王強國

（寶應(yīng)縣實驗小學(xué)，江蘇 揚州 225800）

2011年版“課標(biāo)”給出的十個核心詞中，只有“模型”以“思想”指稱，其余均以“能力”定位。這表明一個觀點：模型思想是數(shù)學(xué)基本思想之一。相對于其他的核心詞，模型思想是小學(xué)教師最陌生、前認知最少的一個概念，大多數(shù)的小學(xué)教師在校學(xué)習(xí)期間或在職培訓(xùn)中，從未接觸過“數(shù)學(xué)建?！闭n程，從未參與過數(shù)學(xué)建?；顒?。因而，小學(xué)教師對模型思想的認識頗為有限。認知的不足、經(jīng)驗的匱乏，導(dǎo)致教學(xué)時模糊不清，影響課程目標(biāo)的落實。

一、模型思想的內(nèi)涵解讀

（一）課標(biāo)中的闡述

“模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生形成初步的模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識?！盵1]2011年版“課標(biāo)”闡述中包含三層內(nèi)容：模型思想的主要功能；數(shù)學(xué)建模的簡要過程與表現(xiàn)形態(tài)；形成模型思想的其他作用。表述中，模型思想的“主要功能”與“其他作用”，沒有一起呈現(xiàn)，而是放在一頭一尾分開講述。細細研讀，撰寫者的良苦用心可見一斑。第一句話是建立模型思想的教學(xué)定位，盡管模型思想在現(xiàn)代化進程中非常重要，但在義務(wù)教育階段，它主要是“學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑”。第二句話是對數(shù)學(xué)建模過程的刻畫，刪繁就簡，突出了它的三個主要環(huán)節(jié)。同時，也間接表明了這里采納的是數(shù)學(xué)模型的狹義解釋。第三句話進一步指出，這些過程性內(nèi)容的學(xué)習(xí)，只是“有助于”學(xué)生“初步”形成模型思想，旨在“提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識”，還不是真正建立模型思想，更談不上“數(shù)學(xué)建模能力”的提升。[2]

（二）實踐中的詮釋

1.功能說

主流地位的詮釋如：“建模是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種新的方式，它為學(xué)生提供了自主學(xué)習(xí)的空間，有助于學(xué)生體驗數(shù)學(xué)在解決實際問題中的價值和作用，體會數(shù)學(xué)與日常生活和其他學(xué)科的聯(lián)系，體驗綜合運用知識和方法解決實際問題的過程，增強應(yīng)用意識；有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識和實踐能力?！盵3]類似這種詮釋的學(xué)者，他們緊扣素質(zhì)教育的兩個重點目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和實踐能力，傾向于模型思想是最能體現(xiàn)學(xué)科價值的數(shù)學(xué)素質(zhì)之一的觀點。本次課程改革，其初衷是“深化素質(zhì)教育”“完善學(xué)生的學(xué)習(xí)方式”，實施中，在強調(diào)過程教學(xué)的同時，開辟了新的課程形態(tài)“研究型課程”，并在學(xué)科教學(xué)中設(shè)立綜合實踐活動。當(dāng)下提出的模型思想，只是給這些泛學(xué)科的一般性要求中注入數(shù)學(xué)的學(xué)科內(nèi)涵[4]。

2.過程說

有學(xué)者認為，數(shù)學(xué)建模一般要經(jīng)歷“模型準(zhǔn)備——模型假設(shè)——模型求解——模型運用”的過程。其中，模型準(zhǔn)備是起點，從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)信息，對問題進行必要的簡化；模型假設(shè)是根據(jù)現(xiàn)實原型對象的特征，結(jié)合已有知識和生活經(jīng)驗，提出假設(shè)，確定數(shù)學(xué)建模的方向或初步思路；模型求解是針對問題特點和建模目的，找出合理、簡化的解決辦法；模型運用是借助模型求出結(jié)果，并解釋它在現(xiàn)實問題中的意義。[5]

