張 昆

（淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000）

為了研究學(xué)生發(fā)生數(shù)學(xué)知識(shí)認(rèn)識(shí)心理活動(dòng)過程的不同層面，我們首先區(qū)別“觀念性問題”與“技術(shù)性問題”這兩個(gè)概念?！坝^念性問題”是指數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)發(fā)展中需要具有萌生新的數(shù)學(xué)觀念的創(chuàng)新活動(dòng)，才能解決的問題，例如，伽羅華在解決一般性五次或五次以上的高次方程時(shí)，摒棄了求索公式解的觀念而引入置換群的觀念；相對(duì)于“觀念性問題”而言的則是“技術(shù)性問題”，它的基本特點(diǎn)是在已經(jīng)形成的數(shù)學(xué)觀念指令之下需要處理問題確定的具體環(huán)節(jié)的操作性手段的問題，因此，“技術(shù)性問題”只是為了解決“觀念性問題”而派生出來的問題。[1]由此分析，我們認(rèn)識(shí)到，這兩類問題層次不可同日而語。那么，在數(shù)學(xué)教學(xué)準(zhǔn)備工作中，如何設(shè)置處理“觀念性問題”與“技術(shù)性問題”之間的關(guān)系，才能提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性呢？

一、整合設(shè)置“觀念性問題”與“技術(shù)性問題”取向的課例

由于數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)性特點(diǎn)，導(dǎo)致了結(jié)構(gòu)鏈條中的每一個(gè)環(huán)節(jié)（具體的知識(shí)點(diǎn)）在這個(gè)結(jié)構(gòu)中總是處于前一個(gè)知識(shí)點(diǎn)與后一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的中間環(huán)節(jié)與中介的地位，因此，每一個(gè)具體的知識(shí)點(diǎn)在它結(jié)構(gòu)鏈條中都相應(yīng)地發(fā)揮了自己的作用。在一個(gè)具體的知識(shí)鏈條所生成的結(jié)構(gòu)中，當(dāng)從一個(gè)低層次環(huán)節(jié)向一個(gè)高層次環(huán)節(jié)躍進(jìn)時(shí)，如果這兩個(gè)環(huán)節(jié)差距甚大，需要產(chǎn)生新的觀念（例如，前述的“公式解”與“置換群”的關(guān)系），此時(shí)，就一定會(huì)產(chǎn)生“觀念性問題”，如果躍進(jìn)的環(huán)節(jié)差距很小，那就只是產(chǎn)生“技術(shù)性問題”。在關(guān)于某個(gè)具體的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的課堂教學(xué)活動(dòng)中，教師依據(jù)自己精準(zhǔn)把握知識(shí)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，相應(yīng)地設(shè)置合適的“觀念性問題”與“技術(shù)性問題”，并將這兩者整合成問題體系，對(duì)于在課堂學(xué)習(xí)中促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的有效性起著重要的作用。下面請(qǐng)看“弧度制”概念教學(xué)的課堂活動(dòng)的例子。

[環(huán)節(jié)一]

師：在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的相關(guān)概念內(nèi)容，你還記得那些具體的三角函數(shù)嗎？

生1：sin20°，cos30°，tan40°等都是三角函數(shù)。

師：很好！我們?cè)诒匦?中，學(xué)習(xí)過了函數(shù)的定義，這個(gè)函數(shù)定義的幾個(gè)關(guān)鍵性環(huán)節(jié)內(nèi)容是什么？

生2：有兩個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)。一是集合A、B都是非空數(shù)集，二是按照某種對(duì)應(yīng)法則f，對(duì)于A中的每一個(gè)元素，在B中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)。

師：很好！按照必修1中函數(shù)定義，sin20°，cos30°，tan40°還能稱之為三角函數(shù)或者函數(shù)嗎？

生3：不能再稱之為函數(shù)了，當(dāng)然更不能稱之為三角函數(shù)。這是因?yàn)椋@里面的20°，30°，40°不是數(shù)，而是表示角度的量，因此，不滿足必修1中函數(shù)定義中所要求的集合A中的數(shù)的概念。

