volatility index，簡稱為VIX指數(shù))[7]。VIX指數(shù)一經(jīng)推出便很快得到市場的廣泛認同，被理論界和實務(wù)界作為測量美國股票市場即期波動率和市場風險的重要指標。由此可見，將市場波動率量化為波動指數(shù)，可以更直觀地反映波動率的變化。

在過去的幾十年里期貨市場波動率估計模型成為實證金融學和時序計量經(jīng)濟學中最為活躍的研究領(lǐng)域之一。目前，按照計算方法和應(yīng)用的不同可將波動率的預(yù)測方法分為隱含波動率法和歷史波動率法兩類。第1類，隱含波動率法[8-10]通過將期權(quán)等衍生品的市場價格代入其理論價格模型，反推市場對于未來波動率的預(yù)期。期權(quán)的市場價格中包含了大量市場前瞻性信息，隱含了市場對標的資產(chǎn)未來波動率的預(yù)期[11-12]。第2類，歷史波動率法[13]假設(shè)未來是過去的延伸，基于對資產(chǎn)價格序列過去某一段時期內(nèi)波動率的統(tǒng)計分析，試圖發(fā)現(xiàn)波動率變化的規(guī)律，從而預(yù)測未來的波動率。

在實踐應(yīng)用中，市場波動率預(yù)測方法的選擇取決于市場環(huán)境的成熟度和預(yù)測時間的長短。CORRADO et al.[14]的研究表明，期權(quán)隱含波動率包含的信息量隨著期權(quán)市場的發(fā)展得到顯著提高。在成熟市場中，隱含波動率包含歷史波動率所能反映的市場交易信息，而在新興市場中則相反。在預(yù)測時間方面，楊小玄等[15]認為預(yù)測時間的長短直接影響隱含波動率表現(xiàn)的好壞。預(yù)測時間較短時，隱含波動率反映信息的能力不及歷史波動率，導致隱含波動率的預(yù)測能力也不及歷史波動率。因此，在不同的期貨市場中，需要根據(jù)市場的成熟度和預(yù)測期限確定具體使用哪種方法。國外波動率指數(shù)的編制均基于成熟的期權(quán)市場交易，因而可根據(jù)波動率預(yù)測時長選擇采用隱含波動率法或歷史波動率法預(yù)測市場未來波動。而在中國，2015年2月9日上證50ETF期權(quán)合約品種剛剛上市交易，還沒有正式推出基于滬深300的股指期權(quán)，具有期權(quán)性質(zhì)的權(quán)證也于2011年8月告別市場，因此與隱含波動率法相比，歷史波動率法更適用于計算中國期貨市場的波動性。

歷史波動率法包括ENGLE[16]在1982年首次提出的自回歸條件異方差(auto regressive conditional heteroskedasticity，ARCH) 模型和BOLLERSLEV[17]提出的廣義自回歸條件異方差模型。GARCH模型是ARCH模型的推廣，其在ARCH模型的基礎(chǔ)上加入了對過去時期的預(yù)測方差，即誤差項條件方差的滯后期，更能反映實際數(shù)據(jù)中的長期記憶性質(zhì)，是專門針對金融數(shù)據(jù)的回歸模型。在基于歷史波動率法的波動率預(yù)測研究中，王佳妮等[18]以1999年至2004年歐元、日元、英鎊、澳元等4種貨幣兌美元的收市價為數(shù)據(jù)，用GARCH模型對外匯市場的波動性進行預(yù)測評估，發(fā)現(xiàn)GARCH模型比ARCH模型預(yù)測效果好；黃海南等[19]以上證指數(shù)收益率為數(shù)據(jù)樣本，通過GARCH族模型對其進行全面估計和樣本外預(yù)測，用已實現(xiàn)波動率作為波動率預(yù)測的評價標準，通過M-Z回歸和損失函數(shù)評價GARCH族模型的波動率預(yù)測表現(xiàn)，研究結(jié)果表明，GARCH族模型在樣本內(nèi)外均能較好地預(yù)測上證指數(shù)的收益波動率；魏宇[20]認為，傳統(tǒng)GARCH模型在預(yù)測未來的波動率時，基于從樣本中總結(jié)得到的規(guī)律，在實際應(yīng)用中效果并不好，或出現(xiàn)過度擬合問題，對滬深300股指期貨的波動率預(yù)測能力較差。但由于其數(shù)據(jù)來源于中國金融交易所的股指期貨仿真交易，因此該結(jié)論的普適性有待檢驗。

