王皓

摘 要 線性反饋控制系統(tǒng)的性能主要由閉環(huán)極點(diǎn)決定，通過極點(diǎn)配置可以提高系統(tǒng)的魯棒性。本文提出通過應(yīng)用改進(jìn)的IGPSO化算法進(jìn)行線性系統(tǒng)魯棒極點(diǎn)配置，對(duì)于條件數(shù)可以直接進(jìn)行非凸問題優(yōu)化計(jì)算，避免擬凸轉(zhuǎn)化。通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了算法的有效性。

關(guān)鍵詞 優(yōu)化算法 魯棒極點(diǎn)配置 粒子群算法

中圖分類號(hào)：O241.8文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

1介紹

粒子群優(yōu)化算法（PSO）是Kennedy和Eberhart于1995年提出的一種模擬鳥群社會(huì)行為的群體搜索算法。然而，PSO存在容易陷入局部最優(yōu)的不足，為了較好的平衡PSO算法的開采能力和搜索能力，利用改進(jìn)的IGPSO算法進(jìn)行問題優(yōu)化。針對(duì)魯棒極點(diǎn)配置問題，文獻(xiàn)[1]提出通過極小化特征向量矩陣譜條件數(shù)的方法實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋魯棒極點(diǎn)配置問題。文獻(xiàn)[2]中分別采用線性矩陣不等式（LMI）方法優(yōu)化條件數(shù)。由于條件數(shù)具有非凸性，以上方法不能保證達(dá)到全局最優(yōu)。本文使用IGPSO進(jìn)行線性系統(tǒng)魯棒極點(diǎn)配置， 避免擬凸轉(zhuǎn)化。

2 IGPSO算法

IGPSO算法針對(duì)粒子群算法容易陷入局部最優(yōu)和收斂速度慢的不足進(jìn)行改進(jìn)。全局最優(yōu)個(gè)體的鄰域中隨機(jī)個(gè)體相對(duì)于確定的全局最優(yōu)個(gè)體更有益于PSO算法跳出局部極值。全局鄰域搜索策略：

其中：c1和c2被分別定義為認(rèn)知因子和社會(huì)學(xué)習(xí)因子， 為擾動(dòng)因子，r1、r2、rand和U（0，1）都為區(qū)間（0，1）上的均勻分布隨機(jī)數(shù)。g表示當(dāng)前迭代次數(shù)，G表示最大迭代次數(shù)。 （g）=a·exp（b·g2）·rand。對(duì)于大多數(shù)粒子群算法的改進(jìn)都是針對(duì)當(dāng)前種群進(jìn)行的，考慮到全局鄰域搜索策略中粒子歷史最優(yōu)和全局最優(yōu)粒子的鄰域的引導(dǎo)作用，為了增強(qiáng)粒子歷史最優(yōu)種群的指導(dǎo)作用，進(jìn)行全局鄰域擾動(dòng)。

3狀態(tài)反饋魯棒極點(diǎn)配置優(yōu)化

狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置問題是指，針對(duì)線性時(shí)不變系統(tǒng)和一組任意給定的期望極點(diǎn)（特征值）1， 2，…， n，其中 i（i=1，2，…n）可以是實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)，尋找非奇特征向量矩陣X∈Rn譶和狀態(tài)反饋增益矩陣K∈Rm譶，使式（A+BK）X=X 成立。魯棒極點(diǎn)配置問題，可以轉(zhuǎn)化為下面的優(yōu)化問題：

魯棒極點(diǎn)配置的具體操作步驟如下：步驟1：輸入--輸入系統(tǒng)矩陣A、B和期望極點(diǎn) 1， 2，…， n。步驟2：矩陣分解--對(duì)控制矩陣B做QR分解，確定U0、U1和Z。步驟3：計(jì)算極點(diǎn) i（i=1，2，…n）對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交基。步驟4：初始化種群和問題變量參數(shù)。步驟5：優(yōu)化求解--根據(jù)IGPSO算法優(yōu)化求解minJ。步驟6 ：輸出--輸出優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)J、特征向量矩陣X和狀態(tài)反饋增益矩陣K。

4實(shí)驗(yàn)

將本文方法與文獻(xiàn)[1]中method1方法、文獻(xiàn)[2]的線性矩陣不等式（LMI）方法作對(duì)比仿真實(shí)驗(yàn)。優(yōu)化對(duì)象為文獻(xiàn)[1，2]中采用的化學(xué)反應(yīng)模型。系統(tǒng)的極點(diǎn)為（1.911，6.351？0-2，-5.057，-8.666），顯然系統(tǒng)是不穩(wěn)定的?，F(xiàn)將系統(tǒng)的期望極點(diǎn)配置為（-0.2，-0.5，-5.0566，-0.232）與文獻(xiàn)[1，2]相同。采用本文提出的IGPSO算法，算法迭代5000次，算法獨(dú)立運(yùn)行30次。得到的最有結(jié)果為條件數(shù)等于3.1565。 本文提出的IGPSO方法與其它文獻(xiàn)經(jīng)典優(yōu)化方法得到的條件數(shù)結(jié)果對(duì)比，文獻(xiàn)[1]的條件數(shù)為3.32，文獻(xiàn)[2]的條件數(shù)為3.2665?？梢钥闯?，采用本文方法得到的條件數(shù)最小，明顯優(yōu)于文獻(xiàn)中的結(jié)果。

5結(jié)束語

本文將IGPSO算法應(yīng)用于線性系統(tǒng)魯棒極點(diǎn)配置問題中，解決了以往條件數(shù)優(yōu)化計(jì)算中需要凸轉(zhuǎn)化處理的不足。仿真實(shí)驗(yàn)表明本章方法所得到的條件數(shù)優(yōu)于Method1， LMI方法，同時(shí)反饋后的閉環(huán)系統(tǒng)具有更好的魯棒性。

參考文獻(xiàn)

[1] Kautsky，J.&N.K.Nichols&P.Van Dooren.Robust pole assignment in linear state feedback[J].International Journal of Control， 1985， 41（05）： 1129-1155.

[2] Rami，M.A.&S.El Faiz&A.Benzaouia，et al. Robust exact pole placement via an LMI-based algorithm[J].IEEE Transactions on Automatic Control， 2009， 54（02）：394-398.