于得川，齊國(guó)華，魏艷勇

(天津航海儀器研究所，天津 300131)

0 引言

金屬筒形諧振陀螺屬于固體波動(dòng)陀螺的一種，該類陀螺用振動(dòng)元件代替了傳統(tǒng)機(jī)械轉(zhuǎn)子陀螺的機(jī)械轉(zhuǎn)子，用微幅振動(dòng)取代了高速旋轉(zhuǎn)，因而具有精度高、使用壽命長(zhǎng)、穩(wěn)定性好、能耗小、準(zhǔn)備時(shí)間短、工作溫度范圍大、抗電離輻射能力強(qiáng)、對(duì)線性過(guò)載不敏感、機(jī)械部件結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單等突出特點(diǎn)[1-3]。

金屬筒形諧振陀螺的核心敏感部件為諧振子(圖1(a))，其底部貼有壓電陶瓷用于驅(qū)動(dòng)和檢測(cè)。該陀螺的工作原理為，壓電電極的逆壓電效應(yīng)激勵(lì)出諧振子的驅(qū)動(dòng)模態(tài)(圖1 (b))，陀螺敏感軸角速度的哥氏力效應(yīng)激勵(lì)出與驅(qū)動(dòng)模態(tài)振形相差45°的檢測(cè)模態(tài)(圖1 (c))，壓電電極的壓電效應(yīng)檢測(cè)出諧振子的檢測(cè)模態(tài)的振幅，最后壓電電極的輸出信號(hào)經(jīng)外圍電路解調(diào)，即可解算出敏感軸角速度[4]。

(a) 諧振子 (b) 驅(qū)動(dòng)模態(tài) (c) 檢測(cè)模態(tài) 圖1 金屬筒形諧振陀螺核心部件及其工作模態(tài)Fig.1 The key components and work modes of metal cylindrical resonator gyroscope

理想情況下，由筒形諧振子的對(duì)稱性可知，驅(qū)動(dòng)模態(tài)與檢測(cè)的固有頻率是一致的，進(jìn)而驅(qū)動(dòng)模態(tài)與檢測(cè)模態(tài)能夠同時(shí)達(dá)到諧振，使陀螺具有最優(yōu)性能。然而，由于加工誤差、材料密度、應(yīng)力分布不均、壓電粘接不對(duì)稱等非理想因素，導(dǎo)致諧振子在自由振動(dòng)狀態(tài)下出現(xiàn)2個(gè)相互間展成45°的固有軸系，諧振子沿著2個(gè)軸振動(dòng)的固有頻率分別達(dá)到極大值和極小值。這2個(gè)軸稱為諧振子的剛性軸，極大值極小值的頻率差稱為諧振子的頻率裂解。頻率裂解將嚴(yán)重影響陀螺的零偏漂移、靈敏度等性能，過(guò)大的頻率裂解甚至導(dǎo)致諧振子難以產(chǎn)生陀螺效應(yīng)。因此，應(yīng)進(jìn)行必要的頻率修調(diào)以減小或消除頻率裂解[5-6]。

國(guó)外的洛杉磯加州大學(xué)[7-8]、斯坦福大學(xué)[9]、諾丁漢大學(xué)[10,14]以及國(guó)內(nèi)的國(guó)防科技大學(xué)[1,11]、哈爾濱工業(yè)大學(xué)[12]、中國(guó)科學(xué)院電子學(xué)研究所[13]等機(jī)構(gòu)，均已對(duì)相同原理的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱結(jié)構(gòu)的諧振子的頻率修調(diào)理論及修調(diào)方式有了一定的研究。然而，目前對(duì)于該種陀螺的頻率修調(diào)技術(shù)的研究尚缺乏系統(tǒng)化的修調(diào)理論的指導(dǎo)，使得修調(diào)過(guò)程難以量化。本文針對(duì)該金屬筒形諧振陀螺的頻率修調(diào)技術(shù)，闡述了一套更加系統(tǒng)、直觀的修調(diào)理論，并進(jìn)行了仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。由于固有頻率與質(zhì)量相關(guān)，通常諧振子的頻率修調(diào)采用添加或者去除質(zhì)量的方式。因此，本文就質(zhì)量修調(diào)的方式進(jìn)行理論、仿真和實(shí)驗(yàn)的研究。