在實際應(yīng)用中，傳統(tǒng)GARCH模型大都是基于離散且低頻的數(shù)據(jù)，而在金融市場中信息是連續(xù)影響金融市場的價格運動過程的，即收益波動具有持續(xù)性，離散時間模型必然導致金融市場信息的缺失，無法適用于金融市場的結(jié)構(gòu)突變。因此，基于低頻數(shù)據(jù)的GARCH模型往往因為損失了大量的日內(nèi)交易信息[21-22]，造成對收益率波動性的估計和預(yù)測存在較大的偏差，無法達到描述金融時間序列頻繁變化的目的。為解決該問題，HAMILTON et al.[23]最早提出將馬爾可夫狀態(tài)轉(zhuǎn)換與GARCH模型結(jié)合起來用于金融時間序列的擬合，實驗結(jié)果表明，馬爾科夫模型在一定程度上彌補了GARCH模型的弊端，兩者的結(jié)合能較好地擬合實驗數(shù)據(jù)，但可能存在波動預(yù)測值偏高、持續(xù)性過強的問題；HENRY[24]將帶有機制轉(zhuǎn)換的馬爾科夫鏈融入GARCH模型，構(gòu)建RS-EGARCH(regime switching-GARCH) 模型，該模型解決了早期模型中波動預(yù)測值偏高和持續(xù)性過強的問題，解釋了壓力釋放效應(yīng)和波動的非對稱性；張銳等[25]在HENRY[24]的基礎(chǔ)上提出了一種新的RS-EGARCH 模型，為了刻畫金融收益的厚尾特征可能隨時間變化的特性，該模型允許收益殘差序列分布的自由度與所處狀態(tài)相關(guān)，實證結(jié)果表明，在各種分布下，RS-EGARCH 均能得到較為精確的預(yù)測值。

然而，馬爾科夫轉(zhuǎn)換模型在對模型參數(shù)估計時，需要人為地劃分波動率狀態(tài)，以至對模型參數(shù)估計造成一定的干擾，使模型對市場擬合效果不佳，而隱馬爾科夫模型利用可見變量進行客觀分類的特性彌補了馬爾可夫模型人為劃分波動狀態(tài)的不足。隱馬爾科夫模型與馬爾科夫模型不同，它描述一個含有隱含未知參數(shù)的馬爾科夫過程，從可觀察的參數(shù)中確定該過程的隱含未知參數(shù)，用于探測一些引起某事件發(fā)生的隱藏事件的狀態(tài)和轉(zhuǎn)移概率等相關(guān)信息[26]。曲大成等[27]通過歷史數(shù)據(jù)進行參數(shù)估計，運用參數(shù)和當前觀測值對未來波動率進行預(yù)測，將預(yù)測結(jié)果與馬爾科夫模型和GARCH模型的預(yù)測結(jié)果進行比較，實證結(jié)果表明隱馬爾科夫模型在滬深300指數(shù)波動性預(yù)測中具備更高的有效性和準確性。在馬爾可夫模型中，狀態(tài)對于觀察者來說是直接可見的，研究者需要人為劃分各種狀態(tài)，這樣狀態(tài)的轉(zhuǎn)換概率便是全部的參數(shù)；而在隱馬爾可夫模型中，狀態(tài)是不可見的，由算法根據(jù)可見的狀態(tài)變量進行分類。若將HMM模型引入波動率的計算模型中，可以在一定程度上規(guī)避了馬爾科夫模型中需要主觀分類的弊端。