葉其孝教授將數(shù)學(xué)建模的過程歸納為七個步驟：（1）對某個實際問題進行觀察、分析；（2）對實際問題進行必要的抽象、簡化，做出合理的假設(shè)；（3）確定模型建立中的變量和參數(shù)；（4）根據(jù)某種“規(guī)律”建立變量和參數(shù)間確定的數(shù)學(xué)關(guān)系；（5）解析或近似地求解該數(shù)學(xué)問題；（6）驗證結(jié)果是否正確；（7）如果上一步的結(jié)果是肯定的，則建模完成，如果是否定的，則返回到第（1）步重新進行分析，重復(fù)上述建模過程?！叭绻獙?shù)學(xué)建模下個定義的話，那就是：數(shù)學(xué)建模就是上述七個步驟的多次重復(fù)的過程。”[6]葉教授如是說。

“過程說”圍繞模型的建立過程展開，與課改之初提倡的“吃全魚”的教學(xué)主張有相通之處。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，許多時候可能只能或者僅需展示數(shù)學(xué)建模的簡要過程。

上述兩種詮釋或多或少地秉持教學(xué)論的觀點和語言來解釋。如果從模型思想數(shù)學(xué)學(xué)科層面來解讀，我們會發(fā)現(xiàn)模型思想具有本質(zhì)化的思想，能使我們對數(shù)學(xué)的本質(zhì)，尤其是數(shù)學(xué)應(yīng)用的特點與過程，獲得更為全面、深刻的理解，同時，也能豐富我們對數(shù)學(xué)問題解決的認識。

二、數(shù)學(xué)模型的分類舉隅

關(guān)注數(shù)學(xué)模型的分類，有助于我們系統(tǒng)化、條理化認知模型。在數(shù)學(xué)界，關(guān)于模型的分類還沒有像化學(xué)元素分類、生物分類那樣公認的標(biāo)準(zhǔn)，不同學(xué)者基于不同的劃分標(biāo)準(zhǔn)給出不同的分法。以下兩種分類，對一線教師的建模教學(xué)有較強的指導(dǎo)意義。

一是依照事物認識的過程，分為描述性數(shù)學(xué)模型和解釋性數(shù)學(xué)模型兩大類。解釋性數(shù)學(xué)模型反映的是從一般到特殊的認識過程，常運用于數(shù)理邏輯和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中鮮有涉足。而描述性數(shù)學(xué)模型反映了從特殊到一般的認識過程，它從分析客觀事物的具體特征或狀態(tài)入手，經(jīng)過逐步抽象得到。把客觀事物中量的關(guān)系概括于一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)之中，是其主要特征。[7]這種分類對教者的指導(dǎo)價值主要體現(xiàn)在建模思路的引領(lǐng)，從個性到共性，從一個到一類，也體現(xiàn)出模型思想所具有的一般化思維的特點，是小學(xué)數(shù)學(xué)模型思想滲透的常用方式。

二是按照模型對象的特點，分為概念型數(shù)學(xué)模型、方法型數(shù)學(xué)模型和結(jié)構(gòu)型數(shù)學(xué)模型。其中，結(jié)構(gòu)型數(shù)學(xué)模型是以數(shù)學(xué)對象為原型，再抽象所得到的數(shù)學(xué)模型，小學(xué)數(shù)學(xué)中的“雞兔同籠”等可以看作一種結(jié)構(gòu)模型；方法型數(shù)學(xué)模型是指數(shù)學(xué)中的各種公式及運算系統(tǒng)、各類方程及其求解方法等，是由實際對象間量的關(guān)系抽象出來的，這在教學(xué)中較為常見；概念型數(shù)學(xué)模型是指數(shù)學(xué)中的基本概念，如平行、三角形、倍數(shù)等，通常由客觀事物或現(xiàn)象的直接抽象得到。[8]這種分類對教者的指導(dǎo)價值主要體現(xiàn)在建模共識的達成。即教材中蘊含著大量的數(shù)學(xué)建模素材，小學(xué)數(shù)學(xué)模型思想的滲透是可行的并且能有所作為！

