王強國

（寶應縣實驗小學，江蘇 揚州 225800）

“幾何直觀”是《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》新增加的三個核心詞之一。事實上，“直觀”是小學數(shù)學中最常見的教學手段，因而對于“幾何直觀”，一線的教者往往局限于從“理性到感性”的教學回歸的認知層面，洞悉不到背后的“超越”。盡管提出多年，實踐中，“穿新鞋走老路”的現(xiàn)象比比皆是，有必要對之進行更為深入的剖析與解讀，以落實相關的課程目標。

一、“幾何直觀”的內涵解讀

（一）“幾何直觀”的課標詮釋

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出：“幾何直觀主要指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數(shù)學，在整個數(shù)學學習過程中都發(fā)揮著重要作用?！盵1]

這段話可分為三層理解：第一句話指出了“幾何直觀”特殊性的一面——利用圖形，同時將“幾何直觀”的兩種主要表現(xiàn)進行精煉的概括；后兩句話進一步解釋幾何直觀的優(yōu)勢，或者說它的作用（功能）。這里仍然采用描述性的定義方式，將義務教育三個學段的共性特征加以闡述。其中的兩個地方值得注意：一是第一句話“幾何直觀主要指……”中的“主要”一詞，關于“幾何直觀”的含義，國內的一些專家學者從不同視角發(fā)表自己的看法，但迄今為止尚未達成共識，這樣的描述，為理論研究者以及實踐工作者提供了進一步豐富完善“幾何直觀”的認知空間；二是最后一句話“……在整個數(shù)學學習中都發(fā)揮著重要作用”，表明“幾何直觀”應用范圍很廣，應當成為學生數(shù)學學習的基本能力，在所有的數(shù)學學習領域中，都要重視學生這方面能力的培養(yǎng)。

（二）“幾何直觀”的引申解讀

數(shù)學家希爾伯特（David Hilbert）認為：“在數(shù)學中，像在任何科學研究中那樣，有兩種傾向：一種是抽象的傾向，即從所研究的錯綜復雜的材料中提煉出其內在的邏輯關系，并根據(jù)這些關系把這些材料做系統(tǒng)的有條理的處理；另一種是直觀的傾向，即更直接地掌握所研究的對象，側重于它們之間關系的意義，也可以說領會它們的生動的形象?！盵2]數(shù)學家克萊因（Morris Kline）指出：“數(shù)學不是依靠在邏輯上，而是依靠在正確的直觀上，數(shù)學的直觀就是對概念、證明的直接把握?！盵3]徐利治教授認為，在數(shù)學中，直觀一詞解釋為借助于經(jīng)驗、觀察、測試或類比聯(lián)想，所產(chǎn)生的對事物關系直接的感知與認識。例如，借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關系產(chǎn)生對數(shù)量關系的直接感知，即可稱之為幾何直觀。[4]

西方哲學家通常認為：“直觀就是未經(jīng)充分邏輯推理而對事物本質的一種直接洞察，直接地把握對象的全貌和對本質的認識?！毙睦韺W家則認為：“直觀是從感覺到的具體對象背后，發(fā)現(xiàn)抽象的能力?！盵5]

這些論述的共同點在于：直觀、數(shù)學直觀、幾何直觀，雖然是一種直觀的感知或者直接的把握，但都不再停留于感性認識的階段，而是高階思維、創(chuàng)新思維的結果，都有思維的參與，可以說是理性認識的升華，是認識的返璞歸真。

二、“幾何直觀”的分類舉隅

關于直觀的分類，康德指出：“一類是經(jīng)驗直觀，一類是純粹直觀?！盵6]這是從哲學角度做出的權威解釋。結合數(shù)學的學科教學，國內一些學者從不同角度給出自己的分類方法。

有學者將“幾何直觀”分為四種表現(xiàn)形式：一是實物直觀，指借助與研究對象有著一定關聯(lián)的現(xiàn)實世界中的實際存在物，借助其與研究對象之間的關聯(lián)，進行簡捷、形象的思考，獲得針對研究對象的深刻判斷；二是簡約符號直觀，是在實物直觀的基礎上，進行一定程度的抽象，所形成的、半符號化的直觀；三是圖形直觀，是以明確的幾何圖形為載體的幾何直觀；四是替代物直觀，一種復合的幾何直觀，既可以依托簡捷的直觀圖形，又可以依托用語言或學科表征物所代表的直觀形式，還可以是實物直觀、簡約符號直觀、圖形直觀的復合物。[7]

