葛寶爽，張 海，王湘萍

(1.北京航空航天大學自動化科學與電氣工程學院，北京 100083；2.北京公共交通控股(集團)有限公司，北京 100161)

0 引言

模型失配是造成機動目標跟蹤精度下降甚至目標丟失的主要原因[1]。在標準卡爾曼濾波(Standard Kalman Filter，SKF)中，目標實際運動與濾波模型不一致，將會導致濾波精度迅速下降甚至發(fā)散，最終導致目標跟蹤失敗。模型失配的主要原因是其所跟蹤目標的運動特性復雜，建立的運動模型難以有效描述跟蹤目標的各種運動狀態(tài)。為了提高對目標的跟蹤能力，目前針對模型失配的解決方案主要有：目標運動模型的增廣改進方案和采用濾波技術對目標狀態(tài)估計的在線校正方案。

運動模型的增廣改進方案以常速(Constant Velocity，CV)模型為基礎。由于CV模型對運動物體作常速假設，因此，該模型對非機動目標跟蹤精度較高，但對于機動目標其跟蹤精度將會嚴重下降，甚至丟失目標。為了改進CV模型將加速度作為隨機誤差(零均值高斯白噪)的假設，常加速度(Constant Acceleration，CA)模型將加速度增廣為狀態(tài)以增強濾波的跟蹤性能。然而，實際中跟蹤目標的加速度通常是與時間相關的，CA模型僅對加速度作了常量假設。Singer模型則考慮到了加速度變化的相關特性，將加速度的變化用一階時間相關模型表示[2]。Singer模型在預設特定模型參數(shù)后，顯現(xiàn)出良好的跟蹤性能，但當目標機動狀態(tài)改變時，其跟蹤性能將會下降。通過增廣狀態(tài)對運動模型進行改進，一般增廣后的模型對機動性目標匹配較好，其跟蹤性能顯著提高，但對非機動目標跟蹤時會因模型失配導致其精度低于CV模型。另外，由于跟蹤目標運動的極不規(guī)則性，采用上述任一模型都僅能與目標某段時間間隔內的運動相匹配，而不能很好地匹配整個運動過程。也就是說，在使用上述模型進行濾波時，模型失配問題是始終存在的。交互式多模方案通過Markov鏈對多個模型間濾波狀態(tài)進行融合，但其一方面受到計算量的約束，另一方面仍然依賴于單個模型的性能及整個模型集的選擇[3-4]。變維數(shù)濾波方案，則是在檢測到目標機動后，通過增廣狀態(tài)對不同濾波模型間進行切換，一般在非機動時采用低維數(shù)濾波模型(CV模型)以適應運動的平穩(wěn)性，而在機動狀態(tài)下采用更高維的濾波模型(CA模型或Singer模型)以刻畫運動的隨機性[5-7]。通過改變維數(shù)對不同模型間進行切換時，在由高維模型向低維切換時，需要在機動結束時刻進行檢測，然而由于機動過程模式多樣，機動結束時刻較機動開始時刻的檢測通常是更加困難的[8]，另外其隱含要求在向低維模型切換時，高維模型加速度估值應接近零值。

方差膨脹作為較易實現(xiàn)的濾波技術方案，在檢測到模型失配時，通過對過程噪聲陣的膨脹來降低模型的可信度以減小狀態(tài)估計誤差[5]。然而，由于濾波狀態(tài)模型的方差是在檢測到目標機動后才進行膨脹的，因此，其動態(tài)響應存在一定的延時。另外，一些學者將遺忘因子引入到SKF中，形成了強跟蹤濾波器(Strong Tracking Kalman Filter，STKF)[9-11]。STKF中的遺忘因子保證了濾波輸出殘差的正交特性，在模型失配的情況下，可從殘差序列中提取更多的有效信息以調節(jié)濾波增益陣，其對目標機動過程中的參數(shù)變動具有較強的魯棒性[12]。STKF的實質是一種帶漸消因子的Kalman濾波器，現(xiàn)有算法多采用經驗估測或計算機仿真來選擇弱化因子并將其固化，這將在某種程度上降低STKF的跟蹤性能[13]。