事實上，數(shù)學(xué)模型在學(xué)術(shù)界有兩種解釋：廣義上，一切數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)理論體系，各種數(shù)學(xué)公式、各種方程式以及由公式系列構(gòu)成的算法系統(tǒng)等，都可稱之為數(shù)學(xué)模型。狹義上，只有那些反映特定問題或特定的具體事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)，才叫作數(shù)學(xué)模型。[9]兩者都是人類進化和社會發(fā)展的產(chǎn)物，不同之處是：前者是“無心插柳”型，起初并沒有意識到它是模型；后者是“有心栽花”型，有意識地建構(gòu)模型，這成為當(dāng)今應(yīng)用數(shù)學(xué)中數(shù)學(xué)模型的原意。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，更傾向于狹義上數(shù)學(xué)模型的滲透與初步建立。

三、模型思想的建立要點

（一）準(zhǔn)確定位——模型思想建立的立足點

1.對象的準(zhǔn)確定位

（1）基于兒童的生活經(jīng)驗

兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，有兩個基礎(chǔ)：知識和經(jīng)驗。在日常教學(xué)中，對于學(xué)生學(xué)情的分析，教者習(xí)慣于關(guān)注學(xué)生已經(jīng)學(xué)過哪些相關(guān)的知識，即教材內(nèi)容的邏輯關(guān)聯(lián)，卻往往忽視知識之外，學(xué)生已經(jīng)具有的生活經(jīng)驗。這里的生活經(jīng)驗是指兒童在生活中通過親身經(jīng)歷、體驗而獲得的對事物的認識與反映，具有自然性、生成性、發(fā)展性等不同層面的特點。[10]尊重和承認“生活經(jīng)驗是兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要資源”，有助于我們更準(zhǔn)確地把握學(xué)生的認知起點，改變我們的教學(xué)方式，繼而促進學(xué)生學(xué)習(xí)方式的優(yōu)化。一般來說，數(shù)學(xué)的模型皆有其現(xiàn)實的生活背景，在模型思想的建立中，立足兒童的生活經(jīng)驗，將教材上的內(nèi)容轉(zhuǎn)化為兒童日常生活數(shù)學(xué)問題的火熱思考，有利于學(xué)生感受其中隱含的數(shù)學(xué)問題，促使學(xué)生將生活問題抽象成數(shù)學(xué)問題，從而感知數(shù)學(xué)模型的存在。[11]

（2）基于兒童的認知特征

一要用兒童的眼光視角觀察。對于事物的觀察，兒童容易被表面現(xiàn)象所迷惑，難以準(zhǔn)確、迅速地把握事物的本質(zhì)以及事物之間的內(nèi)在聯(lián)系。這要求我們在模型的建立中，循序漸進，問題設(shè)置要能巧妙引導(dǎo)學(xué)生思維，過程中需要及時的正向。二要用兒童的思維方式分析。小學(xué)階段的兒童，思維主要還是以直觀形象思維為主，抽象的模型對學(xué)生而言理解困難。教學(xué)中，應(yīng)該積極創(chuàng)設(shè)生動有趣的情境，激發(fā)學(xué)生探究的熱情，借助直觀的學(xué)具操作等活動幫助學(xué)生感知、建立數(shù)學(xué)的模型。三要用兒童的語言范式表述。兒童有自己的話語體系，可能不嚴謹，但卻是兒童熟悉的，應(yīng)該允許兒童適度的“任性”表達。同時，教者本身的語言也應(yīng)該切合兒童的認知水平。比如“猜想——驗證”，這是模型建立中常用的策略，也幾乎成為教師的口頭禪，但這樣的描述過于“數(shù)學(xué)化”，小學(xué)中低年級的兒童，并不能完全領(lǐng)略，高明的教者總是人文關(guān)照的口語化：“我們一起來想個辦法，讓大家相信這個說法……”