有學者依據(jù)直觀對于數(shù)學的雙重意義（數(shù)學抽象的基礎與數(shù)學理解的深化），對“幾何直觀”加以區(qū)分。將處于感性認識階段的、較低層次的幾何直觀，稱之為“直觀感知”，即觀察認識了直觀載體的外在現(xiàn)象或表面意義；將高層次的幾何直觀，概括為“直觀洞察”，即發(fā)現(xiàn)了直觀載體的深層意義或內在本質；將介于“直觀感知”與“直觀洞察”之間的水平，稱之為“直觀理解”。[8]

有學者將“幾何直觀”分為三個層次并概括其相應的表現(xiàn)。第一層次：建立和形成敏捷而準確的幾何直覺——感覺與圖形相隨。表現(xiàn)為：能借助圖形思考問題，形成感知；能根據(jù)需要畫出圖形，輔助思考；能結合實際完善圖形，發(fā)現(xiàn)思路。第二層次：實施深入而靈活的幾何探索——視覺與思維共行。表現(xiàn)為：能結合圖形特征思考，具備良好的觀察力；能靈活進行合情推理，具備良好的探索力；能因題制宜構造分析，具備一定的創(chuàng)造力。第三層次：成為分析和解決問題的有效工具——抽象與形象互輔。表現(xiàn)為：有效分離基本圖形，突破問題；善于構造幾何模型，變更命題；全面認知圖形，隨機應變。[9]

以上學者的分類，雖然方式與標準不一，但共性也很顯見。首先，都重視學生“幾何直觀”的先天經(jīng)驗。事實上，即使剛進入小學的學生，也有一定的幾何抽象能力，這種與生俱來的抽象能力，是培養(yǎng)“幾何直觀”的基礎，分類中抽象的程度越來越高，但都以保護學生先天的幾何直觀的潛質為起點。其次，都重視“幾何直觀”的后天形成，關注這種能力提升的漸進性，為一線教師的教學實踐提供參考。

三、“幾何直觀”的教學要領

（一）認知理解的寬泛性

1.對“圖形”的理解

相對于一般意義上的直觀，“幾何直觀”的特殊之處在于：借助幾何圖形（空間形式）。幾何圖形分為立體圖形（柱體、椎體、旋轉體等）和平面圖形（圓形、多邊形、弓形等），這些幾何圖形為培養(yǎng)學生的“幾何直觀”能力提供了豐富的素材。但“幾何直觀”的本質在于借助圖形展開數(shù)學思考。因此在小學數(shù)學教學中，對于“圖形”的理解不妨更寬泛一些，外延更廣一些。一方面，只要有利于思考和理解，不必囿于規(guī)范的幾何圖形，比如用倒推的策略解決問題中，在表征題意的過程中，學生自然想到了箭頭圖，借助箭頭圖，學生把數(shù)量的變化過程清晰呈現(xiàn)，從而理解算法與算理，因此不妨將之納入“幾何圖形”的范疇之中；另一方面，圖形既可以是有形的可視的，也可以是無形的想象的。事實上，隨著學生“幾何直觀”能力的提升，完全能夠進入直接利用表象在頭腦中進行思考的境界，典型案例是“珠心算”中的“心算”。教學的關鍵是培養(yǎng)學生的“幾何直觀”的意識，在需要幫助時，能夠想到這種方法，并且成功運用。此外，一些教者過分強調嚴謹與規(guī)范的做法，也值得思考，比如草稿上畫長方形一律要求借助直尺，同時要求學生考量各段之間的長度比例。試想教者自己在畫圖的過程中是否都做到了規(guī)范？“圖形”更重要的是表達關系，只要能幫助學生直觀分析和解決問題，畫草圖不該一味指責，否則，可能得到規(guī)范卻挫傷學生畫圖的積極性，也會影響學生思維的連貫性。

