薛秋萍

背景描述

專題研究課是初中數學教學的重要課型之一，是教學過程中不可或缺的重要部分。專題復習既能夠系統(tǒng)地加深學生對所學知識的理解和記憶，又可以對前面學習中遺漏的知識進行填補和完善。所以說，高質量的專題復習課可以促進學生各種能力的發(fā)展。

在以往的觀課中，我發(fā)現很多教師所開設的專題復習課卻是習題課。課堂上，學生們埋頭題海，老師也僅是陪練而已。一節(jié)課下來，會做的再做了一遍，不會的仍然不會。那么如何設計專題復習課，讓專題課真正起到應有的作用呢？

我在學生學習圖形相似的基礎上，開設了一堂“動點運動形成有一個大小不變角的三角形的研究”的展示課。教學的定位是“辨析清楚研究對象，突出方法重選擇，滲透思想提能力”，創(chuàng)新的設計過程、豐富的學生活動，催生了精彩的數學課堂，取得了良好的教學效果，受到了觀課老師的一致好評。

過程展示

師生對話辨析對象

（PPT展示）已知，如圖在Rt△ACB中，∠ C=90°，AC=4cm，BC=3cm，點 P由 B出發(fā)沿 BA方向向點 A勻速運動，速度為 1cm/s;點 Q由 A出發(fā)沿 AC方向向點 C勻速運動，速度為 2cm/s.若 P、Q同時出發(fā)，運動的時間為t（s）（0

大小不變角？生：△APQ，△BCP，△ APC師：為什么要強調“大小”不變？生：說明跟位置無關，只要確保大小不變即可。師：本節(jié)課，我們研究的對象就是△APQ，△BCP，△ APC這樣的有一個大小不變角的三角形。合作探究編制問題師：回憶一下，學習至今，我們對三角形的研究有哪些內容？生：三角形的相似、三角形的現狀（等腰三角形、直角三角形）。師：很好，還有其他補充嗎？生：三角形的面積、周長、三角形的邊、角等。師：現在，我們以△ APQ為研究對象，補充完整問題。在點P、Q在運動過程中，當 t為何值時，以點A、P、Q為頂點的三角形 .（獨立思考、組內合作、代表發(fā)言）生：在點P、Q在運動過程中，當 t為何值時，以點A、P、Q為頂點的三角形與△ ABC相似？是直角三角形？是等腰三角形？的面積等于△ ABC面積的一半？ ……

師：同學們，集合全班智慧，圍繞三角形的邊角及其現狀，編制了非常多的問題。下面請同學們以小組為單位一起解決上述問題。

梳理知識構建方法

師：同學們在解決上述編制的問題中，你們覺得有困難的是哪個問題？

生：（3）根據問題△ APQ是等腰三角形，因為不明確哪兩條邊相等，所以我們對△ APQ的邊進行分類，但是只會做AP=AQ，其他兩種沒有做出來。

師：很好，請坐。那么其他組有做出來的嗎？

生：我們組過點 P作 PH ⊥ AC，借助相似算出 PH，AH，再求出 QH，進而利用勾股定理求出 PQ，根據等腰三角形的性質三邊兩兩相等，構建三個方程，從而求出 t的值。

師：這位同學實質是借助代數方法，先利用勾股定理算出△ APQ的三邊，然后依據三邊兩兩相等，構建三個方程，但是過程比較艱難。有不同的而且更有效的方法嗎？

生：當 AQ=PQ時，我們組過 Q作 QH ⊥AB，利用等腰三角形三線合一得出 AH，進而利用△ AQH ∽△ ABC的比例線段構建方程，求出 t的值。當 AP=PQ，同理可求出t。

師：抓住△ AQP的不變角∠ A，利用等腰三角形三線合一的性質，尋找相似，構建方程，順利解決。非常簡潔，漂亮！

師：請同學們談談“解題之道”。

學生適當交流，形成以下共識：解決有一個大小不變角的三角形的相關問題的時候，抓牢這個不變角，尋找相似或者作垂直構建相似來解決。

師：同學們在解題過程中可謂左右逢源，體現了方法選擇的價值。下面，請同學們選擇有效的方法解決老師給出一些變式問題，進而感悟問題變式的本質。

選擇方法感悟變式

（PPT展示）

（1）當

t為何值時，PQ ∥BC.

（2）當

t為何值時，PQ ⊥BA.（3）如圖，以AQ、PQ為邊作平行四邊形AQPD，①當 t為何值時，平行四邊形 AQPD為矩形？②當 t為何值時，平行四邊形 AQPD為菱形？師：請同學們談談解決以上問題的策略。生：問題（1）（2）先畫圖定位，抓住不變角，易

找到相似三角形，從而求解。（3）利用特殊四邊形的性質，很容易得出△ APQ的相關性質。如平行四邊形AQPD為矩形，即 PQ ⊥ AC;平行四邊形 AQPD為菱形，即 PQ=AQ.