2.目標(biāo)的合理設(shè)置

在數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，并沒有提出具體明確的模型思想教學(xué)的目標(biāo)。作為教者應(yīng)該有以下的辯證認識：一方面，這符合小學(xué)學(xué)情，符合小學(xué)生的知識水平、能力經(jīng)驗；另一方面，沒提要求，不意味著不可作為、無須作為！如前文歸納，小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，模型思想建立的知識載體是客觀存在的，關(guān)鍵是如何定位。

（1）培育初步的模型意識

縱觀現(xiàn)行的各個版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教材，內(nèi)容的分布、習(xí)題選擇不盡相同，但具體到某一課時的內(nèi)容編排，會發(fā)現(xiàn)相同之處，多以“生活情境——抽象模型——模型驗證——模型解釋與應(yīng)用”的方式呈現(xiàn)，這種編排體系為模型意識的培育提供了天然的契機。宏觀上，教者可以從整體上用建模的視角去解讀教材，充分彰顯其中蘊含的模型思想；微觀上，可以通過實際問題的數(shù)學(xué)化與數(shù)學(xué)問題的生活化引領(lǐng)學(xué)生感知模型的存在，在適時的回顧與反思中明晰模型，在實際問題的解決中感受模型的應(yīng)用價值，從而不斷增強數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用意識。

（2）經(jīng)歷初步的建模過程

數(shù)學(xué)思想是發(fā)展的、動態(tài)的，而數(shù)學(xué)知識是相對定型的、靜態(tài)的。如果把模型的建立當(dāng)作唯一追求的結(jié)果，那么就可能步入“模型化”的誤區(qū)，事實上，無論何種模型都不可能解決所有的問題。因而將模型建立過程的體驗作為小學(xué)數(shù)學(xué)模型教學(xué)的核心目標(biāo)是學(xué)術(shù)界的共識。模型思想的滲透與建立過程，從顯性來講，會對學(xué)生的解題能力和后續(xù)學(xué)習(xí)產(chǎn)生持續(xù)影響；從隱性來講，會影響學(xué)生從事數(shù)學(xué)以外活動時的思維方式和行為方式。[12]在經(jīng)歷建模與用模的過程中，學(xué)生的思維會得以發(fā)展，數(shù)感、符號意識、幾何直觀、推理能力、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識等能得以提高，而這些恰恰是數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)提升的基礎(chǔ)。

（3）體驗初步的用模樂趣

數(shù)學(xué)學(xué)科有一種特質(zhì)的美——簡潔美。這種美既體現(xiàn)于數(shù)學(xué)定義與規(guī)律敘述的高度濃縮性、公式與法則的高度概括性，更體現(xiàn)于數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)在的思想方法的精煉與適用，數(shù)學(xué)思維的自由與創(chuàng)造。數(shù)學(xué)模型是體現(xiàn)簡潔美的優(yōu)良載體，用模型視角去觀察事物，有助于學(xué)生準(zhǔn)確迅速地把握事物的本質(zhì)，提升比較、抽象、概括等能力；用模型方法去思考問題、解決問題，有利于學(xué)生舉一反三，觸類旁通，促進認知結(jié)構(gòu)的新建與重組，在體驗用模樂趣的同時，進一步激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

（二）巧妙引導(dǎo)——模型思想建立的著力點

基于數(shù)學(xué)建模教學(xué)的目標(biāo)定位與對象的認知能力，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，模型思想建立，應(yīng)該以滲透的方式為主，需要教者巧妙引導(dǎo)，讓模型思想浸入學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)歷程。