2.對“幾何直觀”的認知

在數(shù)學語言中，有不少與“幾何直觀”既有聯(lián)系，又有區(qū)別的相關術語，如“空間觀念”“數(shù)形結合”“幾何推理”“幾何直覺”“直觀幾何”等。許多專家進行了深入細致的分析與解讀。如“幾何直觀”與“數(shù)形結合”，有學者指出：“從內涵看，數(shù)形結合看重數(shù)學兩類研究對象（數(shù)量關系與空間形式）之間的聯(lián)系，幾何直觀側重數(shù)學研究對象的幾何意義；從外延看，數(shù)形結合具有兩方面的作用：形使數(shù)更直觀，數(shù)使形更入微。兩者區(qū)別在于：數(shù)形結合還具有數(shù)形更入微的作用，而幾何直觀則還可以運用于幾何本身?！盵10]這樣的區(qū)分理解起來并不難，從學術研究的角度也是有價值的，但在實踐中，很難把控。仍以“數(shù)形結合”與“幾何直觀”為例，截至目前，還沒有學者能找到不是“數(shù)形結合”的“幾何直觀”的例子。正如曹培英老師認為：面對小學課堂的真實情境，真正進入數(shù)學教學的實踐，又不得不承認，這些概念之間的差異，實在微不足道，可以忽略不計。只要切實加強空間觀念的培養(yǎng)，重視數(shù)形結合就可以了，到了高中，相對于義務教育，數(shù)學學習更依賴抽象邏輯思維，再來強調“幾何直觀”，可能更具指導意義。[11]

（二）目標理念“超越”性

1.課程目標的豐盈

在義務教育階段，“數(shù)學課程標準（2011年版）”關于“幾何直觀”教學的目標設置層次并不豐富。第一學段的課程目標沒有涉及幾何直觀，第二學段的“數(shù)學思考”目標中提出了讓學生“感受幾何直觀的作用”，第三學段的“數(shù)學思考”目標中提出了讓學生“經(jīng)歷借助圖形思考問題的過程，初步建立幾何直觀”。在小學數(shù)學教學中“感受幾何直觀的作用”的目標呈現(xiàn)，顯得有些空洞與虛幻，以至于實踐中，教者一臉茫然。作為課標中的核心詞，體現(xiàn)的是數(shù)學教學最應該培養(yǎng)的意識與能力，往往超越知識與技能層面。另一方面，“幾何直觀”并不顯性地和具體的知識點聯(lián)系在一起。因而對于剛剛加入數(shù)學課程的“幾何直觀”，這樣的目標設置在情理之中。其實，課標只是規(guī)范與解放結合的指導性文件，并非剛性的約束。小學階段，我們不妨將“感受幾何直觀的作用”做一體兩面式解讀，即既是目標又是實現(xiàn)目標的途徑。守住這樣的底線，實踐中我們就可以創(chuàng)造更為豐富而有效的課程形態(tài)與課程經(jīng)驗。低年級，可以將“幾何直觀”的習慣養(yǎng)成作為目標，遇到一些復雜的問題情境，知道借助圖形幫助思考，如“同學們站成一排，小紅左邊有3個同學，右邊有4個同學，這一排一共有多少個同學？”教者持之以恒的示范，有助于學生感受幾何直觀的價值，也能引導學生養(yǎng)成“幾何直觀”的解題習慣，實現(xiàn)課程目標；中高年級，可以將“幾何直觀”的策略與技能的學習作為目標，通過有計劃、有系列的問題呈現(xiàn)，鼓勵學生積極利用各種圖形去直觀分析，積累經(jīng)驗，在幾何直觀的積極嘗試中感受幾何直觀的價值。