師：怎么辦？

[環(huán)節(jié)二]

師：大家想一想，要使初中的三角函數(shù)定義仍然滿足于高中的函數(shù)定義，我們要做怎樣的處理？

生4：要想繼續(xù)使用三角函數(shù)這個(gè)概念，我們就必須要對(duì)初中借助于直角三角形所定義的三角函數(shù)中的自變量進(jìn)行改造，使這個(gè)角度制的計(jì)量角的單位轉(zhuǎn)化為另一種計(jì)量角的單位，在這個(gè)單位下，任意一個(gè)角都變成為數(shù)的表達(dá)而不是量的表達(dá)，就可以達(dá)到目的了……

師：講得非常好！生4同學(xué)已經(jīng)點(diǎn)出了問題的關(guān)鍵點(diǎn)，即要構(gòu)造出一個(gè)計(jì)量角度的新的單位制，在這個(gè)計(jì)量角的單位制下，每一個(gè)角都可以用一個(gè)數(shù)來衡量，而不是使用量來衡量。那么，如何進(jìn)行具體的技術(shù)上的改造？

生：……

[環(huán)節(jié)三]

師：這就是如何合理地找出計(jì)量角的角度制單位方法的一個(gè)“替身”（替代方案），最容易想到的這個(gè)“替身”是什么？

生5：回到產(chǎn)生計(jì)量角的角度制單位的源頭上來，它是以周角為基礎(chǔ)的，其單位“一度的角”是一個(gè)周角的的那個(gè)量值。我想，周角恰好對(duì)應(yīng)的是一個(gè)圓周，假定我們?nèi)我馊∫粋€(gè)圓，其半徑為γ，那么，就可以采用一度的角所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)，這些弧長(zhǎng)是相等的，都是，因此，我們可以將這段弧長(zhǎng)作為單位來度量角，即這段弧長(zhǎng)所對(duì)應(yīng)的角就是一度的角。但是，我的想法還是講不清楚。

師：生5的想法非常好！成功地找到了使用角度制計(jì)量角的一個(gè)“替身”，其實(shí)已經(jīng)解決了概念性的問題，剩下的只是技術(shù)性的問題了，現(xiàn)在只是需要對(duì)這個(gè)“替身”加以進(jìn)一步地改進(jìn)。那么，如何改進(jìn)？

師：大家仔細(xì)地審察生6同學(xué)的想法及其在執(zhí)行這些想法時(shí)所產(chǎn)生的結(jié)果是否嚴(yán)謹(jǐn)？

[環(huán)節(jié)四]

師：怎么辦？

生8：不需要有生6的單位圓的假設(shè)條件。我這樣來考慮，將一度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)除以半徑γ，得，這個(gè)比率就是一個(gè)抽象的數(shù)，這是因?yàn)橥麛?shù)除以同名數(shù)為一個(gè)不名數(shù)。這個(gè)數(shù)在量上對(duì)于它的幾何解釋是，單位圓中一度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)，但是，由前面的解釋可知，實(shí)際上它是一個(gè)數(shù)，而不是需要帶單位的量了。

生9：這只要倒過來想就行了，我們?nèi)A周上的弧長(zhǎng)為半徑，將它所對(duì)應(yīng)的圓周角定義為一個(gè)單位，問題就解決了。

師：經(jīng)由大家的努力，這個(gè)計(jì)量角的新的單位及由其所決定的單位制終于找到了。我們需要將它加以規(guī)范性表達(dá)，數(shù)學(xué)家已經(jīng)給這個(gè)單位起了一名字，叫作1弧度，那么，我們?nèi)绾味x這個(gè)單位呢？

[環(huán)節(jié)五]