1.用數(shù)學(xué)化的眼光觀察

數(shù)學(xué)化其實就是從(數(shù)學(xué)外部的)現(xiàn)實世界到數(shù)學(xué)內(nèi)部，從數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展，再到現(xiàn)實世界中(以及應(yīng)用于其他學(xué)科之中)的全過程。（弗賴登塔爾語）所謂數(shù)學(xué)化的眼光觀察，主要指教師引導(dǎo)學(xué)生從具體的教學(xué)情境中，準(zhǔn)確獲取具有建模意義的數(shù)學(xué)信息，并能運用已有的知識經(jīng)驗進行適度的整理和組織。這種數(shù)學(xué)化，表面看是一種數(shù)學(xué)直觀思維，實質(zhì)上更多的指向數(shù)學(xué)抽象、直觀想象，它是學(xué)生實現(xiàn)數(shù)學(xué)建模不可或缺的能力基礎(chǔ)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)該結(jié)合不同的學(xué)段有意識地逐步培養(yǎng)。如蘇教版數(shù)學(xué)教材中有關(guān)“圓”的教學(xué)，第一學(xué)段，我們重點引導(dǎo)學(xué)生從實物中抽象出圓，可以出示一組關(guān)于圓的實物圖片，啟發(fā)學(xué)生思考：你看到了什么？在學(xué)生匯報的基礎(chǔ)上，教者小結(jié)：用生活的眼光，我們看見的是一張張優(yōu)美的圖片，用數(shù)學(xué)的眼光，我們會看到“圓”……完成生活問題數(shù)學(xué)化。第二學(xué)段，重點研究圓的特征與面積的計算，以“半徑的特征”為例，在學(xué)生畫一畫、量一量、折一折的基礎(chǔ)上，觀察、思考有什么發(fā)現(xiàn)，得出“無數(shù)條、都相等”的特征，實現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)部規(guī)律化。在認識圓的特征后，可以安排學(xué)生解釋汽車的車輪為什么設(shè)計成圓形而不是正方形、長方形或三角形等，走向數(shù)學(xué)內(nèi)容現(xiàn)實化，使學(xué)生建立完整的“圓”的概念模型。

2.用一般化的思維概括

一般化的思維，主要指在模型建立的教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生從一個問題的解決，拓展為一類問題的解決，并加以推廣應(yīng)用，其中蘊含歸納法的思想，也包含合情推理的成分。這歷來是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)所忽視和欠缺之處，原因一方面是教者低估學(xué)生的潛能，對學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)認識不力，認為學(xué)生理解不了；另一方面，受限于當(dāng)課的教學(xué)內(nèi)容與時間，這里的“一個問題”，更準(zhǔn)確地說，應(yīng)該是類似的“一個個問題”，必然需要花費較多的時間，加之對建模教學(xué)的認知不足，選擇放棄。教學(xué)中，一般化的處理，還具有由淺入深、逐步逼近問題本質(zhì)的意蘊，有助于學(xué)生形成初步的模型思想。如蘇教版數(shù)學(xué)五年級上冊“用字母表示數(shù)”教學(xué)，出示：一支鋼筆a元，3支這樣的鋼筆多少元？得出3a 元后，教者去除習(xí)題，留下“3a”字樣，引導(dǎo)學(xué)生用自己的語言說一說還可以表示什么？有學(xué)生想到如果每支鉛筆a 元，那么3支這樣的鉛筆就是3a元，如果每千克蘋果a元，那么3 千克這樣的蘋果就是3a 元……師生總結(jié)：單價×數(shù)量=總價。在一般化理念的指引下，可以進一步追問：還可以找到類似這樣的關(guān)系式嗎？學(xué)生想到“速度×?xí)r間=路程”“工作效率×工作時間=工作總量”……