1 頻率裂解及修調(diào)理論模型

金屬筒形諧振子的最主要振動(dòng)部分為上端的諧振環(huán)，其頻率裂解機(jī)理與環(huán)形諧振子一致，因此，筒形結(jié)構(gòu)可套用環(huán)形諧振子的頻率裂解模型。為了便于論文的表述和理解，這里引入2個(gè)概念：擾動(dòng)模型和修調(diào)模型。擾動(dòng)模型研究的是完美諧振子添加定量擾動(dòng)能引起多少頻率裂解的情況；修調(diào)模型研究的是帶誤差諧振子在何處添加多少擾動(dòng)能修掉頻率裂解。

1.1 質(zhì)量擾動(dòng)模型

現(xiàn)假設(shè)一理想無(wú)誤差諧振環(huán)的質(zhì)量為M0，諧振頻率為ω0。如圖2所示，在諧振環(huán)上添加N個(gè)質(zhì)量點(diǎn)，每個(gè)質(zhì)量點(diǎn)的質(zhì)量為mi，周向位置為φi，i=1,…,N， 那么質(zhì)量分布不均勻?qū)?dǎo)致相差45°的2個(gè)振型，低頻和高頻剛性軸周向位置為(ψ1,ψ2)，且

(1)

圖2 添加質(zhì)量擾動(dòng)的諧振環(huán)Fig.2 Resonance ring with mass perturbation

這里不妨定義剛性軸位置為0～90°的波腹位置，根據(jù)諾丁漢大學(xué)的模型可知，低頻剛性軸位置滿足：

(2)

其中，α2為徑向振幅與切向振幅的比值。并且頻率極大值ω1與頻率極小值ω2分別為：

(3)

其中，M為添加N個(gè)質(zhì)量點(diǎn)之后的總質(zhì)量?，F(xiàn)定義頻率裂解為極大值頻率與極小值頻率的差值，即頻率裂解大于等于零。根據(jù)式(3)可得：

(4)

式(4)左邊又可化為：

(5)

假設(shè)添加質(zhì)量誤差很小，則質(zhì)量誤差引起的頻率裂解之后的諧振頻率與原有諧振頻率相差很小(對(duì)于一般機(jī)加工制造的諧振子，修形前的固有頻率與修形后的固有頻率相差小于0.5%)。因此，式(5)可進(jìn)一步化為：

(6)

那么,將式(6)代入式(4)可得：

(7)

觀察式(7)右邊，暫且令：

(8)

將式(8)代入式(7)可得：

ω1-ω2=acos4ψ1+bsin4ψ1

(9)

由式(2)及式(8)可得：

(10)

綜合式(8)、式(9)與式(10)可得：

(11)

為了進(jìn)一步描述頻率裂解及剛性軸角度位置，現(xiàn)引入2個(gè)參數(shù)σc、σs，稱二者為裂解因子，表示帶誤差諧振子頻率裂解的嚴(yán)重程度，二者的定義式如下：

σc=(ω1-ω2)cos4ψ1

σs=(ω1-ω2)sin4ψ1

(12)

即裂解因子可以通過(guò)測(cè)量頻率裂解和剛性軸角度位置估算得到。根據(jù)式(11)和式(12)不難發(fā)現(xiàn)，頻率裂解及剛性軸位置可用向量表示，(σc,σs)為用坐標(biāo)表示的頻率裂解向量，即：

(13)

(14)

(15)

式(15)即為頻率裂解的質(zhì)量擾動(dòng)模型，顯然質(zhì)量點(diǎn)向量的和與其引起的頻率裂解向量呈線性關(guān)系，即二者方向相反，模的大小為λ倍關(guān)系。

1.2 質(zhì)量修調(diào)模型

現(xiàn)考慮一帶誤差諧振子，其初始頻率裂解向量為Δ0ej4ψ01，對(duì)應(yīng)的裂解因子為(σ0c,σ0s)。根據(jù)式(15)在諧振環(huán)上添加N個(gè)質(zhì)量點(diǎn)進(jìn)行頻率修調(diào)，修調(diào)后的頻率裂解可表達(dá)為：

(16)

修調(diào)后裂解因子所表示的向量為：

(17)

修調(diào)后的剛性軸位置滿足的關(guān)系式簡(jiǎn)化為：

(18)

式(16)、式(17)、 式(18)即為帶誤差的諧振子的質(zhì)量修調(diào)模型。質(zhì)量修調(diào)的目的是尋找合適的質(zhì)量點(diǎn)及其位置，使得修調(diào)后的頻率裂解為零，或者裂解因子全為零，即：

(19)

將這一修調(diào)目的式代入式(16)或者式(17)，即可得到修調(diào)方程：

(20)

