☉浙江省杭州市余杭實驗中學(xué) 王國軍

2018年是浙江省新高考實施的第二年，也是全國新課標(biāo)（2017版）發(fā)布后的第一年，全國各地數(shù)學(xué)高考試題既注重基礎(chǔ)又兼顧選拔梯度，充分考查了學(xué)生的思維品質(zhì)與學(xué)習(xí)潛能，彰顯了對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查要求.文章以“數(shù)學(xué)運算”素養(yǎng)為切入點，通過高考題談?wù)勅绾卧诮虒W(xué)中提升學(xué)生的核心素養(yǎng).

一、問題的提出

數(shù)學(xué)運算是數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng)之一，是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)，主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設(shè)計運算程序，求得運算結(jié)果等.［1］

數(shù)學(xué)運算是學(xué)生必備的一項基本技能，數(shù)學(xué)運算問題是貫穿整個高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一條主要鏈條，其不僅是按照公式、法則和程序進(jìn)行的簡單操作過程，更是復(fù)雜煩瑣的思維體操過程，借此鍛煉學(xué)生的耐心和意志品質(zhì)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).本文結(jié)合教學(xué)實踐，通過一些具體的案例來剖析學(xué)生數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的培養(yǎng)與提升.

二、問題的解決

數(shù)學(xué)運算是解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題的基本手段，能夠進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，借助運算方法來解決實際問題，通過運算來促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，進(jìn)而讓學(xué)生形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍與嚴(yán)謹(jǐn)求實的科學(xué)精神.

1.掌握基本運算法則，作好基礎(chǔ)鋪墊

例1（2018·江蘇·16）已知α，β為銳角

（1）求cos2α的值；

（2）求tan（α-β）的值.

分析：（1）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系以及二倍角的余弦公式進(jìn)行運算求解；（2）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正切公式以及兩角差的正切公式進(jìn)行運算求解.

解：（1）因為

因為sin2α+cos2α=1，所以

（2）因為α，β為銳角，所以α+β∈（0，π）.

因此tan（α+β）=-2.

點評：涉及此類三角函數(shù)的求值與運算問題，往往綜合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式、三角恒等變換等相應(yīng)的三角公式，并借助三角函數(shù)的求值等來進(jìn)行數(shù)學(xué)運算與處理.在處理集三角函數(shù)的“繁、長、巧”于一體的數(shù)學(xué)運算過程中，要意識到解題環(huán)節(jié)產(chǎn)生的運算，并通過分析進(jìn)行合理調(diào)控，深入理解算理，提高運算的靈活性，提升速度與效益.

2.強化運算技巧意識，分解運算難度

例2（2018·全國卷Ⅱ文·21）已知函數(shù)f（x）=

（1）若a=3，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）證明：f（x）只有一個零點.

分析：（1）先對函數(shù)f（x）求導(dǎo)，結(jié)合f′（x）=0，討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)取值情況，進(jìn)而確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）等價轉(zhuǎn)化，f（x）只有一個零點等價于3a只有一個零點，然后通過對函數(shù)g（x）求導(dǎo)，并利用函數(shù)g（x）的單調(diào)性來轉(zhuǎn)化與確定即可.

解：（1）當(dāng)a=3時

令f（′x）=0解得或

故f（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

當(dāng)且僅當(dāng)x=0時g′（x）=0，

所以g（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，

故g（x）至多有一個零點.

又g（3a-1）＜0，g（3a+1）＞0，故g（x）只有一個零點，即f（x）只有一個零點.

點評：在導(dǎo)數(shù)的運算與證明過程中，通過轉(zhuǎn)化f（x）只有一個零點等價于只有一個零點，并利用函數(shù)g（x）的單調(diào)性來轉(zhuǎn)化與確定即可.通過強化導(dǎo)數(shù)中的運算技巧，往往可以有效降低運算難度，提升解題效益.

3.善于優(yōu)選運算方法，展開豐富聯(lián)想

例3（2018·全國卷Ⅰ理·19）設(shè)橢圓的右焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點，點M的坐標(biāo)為（2，0）.

（1）當(dāng)l與x軸垂直時，求直線AM的方程；

（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點，證明：∠OMA=∠OMB.

分析：（1）根據(jù)已知條件確定直線l的方程，進(jìn)而確定點A的坐標(biāo)，既可求解直線AM的方程.（2）通過對直線l分類討論：直線l與x軸重合；直線l與x軸垂直；直線與x軸不重合也不垂直.然后設(shè)出直線l的方程，通過對直線MA，MB斜率之和的求解，結(jié)合直線與橢圓方程的聯(lián)立，結(jié)合函數(shù)與方程思想，通過kMA+kMB=0，進(jìn)而得到MA，MB的傾斜角互補，得以證明∠OMA=∠OMB.