3.用結(jié)構(gòu)化的視角感知

結(jié)構(gòu)是關(guān)系的組合。結(jié)構(gòu)化思維主要指，在建模教學(xué)中，面對現(xiàn)實的教學(xué)情境，能夠去除情境的枝枝蔓蔓，由原型結(jié)構(gòu)抽象出數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。這種結(jié)構(gòu)化的認知，有助于學(xué)生迅速準(zhǔn)確地把握問題的本質(zhì)，感知數(shù)學(xué)模型的基本脈絡(luò)。實際教學(xué)中，有兩種行之有效的做法：一是抓關(guān)鍵詞，連點成線。如蘇教版（數(shù)學(xué)）四年級上冊“認識平行”教學(xué)。在學(xué)生觀察、操作的基礎(chǔ)上，揭示“像這樣不相交的兩條直線互相平行”。教者可以設(shè)問：同學(xué)們，你們覺得這句話中哪些詞很重要？學(xué)生很快想到“不相交”“兩條”“直線”等，這些詞就是“平行”概念模型的基本結(jié)構(gòu)。二是立足算理，進行實質(zhì)性追問。如蘇教版數(shù)學(xué)二年級上冊“表內(nèi)乘法”教學(xué)。習(xí)題：一幢樓房有7層，每層住6戶，一共住了多少戶？學(xué)生列出6×7 的算式后，我們可以追問：你為什么用乘法計算？學(xué)生回答：一共住了多少戶，就是求7個6相加的和是多少，所以用乘法計算。還可以追問：你為什么不用加法？在這樣的追問中，有利于學(xué)生感知乘法模型的存在與應(yīng)用。

4.用系列化的體例強化

系列化的體例，主要指在模型建立的教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生初步感知或建立某一數(shù)學(xué)模型后，引導(dǎo)學(xué)生對抽象出的模型進行適度的變式，在比較中，強化模型的結(jié)構(gòu)認知，形成網(wǎng)狀的知識結(jié)構(gòu)。教學(xué)中，以下兩種方式值得借鑒。一是“多題一解”，如蘇教版數(shù)學(xué)五年級下冊“圓的面積”教學(xué)。在學(xué)生形成圓的面積算法模型后，教者安排如下一組習(xí)題：（1）一個圓，半徑3 厘米，面積是多少平方厘米？（2）一個圓，直徑4厘米，面積是多少平方厘米？（3）一個圓，周長25.12厘米，面積是多少平方厘米？練習(xí)的過程中，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)，盡管題型有變化，但算法都簡化為πr2。二是“一題多變”?？梢员３诸}目中數(shù)量和關(guān)系，改變情境載體，如“工人師傅鋪一段路，前3 天平均每天鋪160米，后5天平均每天鋪180米，一共鋪好多少米？”這樣的工程問題，我們可以改為行程問題或者購物問題等，學(xué)生通過比較會發(fā)現(xiàn)，算式不變，數(shù)量關(guān)系不變，都可以用字母表示為兩個積的和：a×b+c×d=s；此外，我們還可以將一道題中某一條件與問題置換，形成“新”的問題情境，在模型的運用中強化模型的意識。

5.用顯現(xiàn)化的方式表征

數(shù)學(xué)模型無論是思維表征的過程還是形式表征的過程，都需要兩個基本的教學(xué)過程做支撐。一是從“境”到“型”，通過抽象、歸納感悟理解數(shù)學(xué)模型的結(jié)構(gòu)化與簡約化的特征；二是從“型”到“境”，通過演繹結(jié)構(gòu)，深化理解數(shù)學(xué)包容性與應(yīng)用性的特征。[13]學(xué)生經(jīng)歷了模型建構(gòu)過程，初步感知或建立了某一數(shù)學(xué)模型，此時，教者應(yīng)該適時地引導(dǎo)學(xué)生用顯現(xiàn)化的方式表征。這種表征并非簡單的重復(fù)，其價值一方面是學(xué)生對模型結(jié)構(gòu)的強化與清晰化，深化對模型的認知；另一方面也是學(xué)生個性化解讀與理解的過程，有利于模型的應(yīng)用與推廣。方式主要有兩種：一是“可聞”，即讓學(xué)生用語言表述?！罢Z言是思維的外殼”，學(xué)生在語言表述的過程中，必然需要對自己的思維進一步梳理，在個性化的陳述中，實現(xiàn)自主建構(gòu)。二是基于操作的顯現(xiàn)化，這里的操作，不僅包括動手擺弄實物、比劃手勢、活動肢體等操作學(xué)具的活動，還應(yīng)該包括借助符號、文字和圖表等數(shù)學(xué)語言動手畫圖、標(biāo)注、列舉等逐步抽象化操作語言的活動。[14]