2.課程理念的超越

小學生的思維特點以具體形象思維為主，逐步向抽象邏輯思維過渡。但在小學數(shù)學中，許多的概念與方法是抽象的，這就造成了學生學習的困難?？v觀“數(shù)學課程標準（2011年版）”，有兩點應對之策：“情境”和“幾何直觀”。當然具體生動的情境中，包含“幾何直觀”中“實物直觀”的成分。小學數(shù)學教學中“直觀”是最常見的教學手法，一線教師有著豐富的“幾何直觀”教學經(jīng)驗，這樣的經(jīng)驗為學生“幾何直觀”能力的培養(yǎng)提供基礎，面對這樣的課程理念，教者看到回歸的同時，更應該有超越性的認知。一是要看到圖形的直觀性，更要看到圖形的抽象性。從辯證的角度思考，事物之間的關系總是相對的，數(shù)學中的抽象與直觀也是如此，一個數(shù)學對象的幾何直觀對這個對象本身來說，是種直觀，但對第一次接觸這個直觀方式的學生來說，可能還是一種抽象。借助圖形直觀地把握數(shù)學對象，進行數(shù)學思考，首先需要把研究“對象”抽象成為“圖形”，再把“對象之間的關系”轉化為“圖形之間的關系”，這樣就把研究的問題轉化為“圖形的數(shù)量或位置關系”的問題，進而進行思考分析，這一系列的轉化顯然不是天然而成的。[12]二是要源于直觀，超越直觀。教學不能僅停留在直觀的層面，需要借助合適的方式，適時適度地抽象。比如“3”的認識，可以出示3個小朋友、3個蘋果、3個圓片等，我們不能讓學生局限于“3”就是表示3個小朋友或者就是3個蘋果。應該引導學生比較得出：物品不同，都是3個。進一步追問：“3還可以表示什么？”從而抽象“3”。

（三）載體路徑的“雙重”性

實際教學中，要落實“感受幾何直觀價值”的課程目標，需要借助于一定的內容載體。依據(jù)“幾何直觀”自身的特殊性（借助圖形），以及小學數(shù)學教學基礎性的價值定位，載體立足兩條：一是顯性的學習——習得技能；二是隱性的感知——提升意識。

1.顯性的學習

蘇聯(lián)著名數(shù)學家A.N.柯爾莫戈羅夫說過：“只要有可能，數(shù)學家總是盡力把他們正在研究的問題從幾何上視覺化。”[13]事實上，一線的教師在教學中，也會有意或無意地將所要講解的問題借助圖形直觀化?，F(xiàn)行的各個版本的數(shù)學教材，都具有較強的直觀性（內容的呈現(xiàn)方式、色彩的選擇等），在教者的引導與示范下，學生已經(jīng)具有初步的依托圖形進行表征的心理傾向。因此，“幾何直觀”的課程實施不妨圍繞“畫圖策略與技能”設立明線脈絡，其意義在于，通過有意識的不同階段的系統(tǒng)學習，進一步引導學生掌握一定的圖示技巧。如在低年級可以實施“實物圖——示意圖（直條圖）——線段圖”的過渡遞進；在中年級設立畫圖策略的單元，有意識地引導學生掌握畫示意圖和線段圖的要點及技巧，經(jīng)歷借助圖進行思考的過程，積累幾何直觀的經(jīng)驗。[14]

有學者提出，在小學階段要逐步形成構造直觀的系列（如圖1）。[15]從一年級開始，就可以相機引導學生畫圖表示數(shù)，畫圖說明計算結果，特別是在解決實際問題時，放手學生“把應用題畫出來”，起初數(shù)量小一些，難度低一些，要求少一些，從示意圖出發(fā)，逐步引入線段圖等。實踐表明，這樣的安排對于發(fā)展學生的幾何直觀，提高學生的問題解決能力都有明顯的功效。

圖1

2.隱性的感知

學生具備了一定的畫圖技能，掌握了一些畫圖方法，是不是就一定能靈活運用？情形并不樂觀！教學中，常常遇到這樣的尷尬：“平時用不著，用時想不到?！笨梢姵思寄艿膶W習，還有意識的提升。如何培養(yǎng)學生自主篩選、自覺運用“幾何直觀”解決問題的意識？隱性的感知，雖然沒有規(guī)劃性，但卻是極其重要和有效的路徑之一。實踐中，首先，教者自身應具備良好的“幾何直觀”的課程意識，將平時教學中一些無意的舉措變?yōu)橛幸?、?chuàng)意的行為，從自發(fā)走向自覺；其次，小學數(shù)學教材中蘊含大量的“幾何直觀”的素材，應該充分挖掘和呈現(xiàn)數(shù)學知識中固有的幾何直觀因素，創(chuàng)造貼切的幾何直觀來理解所學的方式，引導學生充分感知“幾何直觀”的價值。教學案例信手拈來，如“平均數(shù)意義”體會教材安排直條的移多補少；“乘法分配律”教材借助求組合矩形（同寬的矩形組成一個大矩形）的面積來感悟；“倍數(shù)與因數(shù)”教材選取“擺小方塊”來體會倍數(shù)與因數(shù)之間的關系等。但對于小學生而言，我們還需要在更廣的范圍，精選更具代表性、更有震撼力的習題，讓學生在“復雜情境”中深刻感知“幾何直觀”的價值與魅力。比如“分數(shù)乘法”的幾何模型，為什么分子和分子相乘，分母和分母相乘？借助“幾何直觀”一目了然（見圖2）。