綜上所述可知，在隱含波動率法和歷史波動率法兩種常見波動率估計模型中，以ARCH模型和GARCH模型為代表的歷史波動率法更適合中國期貨市場的成熟度和預(yù)測期限。其中，GARCH模型對歷史波動率的預(yù)測能力相對于ARCH模型更優(yōu)秀，因而被廣泛運用于金融市場波動率的預(yù)測。但是，傳統(tǒng)GARCH模型大都基于離散且低頻的數(shù)據(jù)，而信息是連續(xù)影響金融市場的價格運動過程的，即收益波動具有持續(xù)性，離散時間模型必然導致金融市場信息的缺失，不能有效反映市場因結(jié)構(gòu)突變呈現(xiàn)多波動狀態(tài)的信息。馬爾科夫狀態(tài)轉(zhuǎn)換模型能夠描述不同階段、狀態(tài)和機制下經(jīng)濟行為具有的不同特性，因此，部分學者考慮將GARCH模型與馬爾科夫模型結(jié)合，以在描述離散、低頻的金融序列結(jié)構(gòu)變化的基礎(chǔ)上更準確地預(yù)測波動率。然而，馬爾科夫轉(zhuǎn)換模型在對模型參數(shù)估計時需要人為地劃分波動率狀態(tài)，對模型參數(shù)估計造成一定的干擾。因此，本研究嘗試以波動率研究中的傳統(tǒng)GARCH模型為基礎(chǔ)，結(jié)合隱馬爾科夫模型建立組合模型，即隱馬爾科夫-廣義自回歸條件異方差模型(hidden Markov-generalized auto regressive conditional heteroskedasticity，HMM-GARCH)，對中國期貨市場的波動率進行研究，并通過波動指數(shù)的估計來反映波動率變化。本研究的波動率指標可以為政府及投資者提供市場波動性的客觀量化指標，對于投資者的理性投資、中國期貨市場的繁榮穩(wěn)定發(fā)展有重要意義。

2 基礎(chǔ)模型

2.1 GARCH模型

GARCH模型被廣泛用于金融收益和風險的預(yù)測。ENGLE[16]提出ARCH模型分析時間序列的異方差性以后，BOLLERSLEV[17]又提出GARCH模型。GARCH模型在ARCH模型的基礎(chǔ)上對誤差的方差進一步建模，使其更適用于波動性的分析和預(yù)測，其分析對投資者決策的指導作用甚至超過了對數(shù)值本身的分析和預(yù)測[28]。

ARCH的具體模型[29]為，對于時間序列{at}，若有

(1)

在ARCH(Q)模型的基礎(chǔ)上，BOLLERSLEV[17]提出了GARCH(P，Q)模型，即

(2)

其中，P為階數(shù)；d為任意階數(shù)，d=1,2,…,P；βd為參數(shù)且大于等于0。

當P=Q= 1 時，(2)式即可推導為GARCH(1，1)模型，即

(3)

近年來，關(guān)于GARCH(1，1)模型的研究逐步深入。鄭振龍等[30]對香港恒生指數(shù)期權(quán)市場所含信息的研究發(fā)現(xiàn)，在預(yù)測期限較短(1周)時，GARCH(1，1)模型所含信息較多，預(yù)測能力最強；鄒建軍等[31]選用移動平均法、GARCH(1，1)模型和RiskMetrics分別預(yù)測上海證券交易所日收益率的波動性，并計算每日VaR，返回式檢驗表明，在所選的預(yù)測方法中，GARCH(1，1)模型最能準確預(yù)測中國上海證券交易所的風險，更適用于中國股權(quán)價值波動率的計算。另有洪晶晶等[32]基于上證指數(shù)的實驗表明，以標準差定義的波動率建立的GARCH(1，1)模型的波動率預(yù)測效果較好。本研究在研究滬深300股指期貨的短期中、低頻數(shù)據(jù)時，通過對比多個GARCH模型的赤池信息準則(Akaike information criterion，AIC) 結(jié)果，發(fā)現(xiàn)GARCH(1，1)模型的AIC值最小，模型最優(yōu)。因此，本研究采用GARCH(1，1)模型計算波動率。