或者：

(21)

通過(guò)求解修調(diào)方程式(20)或者式(21)，即可求得質(zhì)量修調(diào)的位置，以及需要添加或者去除質(zhì)量的大小。然而，在上述修調(diào)方程中，質(zhì)量敏感系數(shù)λ是一個(gè)未知量，需要在修調(diào)實(shí)驗(yàn)中進(jìn)行標(biāo)定。

對(duì)于以上修調(diào)模型，考慮一些特殊情況，可推導(dǎo)出一些簡(jiǎn)單的結(jié)論：

當(dāng)N=1，即只添加一個(gè)大小為m1的質(zhì)量點(diǎn)進(jìn)行修調(diào)，設(shè)其位置為φ1，代入方程式(20)得：

Δ0ej4ψ01-λm1ej4φ1=0

(22)

求解以上方程可得2組解：

(23)

此組解代表添加質(zhì)量點(diǎn)修調(diào)的情況：

(24)

此組解代表去除質(zhì)量點(diǎn)修調(diào)的情況，其中，k=0,1,2,3。顯然這里(4ψ01+2kπ)/4代表的是修調(diào)前的修諧振子的4個(gè)高頻剛性軸的位置，(4ψ01+(2k+1)π)/4代表的是4個(gè)低頻剛性軸的位置。

以上2組解表明，質(zhì)量修調(diào)既可以在高頻振型的4個(gè)波腹位置添加質(zhì)量，也可在低頻振型的4個(gè)波腹位置去除質(zhì)量，如圖3所示。兩種修調(diào)方式對(duì)頻率裂解的影響是一致的，但對(duì)2個(gè)極值頻率的影響卻有所不同：添加質(zhì)量修調(diào)，會(huì)使高頻振型的頻率減小，使之朝著接近低頻振型的頻率變化，進(jìn)而達(dá)到修調(diào)目的；去除質(zhì)量修調(diào)的機(jī)理正好與之相反。

2 頻率修調(diào)仿真

這里利用ANSYS有限元分析軟件，通過(guò)模態(tài)分析功能，分別仿真了筒形諧振子的質(zhì)量擾動(dòng)模型和質(zhì)量修調(diào)模型。

2.1 質(zhì)量擾動(dòng)模型仿真

如前所述，擾動(dòng)模型研究的是完美諧振子添加定量擾動(dòng)能夠引起多少頻率裂解的情況。首先在ANSYS中建立了完美無(wú)誤差筒形諧振子的有限元模型，如圖4所示。諧振子材料為XX合金，其材料屬性如表1所示。

圖4 筒形諧振子的理想有限元模型Fig.4 Ideal finite element model of cylindrical resonator

表1 金屬諧振子的材料屬性Tab.1 Material properties of metal resonator

通過(guò)模態(tài)分析可得諧振子的2個(gè)工作模態(tài)如圖5所示，對(duì)應(yīng)頻率分別為x542.07Hz，x542.09Hz，頻率裂解只有0.02Hz，可忽略不計(jì)，認(rèn)為是理想諧振子。

圖5 筒形諧振子的兩工作模態(tài)Fig.5 Two working modes of cylindrical resonator

通過(guò)在諧振子唇沿上添加mass21單元模擬質(zhì)量擾動(dòng)，單元實(shí)常數(shù)的正負(fù)代表添加或者去除質(zhì)量。分別在諧振子唇沿的任意角度位置，添加不同的質(zhì)量點(diǎn)，進(jìn)行模態(tài)分析，得到不同質(zhì)量點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率裂解如表2所示。

表2 不同質(zhì)量點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率裂解Tab.2 Frequency split corresponding to different mass points

同時(shí)，圖6所示為頻率裂解與質(zhì)量點(diǎn)的關(guān)系曲線，不難發(fā)現(xiàn)，在固定位置添加質(zhì)量點(diǎn)引起的頻率裂解與質(zhì)量成正比，符合擾動(dòng)模型。比例系數(shù)即為式(15)擾動(dòng)模型中的質(zhì)量敏感系數(shù)λ，在圖6中對(duì)應(yīng)為直線的斜率。根據(jù)圖6中直線的斜率，可以算得該結(jié)構(gòu)的諧振子的質(zhì)量敏感系數(shù)為 3.105mg/Hz。