生10：我們把長(zhǎng)度等于半徑的弧所對(duì)的圓心角叫作1弧度。（余下的教學(xué)環(huán)節(jié)略）

針對(duì)課堂上所呈現(xiàn)的學(xué)生學(xué)習(xí)弧度制概念這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的活動(dòng)過程，我們據(jù)此探討兩方面的問題：其一，具有怎樣的特色？其二，推動(dòng)學(xué)生發(fā)生弧度制概念這個(gè)知識(shí)點(diǎn)認(rèn)識(shí)的思維活動(dòng)的動(dòng)力源自于何處？依據(jù)這兩方面問題，我們對(duì)這種課堂活動(dòng)過程展開相應(yīng)的分析。

二、這節(jié)課的教學(xué)環(huán)節(jié)過程及其形成的教學(xué)特色

我們將這節(jié)課課堂活動(dòng)過程劃分為五個(gè)環(huán)節(jié)，其中的[環(huán)節(jié)二]的任務(wù)就是依據(jù)準(zhǔn)確地揭示知識(shí)結(jié)構(gòu)鏈條躍升環(huán)節(jié)的關(guān)鍵性節(jié)點(diǎn)，經(jīng)由教學(xué)設(shè)計(jì)的手段，即通過[環(huán)節(jié)一]的過渡，將其成功地轉(zhuǎn)化為在課堂上啟發(fā)學(xué)生自然而然地提出這節(jié)課需要解決的“觀念性問題”，具體說來，就是“要構(gòu)造出一個(gè)計(jì)量角度的新的單位制，在這個(gè)單位制下，每一個(gè)角都可以用一個(gè)抽象的數(shù)來衡量”。這個(gè)“觀念性問題”構(gòu)成了這節(jié)課主導(dǎo)性問題，它不僅是這節(jié)課（“這出戲”）的開場(chǎng)鑼鼓，而且也是這節(jié)課（“這出戲”）的本身，從而決定了這節(jié)課的節(jié)奏與情節(jié)——幾個(gè)小高潮（中間過渡性問題的關(guān)鍵性節(jié)點(diǎn)）所組成，并且規(guī)劃了推進(jìn)這一節(jié)課課堂上學(xué)生思維活動(dòng)的行進(jìn)方向。[2]由此而形成了這節(jié)課課堂活動(dòng)展開的內(nèi)在規(guī)定性的基礎(chǔ)。

要解決這個(gè)“觀念性問題”，學(xué)生就會(huì)立即意識(shí)到要找到相應(yīng)的具體方法，他們通過審視這個(gè)“觀念性問題”的特點(diǎn)，仔細(xì)分析問題的癥結(jié)所在，就會(huì)自覺地提出應(yīng)對(duì)這個(gè)“觀念性問題”的某些“技術(shù)性問題”，使學(xué)生數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)中的具體知識(shí)借助于這些“技術(shù)性問題”可以運(yùn)用于解決這個(gè)“觀念性問題”中去。如此，[環(huán)節(jié)三]也就自然而然地產(chǎn)生了。相對(duì)于[環(huán)節(jié)二]的“觀念性問題”而言，[環(huán)節(jié)三]則是“技術(shù)性問題”，正如數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)層次性一樣，高一層次是“觀念性問題”，則低一層次就是“技術(shù)性問題”，對(duì)于更低一級(jí)層次來說，前一個(gè)層次的“技術(shù)性問題”又轉(zhuǎn)化成了新的“觀念性問題”。這就是“觀念性問題”與“技術(shù)性問題”具有相對(duì)性，這是針對(duì)具體知識(shí)結(jié)構(gòu)鏈條所產(chǎn)生的解決問題時(shí)解題主體心理層次而言的。