2.2 HMM模型

馬爾科夫模型(Markov model，MM) 是由Markov 于1913年提出的統(tǒng)計模型，可利用概率建立隨機時間序列，并用于市場趨勢分析[33]。作為對馬爾科夫模型的一種擴充，隱馬爾科夫模型誕生于20世紀60年代末，其在標準馬爾科夫模型的基礎(chǔ)上，添加了可見狀態(tài)和可見狀態(tài)與隱狀態(tài)之間的概率分布。由于隱馬爾科夫模型的隱狀態(tài)不可觀測，而是需要通過計算觀測向量序列才能得到，每個觀測向量都是通過一些概率密度分布產(chǎn)生各種狀態(tài)表現(xiàn)形式，而一個概率密度分布的狀態(tài)序列可相應(yīng)產(chǎn)生一個觀測向量。因此，隱馬爾科夫模型是一個雙重隨機過程[34]，經(jīng)常用于探測引起某事件發(fā)生的隱藏事件的狀態(tài)和轉(zhuǎn)移概率等相關(guān)信息。隱馬爾科夫模型通過前向-后向算法不斷對樣本進行調(diào)試和迭代，使其能更準確地刻畫波動率的變化狀態(tài)[35]。

在處理狀態(tài)方面，馬爾科夫模型需要主觀設(shè)定狀態(tài)，而隱馬爾科夫模型可以根據(jù)可見狀態(tài)數(shù)據(jù)運用模型進行隱狀態(tài)的客觀分類。郭存芝[36]的研究表明，隱馬爾可夫模型的狀態(tài)變量可以用來描述金融市場的正常波動狀態(tài)和異常波動狀態(tài)，同時不可觀測的狀態(tài)變量能夠?qū)Σ▌拥募郜F(xiàn)象給出很好的解釋。隱馬爾科夫模型的狀態(tài)鏈包括兩條，一條為可見狀態(tài)鏈，一條為隱含狀態(tài)鏈，根據(jù)轉(zhuǎn)換概率和可見狀態(tài)，可以推斷出隱含狀態(tài)的分類?；诖颂匦裕Y(jié)合現(xiàn)有模型能夠觀測到波動率的表現(xiàn)卻不能對波動率的結(jié)構(gòu)突變進行準確判斷的現(xiàn)狀，本研究將隱馬爾科夫模型引入波動率模型，構(gòu)建HMM-GARCH 的組合模型，對中國期貨市場的結(jié)構(gòu)突變特征進行捕捉和刻畫。

具體而言，一個隱馬爾科夫模型可以用一個五元組(S,V,A,B,δ) 表示[37]。

(1)隱藏的狀態(tài)集合

S為隱狀態(tài)集合，S= {s1,s2,…,sN}，并記t時刻的狀態(tài)為qt，qt∈ {s1,s2,…,sN}，si為隱狀態(tài)，1 ≤i≤N，N為隱狀態(tài)數(shù)目。

(2)觀察符號集合

V為所有觀察符號的集合，V= {v1,v2,…,vM}，vk為觀察符號，1 ≤k≤M，M為每一個狀態(tài)的不同符號數(shù)。

(3)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率分布

A為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，A= {ai,j}，ai,j為由一個表現(xiàn)狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪粋€表現(xiàn)狀態(tài)的概率，ai,j=p(qt+1=sj|qt=si)，1 ≤i≤N，1 ≤j≤N，p(·)為條件概率。

(4)i狀態(tài)中可觀察符號的概率分布

B為觀測概率矩陣，B= {bi(k)}，bi(k) 為在隱狀態(tài)為si時對應(yīng)觀察符號為vi的概率，bi(k) =p(ot=vk|qt=si)，1 ≤k≤M，1 ≤i≤N，ot為在t時刻的觀察值。

(5)初始狀態(tài)概率分布

δ為初始狀態(tài)概率向量，δ= {δi}，δi為初始狀態(tài)為si的概率，δi=p(q0=si)，1 ≤i≤N。

一個隱馬爾可夫模型完全由A、B、δ確定，為了方便，簡記為λ=(A,B,δ)。

2.3 Baum-Welch 算法

本研究采用Baum-Welch 算法解決HMM模型中的參數(shù)估計問題，具體思想是：給定一個觀察序列O，調(diào)整模型參數(shù)λ，使產(chǎn)生觀察序列的概率Prob(O|λ) 最大[38-39]。根據(jù)前向變量和后向變量的定義，推出前向變量和后向變量的混合概率公式為

