李林利 薛春霞

(中北大學(xué)理學(xué)院,太原 030051)

(2018年9月15日收到;2018年11月14日收到修改稿)

運(yùn)用彈性力學(xué)有限變形基本理論推導(dǎo)出了壓電材料雙曲殼在外激力和溫度場(chǎng)作用下的非線性振動(dòng)方程和協(xié)調(diào)方程.通過Bubnov-Galerkin原理,得到該結(jié)構(gòu)的非線性動(dòng)力學(xué)方程.利用Melnikov方法,得到系統(tǒng)產(chǎn)生Smale馬蹄變換意義下混沌的條件,用四階Runge-Kutta法編寫程序?qū)ο到y(tǒng)進(jìn)行數(shù)值求解,并繪制出相應(yīng)的分岔圖、Lyapunov指數(shù)圖、相軌跡圖以及Poincaré截面圖,分析了溫度場(chǎng)對(duì)壓電材料雙曲殼系統(tǒng)的非線性特性的影響.仿真結(jié)果表明,隨著溫度的升高,系統(tǒng)的混沌與周期區(qū)交替出現(xiàn),溫度場(chǎng)的改變可影響和控制系統(tǒng)的振動(dòng)特性.

1 引 言

隨著現(xiàn)代高新科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展,壓電材料作為智能材料的一種,具有薄而輕、成本低、響應(yīng)速度快、轉(zhuǎn)換效率高、壽命長(zhǎng)等優(yōu)點(diǎn),被廣泛應(yīng)用于眾多高科技設(shè)備和壓電智能器件中.而雙曲殼結(jié)構(gòu)作為工程中常見的結(jié)構(gòu)之一,常在機(jī)械場(chǎng)和溫度場(chǎng)等多場(chǎng)作用的環(huán)境下工作,其動(dòng)力特性對(duì)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)安全有重要影響.因此對(duì)壓電材料雙曲殼在熱彈耦合作用下的動(dòng)力學(xué)分析具有重要的理論意義和實(shí)用價(jià)值.國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)普通彈性梁板結(jié)構(gòu)在熱、電、磁多物理場(chǎng)耦合作用下混沌非線性動(dòng)力學(xué)行為的研究,已取得了一定的成果[1-5].薛春霞等[6]分析了磁感應(yīng)強(qiáng)度和外載荷對(duì)金屬薄板振動(dòng)特性的影響.陳趙江等[7]通過實(shí)驗(yàn)方法和理論推導(dǎo)對(duì)高功率超聲脈沖激勵(lì)下金屬薄板的振動(dòng)特性進(jìn)行了分析研究.與此同時(shí),對(duì)一些特殊功能材料板振動(dòng)問題的研究也取得了顯著成就[8,9].Hao等[10]首次在熱環(huán)境下分析了簡(jiǎn)支功能梯度材料(FGMS)矩形板在橫向和平面激勵(lì)下的非線性動(dòng)力學(xué)問題.栗蕾[11]系統(tǒng)地研究了考慮初始缺陷的網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的非線性動(dòng)力學(xué)行為和系統(tǒng)整體穩(wěn)定性等問題.周運(yùn)朱[12]通過幾何非線性和幾何材料雙重非線性,分析和考察了復(fù)雜曲面單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性能.曹洲等[13]分析了各物理參數(shù)和溫度場(chǎng)對(duì)功能梯度夾層雙曲殼自由振動(dòng)固有頻率的影響.此外,數(shù)值模擬驗(yàn)證非線性系統(tǒng)的混沌動(dòng)力學(xué)特性方面的研究對(duì)理論的分析奠定了必要的基礎(chǔ)[14-16].

綜上所述,對(duì)于雙曲殼結(jié)構(gòu)在熱彈耦合作用下的混沌運(yùn)動(dòng)研究的較少.本文以壓電材料雙曲殼結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象,通過MATLAB軟件建立數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行數(shù)值計(jì)算,對(duì)在溫度場(chǎng)和簡(jiǎn)諧外激勵(lì)共同作用下的非線性振動(dòng)行為進(jìn)行分析.結(jié)果表明,溫度場(chǎng)的改變可影響和控制系統(tǒng)的振動(dòng)特性.

2 壓電材料雙曲殼的基本方程

薄殼振動(dòng)理論的基本假設(shè):

1)變形前垂直中曲面的直線在變形后仍保持直線,并垂直中曲面;

2)沿中曲面垂直方向的法向應(yīng)力忽略不計(jì);

3)忽略不計(jì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣性力矩和面內(nèi)慣性力.

四邊簡(jiǎn)支壓電材料雙曲殼模型如圖1所示,在雙曲殼模型的中面建立正交曲線坐標(biāo)系(x1,x2,x3),坐標(biāo)原點(diǎn)為o點(diǎn).圖中x1,x2分別是中面曲率線方向,x3表示沿著厚度的方向,向上為正方向;a表示沿x1坐標(biāo)方向的中面曲線長(zhǎng)度,b表示沿x2坐標(biāo)方向的中面曲線長(zhǎng)度;R1,R2分別表示x1,x2坐標(biāo)方向上的曲率半徑;h表示雙曲殼的厚度.