我們要解決[環(huán)節(jié)三]中提出的“技術(shù)性問題”，又需要有新觀念的引入，因此，對(duì)于解決這種“技術(shù)性問題”的以下層次來說，它就又上升為“觀念性問題”。學(xué)生通過對(duì)數(shù)學(xué)化信息的理解，發(fā)現(xiàn)與第一個(gè)層次必須要改造初中三角函數(shù)定義結(jié)構(gòu)時(shí)需要新的數(shù)學(xué)觀念一樣，萌生解決這個(gè)問題的行為指令的新數(shù)學(xué)觀念，即“采用一度的角所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)作為單位來度量角的單位”，進(jìn)而基于這種“觀念性問題”，通過進(jìn)一步分析，這種新觀念所產(chǎn)生的新單位制沒有對(duì)于角度制的實(shí)質(zhì)性改變（只是將初中時(shí)的以“度”為基準(zhǔn)單位轉(zhuǎn)化為以“米”為基準(zhǔn)單位而已），于是，又產(chǎn)生了新的“技術(shù)性問題”，那就是“如何去掉以弧長(zhǎng)作為角度單位而將弧長(zhǎng)這個(gè)長(zhǎng)度單位改造成一個(gè)純粹的數(shù)作為計(jì)量角的單位呢？”[環(huán)節(jié)三]沒有解決這個(gè)問題，它作為“觀念性問題”自然而然地進(jìn)入[環(huán)節(jié)四]，此時(shí)，問題的關(guān)鍵點(diǎn)已經(jīng)非常具體非常明確了。

為了解決[環(huán)節(jié)三]所產(chǎn)生的“觀念性問題”（相對(duì)于[環(huán)節(jié)二]所提出的“觀念性問題”而言），[環(huán)節(jié)四]就是要生成駕馭這個(gè)問題的新觀念，即“將一度的角所對(duì)的圓弧長(zhǎng)與這個(gè)圓的半徑的比值作為計(jì)量角的單位”，如此，解決了[環(huán)節(jié)三]所產(chǎn)生的那個(gè)層次上的“觀念性問題”，原則上說，[環(huán)節(jié)二]所提出的“觀念性問題”已經(jīng)（經(jīng)由[環(huán)節(jié)三]上升成的新“觀念性問題”）得到了完滿地解決。接著所提出的“將這個(gè)計(jì)量角的新單位化為1”的“技術(shù)性問題”，這是真正的“技術(shù)性問題”，直接解決就行了。[環(huán)節(jié)五]成功地探究整個(gè)問題解決得到了結(jié)論。

由上述的詳盡分析，可以認(rèn)識(shí)到，這種課堂活動(dòng)的特色主要體現(xiàn)于兩方面：其一，自然性。筆者啟發(fā)學(xué)生提出“觀念性問題”，后來一系列的“技術(shù)性問題”就無須再制造認(rèn)知沖突而自自然然地次第產(chǎn)生了，如此，將學(xué)生的心理注意力僅僅聚焦于這些次第發(fā)生的一系列問題上，教師已經(jīng)無須做出特別的提示，學(xué)生發(fā)生弧度制知識(shí)的認(rèn)識(shí)過程自然流暢，水到渠成。其二，情節(jié)性。筆者在啟發(fā)學(xué)生提出“觀念性問題”后，學(xué)生產(chǎn)生新問題的幾個(gè)關(guān)鍵性節(jié)點(diǎn)便次第出現(xiàn)了，每一個(gè)節(jié)點(diǎn)的產(chǎn)生與解決，構(gòu)成這節(jié)課的鮮明具體的情節(jié)，正是這種情節(jié)性推動(dòng)了這節(jié)課的探究活動(dòng)的發(fā)展，學(xué)生的思維活動(dòng)生機(jī)勃勃，卻又秩序井然，形成這節(jié)課的緊湊結(jié)構(gòu)。