(4)

其中，t為當前狀態(tài)的時刻，也作為樣本的序號，1 ≤t≤T-1，T為總時間長度，即樣本總數(shù)；αt(i) 為前向變量；βt+1(j) 為后向變量；bj(ot+1) 為j狀態(tài)觀察值為ot+1的概率；ot+1為(t+1) 時刻的觀察值。

實際上，在給定的觀察序列有限時，不存在一個最佳的方法來估計，只能找到某些方法，讓參數(shù)在特定的幾個性能上有較強的優(yōu)勢。Baum-Welch 算法利用遞推的思想，使條件概率局部最大，并得到模型參數(shù)的估計值。具體訓練步驟如下：

定義εt(i,j) 為t時刻狀態(tài)為si、(t+1) 時刻狀態(tài)為sj的概率，εt(i,j) =Prob(qt=si,qt+1=sj|O,λ)。根據(jù)前向 - 后向算法可推出

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

通過隱馬爾科夫模型的訓練，可以得到符合預(yù)期的波動率狀態(tài)的劃分結(jié)果。一方面，證明了本研究將HMM模型引入中國期貨市場波動率研究有利于后續(xù)工作的展開；另一方面，HMM的訓練為對結(jié)構(gòu)突變前后不同狀態(tài)的波動率建模提供了基礎(chǔ)。

3 基于HMM-GARCH 模型的金融市場波動性計算模型

本研究基于隱馬爾科夫-廣義自回歸條件異方差模型研究中國期貨市場波動性，具體研究思路見圖1。以滬深300股指期貨作標的，①通過GARCH模型計算期貨的波動率序列；②利用K均值聚類法對波動率序列聚類得出觀察序列；③根據(jù)HMM模型劃分波動率的狀態(tài)，將不同狀態(tài)對應(yīng)的收益率代入HMM-GARCH 模型中，得到不同狀態(tài)下的波動率；④通過VIX公式計算波動指數(shù)，用該指數(shù)測量市場的波動性。

圖1研究思路
Figure 1Research Method

3.1 HMM-GARCH模型

假定rt為收益率序列，t=1,2,…,T-1，對該序列建立一個隱馬爾科夫模型。

假設(shè)下一個交易日的波動情況只與今天的波動情況有關(guān)，則期貨市場的收益率時間序列服從馬爾科夫過程，將其構(gòu)造成一個馬爾科夫鏈，對其進行模擬。由于波動只能向某一個時刻的下一個時刻進行轉(zhuǎn)移，因此僅使用一步轉(zhuǎn)移概率作為統(tǒng)計特征，即Prob(rt+1|rt)。

(10)

當收益率序列處于j狀態(tài)時，對應(yīng)的觀察值概率矩陣為B，B={bj(k)}，bj(k) =p(rt=vk|qt-1=si)，vk∈ ( -∞, +∞)。本研究模型中假設(shè)觀察值概率分布為高斯分布。初始化分布為δ，δ={δ1,δ2}。

為敘述方便，隱馬爾科夫模型參數(shù)記為λ，λ=(A,B,δ)。本研究將Baum-Welch 算法用于可觀測收益率序列，從而估計模型的未知參數(shù)λ，并通過Viterbi 算法[40]估算各收益率序列對應(yīng)的隱狀態(tài)序列。

建立HMM-GARCH(1，1) 模型。

均值方程為

(11)

條件方差方程為

(12)

本研究運用損失函數(shù)對模型的模擬效果進行評估，進而比較HMM-GARCH 與GARCH 模型所擬合波動率的精確度。損失函數(shù)用來測量波動率模擬值與實際值之間的差距，損失函數(shù)值越小，擬合波動率越接近實際波動率。由于實際波動率未知，因此本研究使用近似收益率替代實際波動率進行比較[41]。用到的兩個損失函數(shù)為

(13)

(14)

其中，MAD為平均絕對誤差，MSE為平均平方誤差。

3.2 基于HMM-GARCH 模型的VIX計算

基于FERNANDES et al.[42]提到的VIX指數(shù)計算方法，本研究將HMM-GARCH 模型中得出的預(yù)測波動率放大100倍，并且對近月波動率和次近月波動率進行加權(quán)平均，計算距到期日時間為30天的加權(quán)平均波動率指數(shù)。