圖2

（四）實踐操作的過程性

1.“幾何直觀”本體的過程性

從“幾何直觀”的內涵看，它既是學生個體與生俱來或者后天學習所形成的相關技能，表現(xiàn)出結果屬性，也是利用圖形描述問題、思考問題的過程，表現(xiàn)出過程屬性；從目標看，“數(shù)學課程標準（2011年版）”定位為“感受幾何直觀的作用”，而“感受”是描述過程性目標的行為動詞；再從學生視角看，如前文中所述，一種“幾何直觀”的新形式對于學生來說，往往是抽象的，如果學生不領會幾何圖形本身的特征，不明晰圖形本身具有的數(shù)學模型意義，那么圖形就不具有讓數(shù)學思考變得有形可視的直觀作用。而學生的“領會”“明晰”能力的提升需要初次接觸時完整經(jīng)歷逐步感知過渡到理解的過程，并在后續(xù)的學習中不斷強化，圖形才能體現(xiàn)“幫助學生直觀地理解數(shù)學”的深遠價值。事實上，“幾何直觀”是一種意識，也是一種能力，更是一種思維方式，無論從哪個維度思考，都不難發(fā)現(xiàn)，其培養(yǎng)與提升有一個過程，不可能一蹴而就。教者應該有一定的規(guī)劃，將長期目標與短期目標有機整合，培養(yǎng)策略在立足課堂的同時注重課外延展，將數(shù)學的學習與生活巧妙鏈接。這種本體的過程性認知，有助于教者提升“幾何直觀”的課程意識，更系統(tǒng)地踐行，也有助于實踐中，以更加平和的心態(tài)面對課堂中的得與失，學生學習中的錯與對。

2.“幾何直觀”教學的過程性

從教學的層面看，“幾何直觀”的能力提升中，立足畫圖、析圖等技能技巧的訓練，是行之有效的切入點，但不能用機械講解的方式灌輸給學生，應該讓學生充分經(jīng)歷自主嘗試、小組合作、分享交流、思維碰撞的過程。首先，要關注“幾何直觀”的形成過程。“幾何直觀”需要依托圖形，圖形的介入應該避免直接的呈現(xiàn)，比如將圖文同時呈現(xiàn)，然后要求學生借助圖形思考問題。這種情形下，可能學生思維的難度降低，正確解答的成功率提升了，但“幾何直觀”的意識淡化了，即在沒有外界提醒的情況下，學生想不到借助“幾何直觀”思考問題。因此，面對具體問題時，要讓學生有思考醞釀、篩選策略的過程，在此基礎上，適當點撥，逐步養(yǎng)成“幾何直觀”的思維方式。其次，要關注學生的思維過程。面對同一個數(shù)學問題，不同學生“幾何直觀”的外化形式可能有許多種，比如有學生畫的是面積圖，有學生畫的是線段圖等。同時，具體到某一個學生，圖示的方法又有優(yōu)劣甚至對錯之分，教學中，要引導學生表述自己的思維過程，如“你是怎么想到的？”“你的圖想表達什么意思？”等。在這個過程中，要特別注意保護、激發(fā)學生的直觀稟賦，教者要用直觀而不是“幾何直觀”的視野去品讀和領悟學生的表達，當學生用直觀方式表達交流的愿望不斷得到強化，隨著幾何知識的積累，幾何活動經(jīng)驗的豐富，“幾何直觀”也會越來越得到自覺運用。

綜上所述，小學數(shù)學教學中，“幾何直觀”的培養(yǎng)是一個潛移默化、逐漸滲透的過程，對內涵的深刻認知，對細節(jié)的深入關注，有助于我們洞悉“回歸”背后的“超越”，探索更加豐富而有效的教學對策，更加全面地落實課程目標，為學生數(shù)學學科素養(yǎng)的提升做出應有的努力！▲