解：（1）由已知得F（1，0），直線l的方程為x=1，

由已知可得，點A的坐標(biāo)為

所以AM的方程為

（2）證明：當(dāng)l與x軸重合時，∠OMA=∠OMB=0°.

當(dāng)l與x軸不垂直時，OM為AB的垂直平分線，所以∠OMA=∠OMB.

當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時，設(shè)l的方程為x=my+1，則，直線MA，MB的斜率之和為

由x1=my1+1，x2=my2+1，

將x=my+1代入

得（m2+2）y2+2my-1=0，

從而kMA+kMB=0，故MA，MB的傾斜角互補，所以

綜上，∠OMA=∠OMB.

點評：在解決與證明∠OMA=∠OMB時，可以利用直線的斜率和為零加以轉(zhuǎn)化，通過選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程，可以優(yōu)化運算方法，從而達(dá)到快速簡單求解的目的.

4.充分挖掘題目條件，整合知識交匯

例4（2018·浙江·17）已知點P（0，1），橢圓（m>1）上兩點A，B滿足則當(dāng)m=______時，點B橫坐標(biāo)的絕對值最大.

分析：以直線AB的斜率k為自變量，對其斜率是否存在加以分類討論，當(dāng)斜率存在時，設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，得到對應(yīng)的x1與x2的關(guān)系式，并借助得到x1=-2x2，通過消元得到x2的關(guān)系式，利用基本不等式來確定最值，并求得取最值時m對應(yīng)的值.

解析：設(shè)

若直線AB的斜率不存在，則有x2=0，此時有解得m=9.

若直線AB的斜率存在，設(shè)其斜率為k（k>0），則直線AB的方程為y=kx+1，代入橢圓方程，整理可得（4k2+1）x2+8kx+4-4m=0，

綜上所述，可知當(dāng)m=5時，點B橫坐標(biāo)的絕對值最大為2.

點評：涉及此類數(shù)學(xué)運算問題，往往要充分挖掘題目條件，借助平面向量的轉(zhuǎn)化，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合基本不等式來處理.借助圓錐曲線中的代數(shù)運算，考查了數(shù)學(xué)運算求解能力，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

5.深入理解運算內(nèi)涵，進(jìn)行邏輯推理

例5（2018·天津·7）已知雙曲線0）的離心率為2，過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，設(shè)A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1+d2=6，則雙曲線的方程為（ ）.

分析：根據(jù)對稱性可知，F(xiàn)為AB的中點，又結(jié)合梯形的中位線定理得到右焦點F到漸近線的距離，利用點到直線的距離公式求出焦點到漸近線的距離，進(jìn)而得到參數(shù)b的值，并結(jié)合離心率來進(jìn)一步確定參數(shù)a的值，從而求得雙曲線的方程.

解析：因為過右焦點F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，根據(jù)圖形的對稱性可知，F(xiàn)為AB的中點，

根據(jù)梯形的中位線定理可知，右焦點F到漸近線的距離

而焦點F到漸近線的距離

即b=3.

點評：對稱點是解析幾何問題中的和諧元素，我們可以通過對稱點來確定相關(guān)點的坐標(biāo)、建立關(guān)系式、構(gòu)建幾何性質(zhì)與幾何量的關(guān)系等.涉及此類運算的問題，往往通過解析幾何中的對稱思維進(jìn)行邏輯推理，深入運算內(nèi)涵，通過對稱性可知F為AB的中點，為進(jìn)一步利用梯形的中位線定理提供條件，巧妙地達(dá)到優(yōu)化過程、事半功倍的效果.

三、感悟與反思

高中數(shù)學(xué)概念多且抽象性強，而且公式、定理也比較多，需要學(xué)生熟練掌握公式的變形和逆用，因此教學(xué)中需要通過具體典例不斷鞏固，加強辨析，強化記憶，才能熟能生巧.其實，數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)能力的提升與培養(yǎng)是一個循序漸進(jìn)并且螺旋式上升的過程.學(xué)生通過對不同的數(shù)學(xué)運算方式進(jìn)行比較與感悟，加深對數(shù)學(xué)概念的理解與運算規(guī)律的掌握，同時優(yōu)化了數(shù)學(xué)的思維品質(zhì).數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)與數(shù)學(xué)邏輯思維能力的培養(yǎng)與提升是一脈相承、休戚相關(guān).