VIX指數(shù)計算公式為

(15)

其中，T1為數(shù)據(jù)樣本中各月的近月合約交割時間在1年中所占比例，T2為數(shù)據(jù)樣本中各月的次近月交割時間在1年中所占比例。根號中第1項為近月波動率，記為VIX1；第2項為次近月波動率，記為VIX2。

(1)NT和U的單位都是分鐘。NT30為30天的總分鐘數(shù)，具體為30天 ×24小時 ×60分鐘；NT365為1年中的總分鐘數(shù)，具體為365天 ×24小時×60分鐘；U1為當前時間距離近月交割時間所剩的分鐘數(shù)；U2為當前時間距離次近月交割時間所剩的分鐘數(shù)。

(2)R為指數(shù)期權(quán)合約剩余到期時間在1年中所占比例。計算公式為

(16)

其中，M當天為當前時間到24點剩余的分鐘數(shù)；M到期日為從到期日的0點到到期日上午8點30 分的分鐘數(shù)；M其他時間為從今天24點到到期日當天0點的分鐘數(shù)。另外，為了避免由于距離交割時間過近出現(xiàn)異常波動，影響所得指數(shù)的準確性，要求當前時間距離近月交割時間必須滿足至少7天，若到期日不足7天，則近月和次近月均往后順移，即以次近月的交割時間距離作為近月交割時間距離，以此類推。

通過計算每日波動率指數(shù)得到代表一段時間內(nèi)期貨市場波動性的指數(shù)序列，并形成波動走勢圖，以波動走勢圖為一段時間內(nèi)標的價格走勢、波動情況的參考。

4 實證分析

4.1 數(shù)據(jù)描述

本研究選擇中國金融期貨交易所推出的滬深300股指期貨作為標的指數(shù)，選取在2015年5月至2016年4月交易日中的每小時收盤價共1 225個數(shù)據(jù)作為數(shù)據(jù)樣本，按30個交易日為時間窗口，分別計算滬深300股指期貨在該時間段內(nèi)每月的近月波動率指數(shù)。滬深300股指期貨的編制目標是準確有效地反映中國金融市場價格波動的情況以及整個金融市場的運行情況，是能夠較全面地反映中國A股整體走勢的指數(shù)[43]。相關(guān)研究表明，滬深300股指期貨走勢與滬深300指數(shù)相關(guān)程度高，對市場信息的反應(yīng)更迅速，并且300股指期貨領(lǐng)先滬深300指數(shù)[44-46]。因此，以滬深300股指期貨合約作為未來市場波動預(yù)測指標的計算依據(jù)具有一定的理論意義和現(xiàn)實意義。

4.2 統(tǒng)計特性分析

本研究探究期貨每日收盤價對應(yīng)的收益率的分布函數(shù)，為波動性計算奠定基礎(chǔ)。考慮到正態(tài)分布的普遍性和可行性，假設(shè)收益率符合正態(tài)分布。

計算偏度、峰度和J-B統(tǒng)計量，這3個統(tǒng)計量在很大程度上反映收益率是否呈正態(tài)分布，結(jié)果見表1。

表1 數(shù)據(jù)樣本的描述性統(tǒng)計Table 1 Descriptive Statistics for Data Sample

本研究繪制滬深300股指期貨樣本數(shù)據(jù)的對數(shù)收益率走勢圖，見圖2。由圖2可知，收益率序列在一段時間內(nèi)波動較小，在某些時刻波動較大，說明收益率序列具有聚集性，不符合正態(tài)分布。

圖2 對數(shù)收益率走勢圖Figure 2 Trend Chart of Logarithmic Return

殘差平方值可以對ARCH效應(yīng)進行檢驗，如果殘差序列不存在ARCH效應(yīng)，自相關(guān)系數(shù)(AC)和偏自相關(guān)系數(shù)(PAC)在所有的滯后階數(shù)均為0，且Q統(tǒng)計量也不顯著；否則說明序列中存在ARCH效應(yīng)。表2給出2015年5月至2016年4月滬深300股指期貨交易日每小時收盤價對數(shù)收益率的殘差平方情況。