圖1 壓電材料雙曲殼模型Fig.1.Hyperbolic shell model for piezoelectric materials.

對(duì)于橫觀各向同性壓電材料的雙曲殼,在考慮溫度效應(yīng)時(shí)的壓電方程[17]如下:

其中t31=Eα/(1-2υ)為熱-機(jī)械耦合常數(shù),E和υ分別為楊氏模量和泊松比,α為線性膨脹系數(shù);C為比熱,c11,c12,c21,c22,c66表示壓電材料的剛度;e31為壓電系數(shù),ε3為介電系數(shù),m3為熱-壓電耦合常數(shù),E3為電場(chǎng),T為溫度增量;而σ1,σ2和τ12分別表示x1方向和x2方向的正應(yīng)力和切應(yīng)力;DE表示電位移,S表示熵,α0=C/T0,T0是初始溫度.

應(yīng)用已知的扁殼大撓度幾何方程,得到雙曲殼的位移應(yīng)變關(guān)系為[18]:

其中,k1=1/R1,k2=1/R2.

設(shè)變溫T(x1,x2,x3)=T0(x1,x2)+x3(x1,x2),其中,T0(x1,x2)是初始狀態(tài)時(shí),沿殼體厚度方向分布的平均溫度,(x1,x2)是溫度梯度.設(shè)f1(ξ,η)和f2(ξ,η)是殼體的內(nèi)、外表面的溫度,而且

其中,

薄膜內(nèi)力

彎曲內(nèi)力

雙曲殼的運(yùn)動(dòng)方程[19]

其中,Q1,Q2分別是垂直于x1軸及垂直于x2軸的截面上單位寬度的橫向剪力.通過引入Airy應(yīng)力函數(shù)φ可以簡(jiǎn)化求解過程:

將(7)式代入(5)式,再代入方程(6),由于c11=c22,注意到c11=c12+2c66,可得到壓電材料矩形板的橫向熱振動(dòng)方程如下:

協(xié)調(diào)方程為:

?Γ為高斯曲率的改變,

由于雙曲殼是扁殼,可近似地由撓度w所產(chǎn)生的中曲面的主曲率和扭率表示

結(jié)合(1),(2)和(7)式,并代入方程(9)中,協(xié)調(diào)方程變型為

方程(8)和(11)是熱彈耦合作用下的薄殼大撓度問題的非線性振動(dòng)方程組.不考慮材料壓電特性時(shí),對(duì)比文獻(xiàn)[20,21],對(duì)于熱彈耦合作用下的普通彈性板殼結(jié)構(gòu)該方程組仍適用,故本文的方法和結(jié)論具有可靠性.

四邊簡(jiǎn)支的雙曲殼的邊界條件為:

為簡(jiǎn)化計(jì)算,令R1=R2=R,引入無量綱參數(shù)ξ=x1/R,η=x2/R,橫向位移w設(shè)為

式中α1= πR/a,β1= πR/b.

由方程(8)得:

將方程(12)代入方程(11),解出應(yīng)力函數(shù)φ再代入方程(8),利用Bubnov-Galerkin原理,由

其中

求得

其中,

引入:w0(t)=f(t)+并代入方程(16),得到:

3 系統(tǒng)非線性分岔與混沌分析

方程(17)可改寫為我們熟悉的非線性動(dòng)力系統(tǒng)的形式:

(18)式是熱彈耦合作用下的非線性動(dòng)力學(xué)方程.其中,

λ1,λ2均大于0,便是我們要求的熱彈耦合作用下雙曲殼的大撓度問題的非線性動(dòng)力系統(tǒng).

雙曲殼在強(qiáng)迫振動(dòng)作用下的非線性動(dòng)力系統(tǒng)的無擾動(dòng)力系統(tǒng)為

系統(tǒng)(19)的Hamilton量為

H值由運(yùn)動(dòng)的初始條件確定.從物理意義上看,方程(19)可看成是描述單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)在外力-λ1x+λ2x2-λ3x3作用下所做的運(yùn)動(dòng),而Hamilton量中表示質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能,表示外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做功的負(fù)值,即為勢(shì)能,H代表系統(tǒng)總的機(jī)械能.不同的H值,(20)式代表相平面上不同的曲線.

無擾動(dòng)系統(tǒng)的Jocabi矩陣為

特征方程為

圖2 同宿軌道Fig.2.Homoclinic orbit.