（三）對比反省——模型思想建立的不竭動力

1.在正例與反例的對比中活化

如前文所述，模型思想的建立通常采用一般化的思維、系列化的體例等逐步實現(xiàn)。這樣的處理，為每一類模型提供了數(shù)量較多的、與之相對應(yīng)的、典型的問題，有利于學(xué)生模型的感知與建立。缺陷在于，客觀上減少了學(xué)生在沒有提示的情況下自主選擇模型的機會，篩選模型的意識會降低。以“方程算法模型”為例，教學(xué)中，我們常常遇到這樣的尷尬——平時用不到，用時想不到！因此，在建模教學(xué)中，需要在正例與反例的對比中，活化模型的選擇與應(yīng)用。如蘇教版數(shù)學(xué)六年級上冊“解決問題的策略——替換”教學(xué)。在學(xué)生充分感知、熟練運用替換的算法模型后，教者出示：“小明原來有一些郵票，今年又收集了24張。送給小軍30張后，還剩54張。小明原來有多少張郵票？” 由學(xué)生試著解答。短暫的沉默后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這道題不適合替換。教者追問：“為什么不適合替換，大家覺得可以怎么解決？”學(xué)生再次回顧替換模型的題型特征——知道總量以及量與量之間的關(guān)系，使用倒推模型解決的同時，學(xué)會辯證地看待模型的功能，活化模型的運用。當(dāng)然，反例的呈現(xiàn)，一定要注意時機的把控，正像沒有建立前，盡量不出現(xiàn)反例。

2.在方法與過程的反省中拓展

模型思想的建立，離不開教者的引導(dǎo)，更依賴于學(xué)生個體的自主性建構(gòu)，要求學(xué)生對自己的活動過程不斷地進行反省，這種反省如同生物體消化食物和吸收養(yǎng)分一樣，必須且別人無法代替。在建模教學(xué)中，反省主要體現(xiàn)在建模結(jié)果與建模過程兩大方面。對建模結(jié)果的反思主要表現(xiàn)為對模型正確性的驗證，如兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算法模型，在學(xué)生建立模型后，可以讓學(xué)生對計算結(jié)果展開驗證與解釋。小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)更傾向于對建模過程的反思，用模型的視角審視模型的建立過程，以拓展學(xué)生的模型認知。如蘇教版（數(shù)學(xué)）三年級上冊“長方形、正方形的認識”教學(xué)，在學(xué)生探究出兩者的特征之后，教者提問：“同學(xué)們，回顧一下剛才的學(xué)習(xí)，我們是怎么得出它們的特征的？”學(xué)生回答出：“先觀察長方形紙片，得到猜想，然后通過量、折、比等活動進行驗證。”引導(dǎo)學(xué)生對學(xué)習(xí)歷程、探究方法的反省。教學(xué)中，對研究視角的反省，也應(yīng)該得以強化，如上述課例，教者安排了讓學(xué)生從學(xué)具袋中（三角形、梯形、長方形各一個）摸出長方形，學(xué)生正確摸出后，教者提問：“大家猜猜看，他可能摸的是哪里？”學(xué)生思考交流，得出，既要摸邊又要摸角，教者適時歸納：“研究一個平面圖形，我們通常就從它的邊和角兩個方面開始?！?/p>

綜上所述，模型思想有其獨特的價值，小學(xué)數(shù)學(xué)教材蘊含大量的建模素材，我們應(yīng)該擁有建模的眼界，超越素材、情境的表面，捕獲其背后的模型，為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的提升做出自己的努力！▲