推動(dòng)學(xué)生思維活動(dòng)的動(dòng)力，源自于次第地產(chǎn)生必要且合適的問題，合適的問題的產(chǎn)生則是源自于學(xué)生發(fā)生弧度制認(rèn)識(shí)時(shí)所造成的強(qiáng)烈心理認(rèn)知沖突，認(rèn)知沖突的設(shè)置又來源于筆者對(duì)于弧度制這個(gè)知識(shí)點(diǎn)在整個(gè)結(jié)構(gòu)鏈條中的地位的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，這是由這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的宏觀與微觀結(jié)構(gòu)內(nèi)在規(guī)定的。筆者通過教材分析，認(rèn)識(shí)到這種知識(shí)結(jié)構(gòu)的內(nèi)在規(guī)定性，所以成功地創(chuàng)設(shè)了問題情境（利用知識(shí)結(jié)構(gòu)），啟發(fā)學(xué)生首先提出了“觀念性問題”，在這個(gè)“觀念性問題”的統(tǒng)率下，其他“技術(shù)性問題”（必要時(shí)上升為“觀念性問題”）也就應(yīng)運(yùn)而生了，正是這次第生成的合適問題，推動(dòng)了學(xué)生次第做出有價(jià)值的思考，從而成功地發(fā)生弧度制這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)。

由此我們對(duì)課堂教學(xué)活動(dòng)產(chǎn)生了新的理解，教學(xué)是一門藝術(shù)，有多少好教師就會(huì)產(chǎn)生多少種具體示范的教學(xué)方法，這些方法不可能有一種固定的抽象程式讓所有的教師執(zhí)行就能得到好的教學(xué)效果。教學(xué)藝術(shù)是憑借教師的個(gè)性技巧、意愿、體悟、想象力、經(jīng)驗(yàn)等因素的融合與平衡，在實(shí)踐中分享他人的美的感覺而發(fā)生的，而很難通過教師講授就能獲得，它是一個(gè)領(lǐng)悟、反思與實(shí)踐相互作用的過程?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)理念提倡“以人為本”，這就要求教師在設(shè)計(jì)、實(shí)施課堂教學(xué)方案或組織各類教學(xué)活動(dòng)時(shí)，要站在學(xué)生的心理立場(chǎng)思考問題，要不斷地對(duì)自己提問：這樣教學(xué)能引導(dǎo)學(xué)生積極參與教學(xué)過程嗎？能讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)價(jià)值嗎？能使學(xué)生愿意學(xué)，喜歡學(xué)，對(duì)數(shù)學(xué)感興趣嗎？[3]

三、“觀念性問題”與“技術(shù)性問題”的關(guān)系及其教學(xué)中的整合

為了從這節(jié)課現(xiàn)實(shí)課堂活動(dòng)中總結(jié)出關(guān)于某個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)教學(xué)準(zhǔn)備工作的經(jīng)驗(yàn)，我們從這節(jié)課的特色與推動(dòng)學(xué)生思維活動(dòng)動(dòng)力來源這兩方面窺視出，在教學(xué)準(zhǔn)備工作中，關(guān)鍵之處，在于經(jīng)由“教材分析”的成果，聚焦于處理好“觀念性問題”與“技術(shù)性問題”兩者之間的關(guān)系?！坝^念性問題”對(duì)于“技術(shù)性問題”具有統(tǒng)率作用，“觀念性問題”是“技術(shù)性問題”之源，“技術(shù)性問題”是“觀念性問題”之流，但是，“技術(shù)性問題”又可以反作用于“觀念性問題”。從課例中可以發(fā)現(xiàn)，為了解決“觀念性問題”的目標(biāo)，一系列的“技術(shù)性問題”便因各自所需而自然而然地產(chǎn)生了。

“觀念性問題”與“技術(shù)性問題”具有相對(duì)性，這是由數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)層次的相對(duì)性所決定的，對(duì)于高一層次來說是“技術(shù)性問題”而對(duì)于低一層次來說可能成為“觀念性問題”。從這節(jié)課課堂活動(dòng)中，我們明顯地可以體悟這兩類問題之間的轉(zhuǎn)化及其條件。在稍微復(fù)雜一點(diǎn)的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)中，正是這種“觀念性問題”與“技術(shù)性問題”在某種條件下的不斷轉(zhuǎn)化，形成了問題序列，這種問題序列中所確定的具體問題，不斷地提供學(xué)習(xí)主體的思維展開的動(dòng)力，形成了課堂活動(dòng)的層次性的情節(jié)。