由表2可知，AC、PAC值不為0且Q統(tǒng)計量顯著，因此收益率序列具有ARCH效應(yīng)，可以應(yīng)用GARCH模型。

4.3 GARCH

1987年，為解決時間序列定階問題，赤池弘次提出赤池信息準則(AIC)[47]，模型的該值越小，表明該模型對數(shù)據(jù)的擬合情況越好。AIC的誕生有效解決了在多個可供選擇的模型中選定最優(yōu)模型的問題[48]。本研究通過對比多個GARCH模型的AIC值，發(fā)現(xiàn)GARCH(1,1)模型更適用于本研究數(shù)據(jù)樣本。對比結(jié)果見表3。

表2 對數(shù)收益率的殘差平方值Table 2 Residual Square of Logarithmic Return

表3 不同模型下的AIC 值Table 3 AIC Value of Different Models

注：L為對數(shù)似然函數(shù)值，括號內(nèi)數(shù)據(jù)為t檢驗值，AIC值取自然對數(shù)。

由表3可知，AIC值隨著滯后階數(shù)的增大而增大，GARCH(1,1)模型的AIC值最小，模型最優(yōu)。因此，本研究運用GARCH(1，1)模型分別計算2015年5月至2016年4月滬深300股指期貨的近月波動率，以2015年5月的近月波動率為例給出計算過程。

取IF1505(交割時間為2015年5月的期貨合約)從2015年4月30日15:15的收盤價到5月15日15:15的收盤價和IF1506(交割時間為2015年6月的期貨合約)從2015年5月18日10:15的收盤價到5月29日15:15的收盤價作為計算5月近月波動率的樣本。其中，取2015年4月29日最后1小時的收盤價計算5月第1個交易日第1個小時的波動率。由于近月合約的交割日為每個月第3個周五，如果離交割日不到7天，近月合約和次近月合約順移，因此5月的近月合約交易價格從5月4日至5月15日取IF1505的交易價格、5月18日至29日取IF1506的交易價格。隨后，對該樣本中的收盤價建立對數(shù)收益率序列，并對該收益率序列去均值化，用去均值化后的收益率序列建立GARCH(1，1)模型，計算得出5月近月的波動率序列。

將收益率導入EViews 8.0 中形成時間序列，在其Method 工具包中選擇GARCH 模型，即可得到GARCH 模型的描述性統(tǒng)計量，見表4。

表4 GARCH模型描述性統(tǒng)計Table 4 Descriptive Statistics of GARCH Model

由表4可知(3)式差分方程為

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4.4 損失函數(shù)的比較

為比較模型與實際樣本的擬合程度，結(jié)合兩種模型估計得出的波動率，通過MAD和MSE兩種損失函數(shù)觀察比較結(jié)果，損失函數(shù)比較結(jié)果見表5。

表5 損失函數(shù)比較Table 5 Comparison of Loss Function

由表5可知，HMM-GARCH 模型的兩種損失函數(shù)值均比GARCH模型的低。損失函數(shù)的數(shù)值越小，代表損失和錯誤越少。通過比較HMM-GARCH 模型和GARCH 模型的MAD和MSE可知，HMM-GARCH 模型對中國期貨市場的波動率預(yù)測更為準確，更能體現(xiàn)實際波動率的變化趨勢。

4.5 波動率的實證計算結(jié)果

本研究取每小時滬深300股指期貨的收盤價作為數(shù)據(jù)，因此將VIX公式的單位變更為小時，基礎(chǔ)公式不變。分別計算數(shù)據(jù)樣本中各月的近月和次近月合約交割時間在一年中所占比例T1和T2，如當前時間為2015年5月4日上午10點15分，則

M當天=當前時間到24點剩余的小時

=24:00-10:15 =13.750小時

M到期日=到期日的0點到到期日上午8:30的小時數(shù)

=8:30-0:00 =8.500小時

M其他時間(近)=今天24點到近月交割時間當天0點的小時數(shù)

=2015年5月15日00:00 -2015年5月4日24:00 =240小時

M其他時間(次近)=今天24點到次近月交割時間當天0點的小時數(shù)