實際運動物體的加速度變化極不規(guī)則,很難用復雜的模型來描述加速度的變化,并且復雜模型在非機動狀態(tài)下仍然存在模型失配的問題。不同于以上試圖通過對目標加速度的估計或建模來減小由于模型失配所引起的濾波誤差的增廣方案，本文從狀態(tài)估計誤差的角度考察了模型失配的影響，并將其直接增廣為一狀態(tài)量，增廣后的運動模型在濾波過程中具有自適應調節(jié)遺忘因子的等效特性，增強了對目標的跟蹤性能。

1 Kalman濾波模型失配

1.1 標準Kalman濾波

設線性系統(tǒng)的離散狀態(tài)模型為

Xk=Φk,k-1Xk-1+Wk-1

Zk=HkXk+vk

(1)

式中，Xk為狀態(tài)量，Фk,k-1為狀態(tài)轉移矩陣，Zk為量測量，Hk為量測矩陣。Wk-1為過程噪聲，vk為量測噪聲，且有

(2)

式中，E[]為均值算子，δkj為Kronecker-δ函數(shù)。

SKF算法實現(xiàn)過程如下：

1)初始化

(3)

2)時間更新

(4)

3)濾波增益

(5)

4)量測更新

Pk=(I-KkHk)Pk/k-1

(6)

1.2 模型失配誤差模型

在SKF中，當濾波模型與實際模型不完全一致時，會導致濾波中的各狀態(tài)量與實際狀態(tài)量間隱含存在一微小偏移量εk。為了能夠得到更加準確的濾波估計值，對式(1)所述系統(tǒng)模型進行重新建模?？紤]模型失配誤差εk，系統(tǒng)狀態(tài)模型為

Xk=Φk,k-1Xk-1+εk+Wk-1

(7)

對式(7)移項變形可得

(8)

由式(8)可得

(9)

將式(9)改寫為矩陣形式

(10)

模型誤差εk通常與狀態(tài)相關，其真實傳播特性通常十分復雜，更一般的誤差模型形式為[14]

εk=εk-1+g(Xk-1)

(11)

式(11)在實際運用中很不方便，由于εk在短時間內變化比較微弱，可將式(11)簡化為隨機游走過程，其建模如下

εk=εk-1+Nk-1

(12)

從式(9)或式(10)可以看出，模型誤差是通過狀態(tài)轉移矩陣從上一時刻傳遞到當前時刻，并作用到當前各狀態(tài)量中的，因此狀態(tài)轉移矩陣描述了各狀態(tài)量間的相互傳遞關系。

2 增廣誤差濾波

2.1 增廣誤差模型

將模型誤差εk增廣為狀態(tài)量，結合式(10)與式(12)可得

(13)

對于系統(tǒng)量測模型有

Zk=HkXk+vk

(14)

將式(14)改寫為矩陣形式：

(15)

式(15)則為增廣后的量測模型。

聯(lián)立式(13)與式(15)則可得增廣模型誤差后的系統(tǒng)模型為

(16)

2.2 增廣誤差濾波設計

本文所設計的增廣模型失配誤差濾波器不同于普通的增廣狀態(tài)濾波器與帶有未知輸入狀態(tài)的增廣濾波器，其將模型失配所引起的狀態(tài)估計誤差直接引入到原始狀態(tài)中，在進行完整濾波后，再對各原始狀態(tài)利用增廣誤差狀態(tài)的估計值進行校正，以提高各原始狀態(tài)的濾波精度。

為了便于書寫，增廣后的系統(tǒng)模型可改寫為如下形式：

(17)

采用Kalman濾波技術，可得狀態(tài)的最優(yōu)估計解：

(18)

