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        利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值

        2019-01-28 08:35:46成都市石室中學(xué)文廟校區(qū)劉禎穎
        亞太教育 2018年5期
        關(guān)鍵詞:偶函數(shù)奇函數(shù)奇偶性

        ▍成都市石室中學(xué)(文廟校區(qū)) 劉禎穎

        什么是函數(shù)的奇偶性?根據(jù)相關(guān)教材,有如下定義:

        如果對(duì)于函數(shù)f(x),其定義域與原點(diǎn)對(duì)稱,并且,對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有等式f (-x)=-f (x)[或f (-x)=f (x)]成立,那么函數(shù)f (x)就叫作奇函數(shù)(或偶函數(shù))。

        定義揭示了奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義域是對(duì)稱于原點(diǎn)的實(shí)數(shù)集。如果定義域不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的,則必不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。因此,判斷一個(gè)函數(shù)的奇偶性,應(yīng)首先判斷它的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,然后再判斷f (-x)與f (x)的關(guān)系。

        我們注意到,在定義中,我們使用的是等式f (-x)=-f (x)[或f (-x)=f (x)]來表示函數(shù)f (x)的對(duì)稱關(guān)系。事實(shí)上,這兩個(gè)等式還有一些相應(yīng)的等價(jià)變形可供我們利用,如等等。解:(1)函數(shù)定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的。

        (2)f (x)是周期函數(shù),其周期可以通過將其變形求得。

        (3)事實(shí)上,在本例中,關(guān)于等式f (-x)=-f (x)的驗(yàn)證,我們還可以以如下方式進(jìn)行。

        ∴f (-x)=-f (x),∴f (x)為奇函數(shù)

        解:顯然,f (x)的定義域?yàn)閷?duì)稱區(qū)間。

        ∴f (-x)=-f (x),為奇函數(shù)。

        利用上面的這些關(guān)系,我們往往可以非常簡(jiǎn)單地確定一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)的值。

        例 3:已知 f (x)=ax9+bx7+cx5+dx3+ex,且f(3)=7,求f (-3)=?

        解:顯然,由于f (x)中的系數(shù)a,b,c,d,e未知,且已知條件只有f (3)=7,要想通過求出a,b,c,d,e的值來求出f (-3)的值是很困難的。但注意到,f (x)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且式中各項(xiàng)的次數(shù)為奇數(shù),據(jù)此可確定f(x)為奇函數(shù),f (-x)=-f (x)

        ∴ f (-3)=-f (3)=-7

        ∴f (-x)=-f (x),∴f (x)為奇函數(shù)

        ∴ f (b)=-f (b)=-c

        例5:已知f (x)為奇函數(shù),在區(qū)間(-2,2)上單調(diào)遞減,且 f (2+a)+f (1-2a)>0,求 a的范圍。

        解: ∵ f (2+a) + f (1-2a) > 0

        ∴ f (2+a) - f (1-2a) > 0

        又 ∵ f (x)為奇函數(shù),定義在(-2,2)上單調(diào)遞減

        ∴ f (2+a) > - f (1-2a) = f (2a-1)

        ∴ 2+a < 2a-1 且 -2 < 2+a < 2,-2 < 2a-1< 2

        此組不等式無解。故不存在滿足條件的f (x)。

        ∵ f (x)的定義域?yàn)閤≠0,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且

        ∴ f (x)為偶函數(shù),∴ f (-1) = f (1) =1

        綜上所述,函數(shù)的奇偶性的有關(guān)表達(dá)式在碰到有關(guān)函數(shù)值的計(jì)算時(shí),往往能夠簡(jiǎn)化計(jì)算步驟,得到較好的結(jié)果。

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