=2015年6月19日00:00 -2015年5月4日24:00 =1 080小時

則

將得到的兩個波動率加權(quán)平均處理，并擴大100倍作為波動率指數(shù)。例如，在2015年5月4日上午10點15分的波動率指數(shù)滿足

根據(jù)上述流程，分別計算本研究滬深300股指期貨數(shù)據(jù)樣本各時段的波動率指數(shù)。

根據(jù)GARCH模型的特性，本研究預(yù)測到的波動率展示的是未來1個小時的波動幅度。圖3給出本研究對滬深300股指期貨波動率指數(shù)的預(yù)測情況，圖4給出滬深300股指期貨實際的價格走勢。觀察圖3可知，本研究預(yù)測滬深300股指期貨將先呈現(xiàn)一段時間的小幅頻繁波動，此后波動幅度加大，而后一段時間內(nèi)波動幅度保持較高水平并呈增長態(tài)勢，最終繼續(xù)轉(zhuǎn)為大幅跳躍性波動。對比兩圖發(fā)現(xiàn)，圖3中的波動率指數(shù)對圖4中的期貨價格波動情況有較好的預(yù)測效果。圖4中的滬深300股指期貨價格在一段時間的小幅波動后快速增長，價格變化區(qū)間增大，而后價格大幅跳水，這與圖3的預(yù)測波動情況相吻合。因此，本研究建立的HMM-GARCH 組合模型是有效可行的，能夠計算出與中國期貨市場走勢相關(guān)的波動率。通過對中國期貨市場波動性的研究，能夠反映期貨投資者對未來期貨市場波動性的預(yù)期，并能起到警示大盤漲跌幅度的作用，對于現(xiàn)貨的走勢預(yù)測也有一定的參考意義。

圖3滬深300股指期貨的波動率指數(shù)
Figure 3Volatility Index of CSI300 Index Futures

圖4 滬深300股指期貨價格走勢圖Figure 4 Price Trend Chart of CSI300 Index Futures

5 結(jié)論

本研究以滬深300股指期貨作標的，將GARCH模型與隱馬爾科夫模型相結(jié)合計算波動率，可規(guī)避GARCH模型本身的缺陷，并利用以隱馬爾科夫模型擬合出的隱狀態(tài)更準確地計算期貨市場波動率。

研究結(jié)果表明，本研究所選數(shù)據(jù)符合GARCH模型的使用條件；通過MAD和MSE兩種損失函數(shù)觀察比較GARCH模型和HMM-GARCH 模型估計得出的波動率，從計算結(jié)果看HMM-GARCH 模型的兩種損失函數(shù)值均比GARCH模型的低，表明HMM-GARCH 模型對中國期貨市場的波動率預(yù)測更為準確，更能體現(xiàn)實際波動率的變化趨勢。此外，基于HMM-GARCH 模型的波動率指數(shù)計算結(jié)果表明，滬深300股指期貨由前期的小幅頻繁波動轉(zhuǎn)為大幅跳躍性波動，此后波動幅度保持較高水平并呈增長態(tài)勢，最終繼續(xù)轉(zhuǎn)為大幅跳躍性波動，該結(jié)果能較好地反映期貨價格的波動情況。

通過對中國期貨市場的研究，本研究創(chuàng)新性地提出以隱馬爾科夫模型和GARCH模型相結(jié)合的方法研究中國期貨市場波動性，為相關(guān)學者研究中國期貨市場波動性提供了新思路。本研究的波動率指標可以為政府、投資者提供市場波動性的客觀量化指標，為政府設(shè)置金融衍生品定價提供決策依據(jù)，為投資者測量市場風險、擇取投機策略、合理配置資產(chǎn)提供參考，有助于培養(yǎng)投資者的投資理性，促進中國期貨市場的繁榮穩(wěn)定發(fā)展。

未來研究可以擴大波動率的計算范圍，以獲得更加客觀的研究成果；還可以檢驗?zāi)Ｐ驮诓煌愋徒鹑谑袌鲋械挠行?，根?jù)檢驗結(jié)果對模型進行適當?shù)耐卣固嵘?，以增加模型的普適性。