通過這個(gè)具有一般性的課例發(fā)現(xiàn)，“觀念性問題”與“技術(shù)性問題”及其關(guān)系的揭示，對(duì)于我們做好課堂教學(xué)的準(zhǔn)備工作具有重要意義。從教學(xué)目標(biāo)上看，“觀念性問題”是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的重頭戲，因?yàn)?，?chuàng)新就是當(dāng)我們面臨相關(guān)要解決的問題信息時(shí)，首先要產(chǎn)生駕馭信息的新觀念，在這種新觀念的指令下，產(chǎn)生具體的操作手段（“技術(shù)性問題”），因此，產(chǎn)生新觀念是創(chuàng)新的源頭。這就決定了在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，刺激學(xué)生萌生“觀念性問題”是非常重要的。這啟示我們要做好以下幾點(diǎn)：

其一，在關(guān)于某個(gè)知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)準(zhǔn)備工作中，教師一定要仔細(xì)分析具體數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)性特點(diǎn)，認(rèn)真地準(zhǔn)備好在課堂現(xiàn)場(chǎng)中啟發(fā)學(xué)生提出一節(jié)課中的“觀念性問題”的材料，如果教師找不到途徑啟發(fā)學(xué)生提出“觀念性問題”，也可以直接地向?qū)W生提出“觀念性問題”，因?yàn)椋绻阎v一節(jié)課比作是一盤棋的話，那么，“觀念性問題”就是盤活這盤棋的“棋眼”所在。

其二，整合“觀念性問題”與“技術(shù)性問題”，這要求教師在課堂上應(yīng)該把握住某些環(huán)節(jié)中的“技術(shù)性問題”需要上升為“觀念性問題”的關(guān)節(jié)點(diǎn)。在利用數(shù)學(xué)資源培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新活動(dòng)時(shí)，“觀念性問題”是決定性的，由于“技術(shù)性問題”在一定條件下可以轉(zhuǎn)化為“觀念性問題”，因此，我們可以將課堂活動(dòng)過程中的創(chuàng)新分為兩個(gè)層次——主體性創(chuàng)新與從屬性創(chuàng)新。奠定課堂活動(dòng)基調(diào)的“觀念性問題”屬于主體性創(chuàng)新，而那些為了實(shí)現(xiàn)總體創(chuàng)新而產(chǎn)生的“技術(shù)性問題”又轉(zhuǎn)化為下一層次的“觀念性問題”就是屬于從屬性創(chuàng)新。創(chuàng)新由生成新觀念始，而以問題解決終。

四、結(jié)語

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)所要求的數(shù)學(xué)知識(shí)相對(duì)固定，但是，通過何種手段來傳授已經(jīng)設(shè)定了的數(shù)學(xué)知識(shí)，卻非固定不變。它隨著教師所持有數(shù)學(xué)教學(xué)觀念不同，挖掘出的數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)價(jià)值不同，預(yù)設(shè)的課堂教學(xué)目標(biāo)不同，獲得的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)不同，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)性質(zhì)的理解不同，對(duì)學(xué)生發(fā)生具體數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)心理活動(dòng)過程揣測(cè)的擬合程度不同，存在著多種選擇余地。不同的教學(xué)設(shè)計(jì)對(duì)發(fā)揮數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)價(jià)值、實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，即促成學(xué)生發(fā)展的結(jié)果大相徑庭，迥然有別。[4]對(duì)于這些內(nèi)涵的深刻認(rèn)識(shí)及其基于此而練就出非常好的教育技藝，本文所研究的整合“觀念性問題”與“技術(shù)性問題”是提升數(shù)學(xué)課堂教學(xué)有效性的有力保證?！?/p>