師：分析到位，感悟頗深。同學們在解題過程中，盡量做到以下三點：知識聯想——性質的合理選擇;思路調控——方向的準確選擇;思維引領——方法的靈活選擇。

師（結束語）：本節(jié)課，我們以師生合作交流的方式共同探究了動點運動形成有一個大小不變角的三角形的研究的有關問題，大家充分地體會到研究問題的一般方法，同時感悟到解決數學問題，知識是基礎，思想是靈魂，方法是核心。解決問題時，我們要善用數學思想方法作為指導，根據給出的問題條件，靈活地、恰當地選擇方法來解決問題。在數學學習過程中，希望同學會反思會總結，會探索會研究，以此提高學習效果，實現自我夢想和追求。

教學感悟

以問題編制為主要形式，在問題的設計中構建完備知識網絡

數學大師華羅庚告誡學生讀書有兩個過程，第一個過程是“由薄到厚”，第二個過程是“由厚到薄”，專題復習課就是這里的“薄”，學生不再是一無所知，而是已經知道，且知道得十分精煉。專題復習課離不開題，但要把解題和知識梳理結合起來，為復習服務。

本節(jié)課，筆者在環(huán)節(jié)二設計了活動——合作探究編制問題，讓學生在編制問題的同時自行梳理三角形的相關知識點、提煉方法、滲透思想，實現知識結構自我完善和方法體系的自我建構。

以解決問題為主要策略，在方法的選擇中提升數學解題能力

動點問題的研究要善于“察題觀圖”，依據研究的圖形特征去靈活地選擇解題方法，進而避免計算走彎路。如“在點 P、Q在運動過程中，當 t為何值時，以點 A、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形？”的求解過程中，很多同學利用代數法把三角形三邊先用 t表示出來，再根據等腰三角形的性質三邊兩兩相等，構建三個方程。這種方法理論上可行，但是由于計算過程過于繁瑣，導致學生最終半途而廢。歸其原因是學生形成了代數法求動態(tài)等腰三角形的思維定勢。其實，觀察△ APQ的變化特點，抓住∠ A的不變性，構造相似，這樣思路更自然。

在解題的十字路口，教師要引導學生停下腳步，細心觀察研究對象，深思熟慮后，再作出最優(yōu)化的解題的方向。在遇到一題多解時，要引導學生對方法特點作出恰如其分的評判。在教學中，教師要給學生搭建開放性思維平臺，充分調動學生的積極性，促進他們相互啟發(fā)，活躍思維，

最終歸納出一些解題的策略。

以問題變式為主要手段，在思想的滲透中培養(yǎng)思維品質

數學思想方法對指導數學解題的作用是不可低估，其培養(yǎng)不是老師在課堂總結時強調一下就能輕松實現的，而是需要老師將其無時無刻滲透在解決問題的整個過程中。課堂上，對解題思路的分析、對解題方法的探尋，既要體現數學思想方法的引領作用，又要體現數學思想方法的指導價值。對于動點運動形成有一個大小不變角的三角形的研究，其基本思想方法是“統(tǒng)一”，其基本思路是借助相似，將已知條件和待求結論統(tǒng)一到邊的關系上或統(tǒng)一到角的關系上，再借助相關的公式來解決，或通過作輔助線，構造三角形相似，實現問題的“轉化”。

在教學中，筆者根據幾何圖形的性質特點靈活變式問題，既可以提高學生對題目的敏感度，又可以幫助學生養(yǎng)成良好的解題和學習習慣。此舉措有效地提高了學生的分析問題和解決問題的能力，進而提升了學生的數學素養(yǎng)。

綜上，專題研究課的有效性研究是一個需要不斷探索、研究和完善的課題，活動過程的設計、典型例題的精選、問題變式的深遠、策略方法的總結等等都是十分重要的教學環(huán)節(jié)。因此，教師在上專題復習課前，既要圍繞復習內容的重點和難點，結合教材內容精心設計教學活動，以例題為載體展開教學，進而幫助學生梳理知識結構，建立方法網絡;同時又要指導學生學會恰當選擇解題方法，引導學生體會知識的發(fā)生、發(fā)展過程，進而提高學生的數學思維水平。只有這樣，學生才能脫離題海，走向研究，學會學習，而我們的課堂才會精彩靈動、本真高效。

（太倉市第二中學）