(19)

(20)

Pk-1=(I-Kk-1Lk-1)Pk-1/k-2

(21)

按照式(18)～式(21)進行遞推便可得到k時刻的狀態(tài)估計值：

(22)

由式(22)可得最終狀態(tài)估計值：

(23)

2.3 增廣誤差濾波分析

(24)

則k時刻的估計均方誤差陣為

(25)

由式(20)的遞推關系，可得一步預測方差陣為

(26)

式中，

(27)

為了書寫方便，將式(26)一步預測方差陣記為如下形式：

Pk+1/k

(28)

式中，

(29)

易知存在矩陣Λ：

(30)

(31)

由式(31)可得，增廣狀態(tài)誤差后的濾波器可等效為一種帶多重時變漸消因子的Kalman濾波器。自適應多重漸消因子的引入，使增廣狀態(tài)誤差濾波具有了強跟蹤的性能。

3 仿真驗證

為了能夠驗證本文增廣誤差模型算法(Augmented Bias Model Algorithm，ABMA)對機動目標的跟蹤能力，通過模擬產生復雜運動路徑，進行仿真實驗，并與SKF及STKF進行比較。

在仿真實驗中，運動軌跡既包含機動較弱的勻速運動過程，又包含機動較強的變速運動及正弦機動的情況。整個運動過程如表1所示。目標在前700s內為直線運動，隨后作曲線運動，在變加速運動階段采用指數(shù)相關模型生成軌跡[4]。

表1 目標機動過程Tab.1 Target manueuvering process

從濾波結果中可以看出，跟蹤目標在前200s非機動運動時，三種濾波方法之間沒有明顯差異，這是因為三種算法的狀態(tài)方程均是采用低維的CV模型或其狀態(tài)誤差增廣形式；對于201～600s期間加速機動的情況，與其他兩種算法相比，使用ABMA算法可以顯著消除由模型失配而引起的濾波偏差。需要注意的是，ABMA算法在目標機動發(fā)生突變時，需要一定時間來保持濾波穩(wěn)定。由圖2及圖4中701～1100s的濾波誤差可以看出，雖然位置坐標的2個量測量間是相互獨立的，但在STKF濾波過程中采用的是全局衰減因子，當運動目標沿著X軸方向作變加速機動時，將會導致其Y軸方向上的估計誤差增加。由于本文所提ABMA算法對狀態(tài)誤差進行了有效估計，其濾波精度明顯優(yōu)于STKF算法。此外，在1101～1300s期間，當運動目標作正弦機動時，其模型失配誤差同樣被ABMA算法有效消除。

圖1 X軸位置濾波誤差Fig.1 X-axis position errors

圖2 Y軸位置濾波誤差Fig.2 Y-axis position errors

圖3 X軸速度濾波誤差Fig.3 X-axis velocity errors

圖4 Y軸速度濾波誤差Fig.4 Y-axis velocity errors

4 結論

本文針對目標跟蹤中濾波模型的失配問題，提出了一種增廣狀態(tài)誤差的濾波方案。算法分析與實驗結果表明：

1)模型誤差通過狀態(tài)轉移矩陣對濾波結果產生影響。本文所建立的增廣狀態(tài)誤差模型是將由模型失配引起的狀態(tài)誤差增廣為狀態(tài)量，為后續(xù)研究模型失配問題提供了新的思路。

2)基于增廣狀態(tài)誤差模型所設計的濾波器，可等效為一種帶多重時變漸消因子的Kalman濾波器，具有強跟蹤濾波器的性質，對機動目標的跟蹤能力更強。

3)本文所提增廣狀態(tài)誤差濾波方案在對機動突變目標進行跟蹤時，需要一定的濾波穩(wěn)定時間，因此需要進一步完善。在對于要求較高的場合，在應用該模型時需要同時使用其他輔助的濾波技術以加快濾波收斂。