圖6 頻率裂解與質(zhì)量關(guān)系曲線Fig.6 Relationship curve of frequency split and mass

2.2 質(zhì)量修調(diào)模型仿真

同樣，修調(diào)模型考慮在帶誤差諧振子上添加質(zhì)量點(diǎn)進(jìn)行頻率裂解消除的情況。在以上建立的無(wú)誤差模型的基礎(chǔ)上，通過(guò)該變諧振子局部單元的密度、楊氏模量使諧振子產(chǎn)生頻率裂解。圖7所示為一個(gè)帶誤差諧振子的頻率裂解模型，其頻率裂解大小為10.17Hz，高頻剛性軸位置為76.83°，低頻剛性軸位置為31.83°。

圖7 帶誤差諧振子模態(tài)分析結(jié)果Fig.7 Modal analysis results with error harmonic oscillator

根據(jù)式(23)、式(24)可知，在諧振子唇沿76.83°、166.83°、256.83°、346.83°位置添加質(zhì)量點(diǎn)，或者在31.83°、121.83°、211.83°、301.83°位置去除質(zhì)量點(diǎn)(單元實(shí)常數(shù)為負(fù))均可消除頻率裂解。為保證諧振子的對(duì)稱性，同時(shí)在4個(gè)對(duì)稱的位置添加或者去除相同的質(zhì)量。這里分別仿真了添加和去除不同質(zhì)量頻率裂解的變化情況，結(jié)果如圖8所示。顯然由式(22)可知，在剛性軸的正對(duì)位置添加或者去除質(zhì)量，頻率裂解與質(zhì)量點(diǎn)大小呈線性關(guān)系，圖8的仿真結(jié)果驗(yàn)證了這一結(jié)論。

(a) 高頻軸加點(diǎn)修調(diào)

(b) 低頻軸去點(diǎn)修調(diào)圖8 添加正/負(fù)質(zhì)量點(diǎn)頻率裂解變化曲線Fig.8 Frequency splitting curve after adding positive/negative mass point

根據(jù)式(23)以及圖8的仿真結(jié)果，最終在諧振子76.83°、166.83°、256.83°、346.83°位置添加3.274mg正質(zhì)量點(diǎn)，頻率裂解被修調(diào)至0.010Hz，在31.83°、121.83°、211.83°、301.83°位置，添加3.275mg負(fù)質(zhì)量點(diǎn)，頻率裂解被修調(diào)至0.011Hz。

3 頻率修調(diào)實(shí)驗(yàn)

3.1 修調(diào)系統(tǒng)

根據(jù)恒彈性合金諧振子的特點(diǎn)，搭建了一套電磁激勵(lì)、聲場(chǎng)檢測(cè)系統(tǒng)來(lái)測(cè)試諧振子的頻率裂解及剛性軸位置。如圖9所示，整套系統(tǒng)由諧振子及其支承座、微型轉(zhuǎn)臺(tái)、電磁鐵、微麥克風(fēng)、XY軸位移平臺(tái)、頻率響應(yīng)分析儀、微型臺(tái)鉆組成。

采用NF FRA5097頻率響應(yīng)分析儀進(jìn)行頻率裂解的測(cè)試，測(cè)試原理如圖9右邊所示[15]。頻率響應(yīng)分析儀的OSC通道產(chǎn)生交流信號(hào)輸出給INPUT1通道，同時(shí)給電磁鐵進(jìn)行掃頻，電磁鐵產(chǎn)生的交變磁力激勵(lì)諧振子產(chǎn)生振動(dòng)。對(duì)于在空氣中振動(dòng)的諧振子，其聲壓場(chǎng)的分布如圖10所示，顯然振形波腹處對(duì)應(yīng)最高聲壓壓強(qiáng)，在波節(jié)點(diǎn)處對(duì)應(yīng)最低聲壓壓強(qiáng)，并且聲壓變化的梯度方向指示了模態(tài)振型的方向，因此，采用微麥克風(fēng)檢測(cè)諧振子的振動(dòng)信號(hào)。微麥克風(fēng)將諧振子的振動(dòng)轉(zhuǎn)化為電壓信號(hào)，輸入到頻率響應(yīng)分析儀的INPUT2通道。通過(guò)一定頻率范圍的掃頻，頻率響應(yīng)分析儀根據(jù)2個(gè)INPUT通道的幅值比實(shí)時(shí)地進(jìn)行頻率響應(yīng)分析，從而能夠得到頻率響應(yīng)曲線。幅頻特性曲線的最大值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率即為諧振頻率。

圖9 頻率修調(diào)系統(tǒng)以及模態(tài)測(cè)試系統(tǒng)原理圖Fig.9 Principle diagram of frequency tunning system and modal test system

圖10 諧振子振動(dòng)時(shí)聲壓分布Fig.10 Sound pressure distribution in the vibration of a resonator

通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)臺(tái)測(cè)試不同角度位置的頻率響應(yīng)曲線，即可判斷出剛性軸位置及頻率裂解大小。對(duì)于金屬筒形諧振子，去除質(zhì)量修調(diào)是最簡(jiǎn)單方便的修調(diào)方式，本實(shí)驗(yàn)采用微型臺(tái)鉆在低頻軸對(duì)應(yīng)角度位置輕微地鉆出微槽實(shí)現(xiàn)質(zhì)量的去除。

3.2 修調(diào)過(guò)程及結(jié)果

首先進(jìn)行諧振子模態(tài)測(cè)試，當(dāng)電磁鐵對(duì)應(yīng)諧振子上的激勵(lì)位置沒(méi)有對(duì)準(zhǔn)某一剛性軸，而是處于兩軸之間時(shí)，兩模態(tài)位置均會(huì)受到電磁分力，掃頻過(guò)程中兩模態(tài)會(huì)被依次激勵(lì)，掃頻結(jié)果如圖11(a)所示。通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)臺(tái)調(diào)整激勵(lì)位置，當(dāng)頻率響應(yīng)曲線只有一個(gè)峰的時(shí)候，對(duì)應(yīng)激勵(lì)位置即對(duì)準(zhǔn)了剛性軸的位置，圖11(b)、(c)所示分別為對(duì)準(zhǔn)低頻軸和高頻軸的情況，諧振子的頻率裂解為8.72Hz，低頻軸對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)臺(tái) 11°、101°、191°、281°位置。

(a)

(b)

(c)圖11 修調(diào)前諧振子掃頻曲線Fig.11 Sweep frequency curve of resonator before tunning

根據(jù)仿真結(jié)果，該結(jié)構(gòu)的諧振子對(duì)應(yīng)的質(zhì)量敏感系數(shù)為3.105mg/Hz，修掉該諧振子8.72Hz的頻率裂解總共需去除2.8mg質(zhì)量，平均分配到4個(gè)對(duì)稱位置上，每個(gè)位置需要去除0.7mg質(zhì)量。本實(shí)驗(yàn)所用微型鉆臺(tái)的鉆頭直徑有0.6mm和0.4mm兩種，0.6mm的鉆一次去除量約為0.3mg，對(duì)應(yīng)頻率裂解約1Hz;0.4mm的鉆用于精調(diào)，利用鉆尖輕微鉆一下可實(shí)現(xiàn)0.01～0.1mg的微量去除，對(duì)應(yīng)頻率裂解約0.03～0.3Hz。

圖12所示為修調(diào)后的諧振子，諧振子唇沿上孔的編號(hào)對(duì)應(yīng)打孔的順序，每次修調(diào)后的頻率變化情況如表3所示。

圖12 諧振子打孔修調(diào)順序Fig.12 Tuning sequence of resonator punch

表3 修調(diào)過(guò)程頻率變化Tab.3 Frequency change of tunning process

表3的結(jié)果可按照上文已推導(dǎo)的算法進(jìn)行修調(diào)，頻率裂解得到有效減小，而且減小量近似于去除量，呈線性變化，再次驗(yàn)證了上述理論的正確性。根據(jù)打孔的體積與材料密度以及頻率裂解的變化，估算該諧振子的實(shí)際質(zhì)量敏感系數(shù)約為2.5mg/Hz,小于仿真結(jié)果(3.105mg/Hz),這是由于較深的孔降低了諧振對(duì)應(yīng)位置的剛度。

4 結(jié)論

1)根據(jù)環(huán)形結(jié)構(gòu)質(zhì)量擾動(dòng)模型，推導(dǎo)了修調(diào)質(zhì)量點(diǎn)與頻率裂解更加直觀的向量形式，即頻率裂解可表示為一向量，消除裂解向量的最佳方式即在其反向添加質(zhì)量或者正向去除質(zhì)量，構(gòu)造負(fù)向量與其抵消。

2)針對(duì)金屬筒形諧振結(jié)構(gòu)，通過(guò)仿真與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了這一理論，在高頻剛性軸添加質(zhì)量或者在低頻剛性軸去除質(zhì)量均可達(dá)到頻率修調(diào)的目的，進(jìn)而達(dá)到改善陀螺性能的目的。