可解出同宿軌道的參數(shù)方程為

對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)定義Melnikov函數(shù)

由Melnikov理論可知,若Melnikov函數(shù)存在零點(diǎn),則穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形相交,存在不變集合,系統(tǒng)有可能會(huì)出現(xiàn)混沌.(24)式中等式右端第一項(xiàng)是阻尼力δ˙x沿軌道所做的功,第二項(xiàng)是以τ所處位置為出發(fā)點(diǎn)外力沿軌道所做的功.

令

使|sinωτ|<1,得到

且僅當(dāng)(26)式成立時(shí),動(dòng)力系統(tǒng)(18)具有Smale馬蹄變換意義下的混沌運(yùn)動(dòng)的閾值條件.如圖3所示,曲線上方表示可能出現(xiàn)混沌的參數(shù)范圍.

圖3 混沌閾值曲線Fig.3.Chaotic threshold curve.

4 數(shù)值計(jì)算

本文通過MATLAB中simulink仿真模塊對(duì)系統(tǒng)建模,具體的仿真模型如圖4所示.取雙曲殼結(jié)構(gòu)的材料為BaTiO3陶瓷,材料參數(shù)列于表1.雙曲殼長(zhǎng)a=400 mm,寬b=400 mm,厚h=70 mm,曲率半徑R1=R2=500 mm.將這些參數(shù)代入(26)式計(jì)算,通過改變溫度T0的大小,使方程(26)成立時(shí),系統(tǒng)就可能出現(xiàn)Smale馬蹄變換意義下的混沌.

表1 鈦酸鋇材料參數(shù)[22]Table 1.Barium titanate material parameters[22].

利用四階Runge-Kutta法編制數(shù)值仿真程序,通過改變溫度T0得到系統(tǒng)的分岔圖和相對(duì)應(yīng)的Lyapunov指數(shù)圖,如圖5和圖6所示.可以看出隨著溫度的增加,系統(tǒng)的混沌與周期區(qū)交替出現(xiàn).由圖6可看出,溫度T0在32?C和41?C附近以及36?C—37?C的范圍內(nèi),Lyapunov指數(shù)小于0,對(duì)應(yīng)圖5中的周期區(qū);而當(dāng)圖6中的Lyapunov指數(shù)大于0時(shí),對(duì)應(yīng)圖5中的混沌區(qū).

圖4 仿真模型Fig.4.Simulation model.

圖5 隨溫度T0變化的分岔圖Fig.5.Bifurcation diagram with temperature T0change.

圖6 隨溫度T0變化的Lyapunov指數(shù)圖Fig.6.Lyapunov exponent diagram varying with temperature T0.

當(dāng)ω0=17 Hz,q0=200 N/m2時(shí),通過改變溫度T0的大小,分別做出熱彈耦合作用下雙曲殼系統(tǒng)的相圖和Poincaré截面圖.

由上面的分析可知,仿真結(jié)果和Melnikov方法的判定一致.此外,仿真結(jié)果反映出的混沌運(yùn)動(dòng)更加復(fù)雜,隨著溫度的增加,系統(tǒng)的混沌與周期區(qū)交替出現(xiàn),而Melnikov方法是無法得到這樣的結(jié)論的.

由圖7—圖9可以看出,圖7相圖和時(shí)程曲線很規(guī)整,相圖繞了2圈,Poincaré映射為兩個(gè)點(diǎn),故代表周期為2的運(yùn)動(dòng);同理可知,圖8代表周期為三的運(yùn)動(dòng).由圖7和圖8可看出,k周期運(yùn)動(dòng)有明顯的周期重復(fù)性,對(duì)應(yīng)的相圖繞k圈,Poincaré截面圖顯示k個(gè)點(diǎn).而圖9的相圖軌跡互不重疊,相互纏繞,Poincaré截面圖也雜亂無章,結(jié)合這組參數(shù)已落在Melnikov函數(shù)和系統(tǒng)分岔圖給定的混沌區(qū),且對(duì)應(yīng)的Lyapunov指數(shù)大于0,因此可判斷圖9代表著混沌運(yùn)動(dòng).

從計(jì)算結(jié)果可以看出,壓電材料雙曲殼在四邊簡(jiǎn)支的條件下,隨著溫度場(chǎng)的變化,會(huì)改變系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).就物理意義而言,溫度的變化給系統(tǒng)的剛度造成了附加效應(yīng).由(16)式可看出,溫度的變化使l1發(fā)生變化,相當(dāng)于系統(tǒng)的剛度發(fā)生變化,從而影響和改變了系統(tǒng)的振動(dòng)特性.

圖7 T0=22?C時(shí)的相圖和Poincaré截面圖Fig.7.Phase diagrams and Poincaré section diagrams at T0=22 ?C.

圖8 T0=36?C時(shí)的相圖和Poincaré截面圖Fig.8.Phase diagrams and Poincaré section diagrams at T0=36 ?C.

圖9 T0=45?C時(shí)的相圖和Poincaré截面圖Fig.9.Phase diagrams and Poincaré section diagrams at T0=45 ?C.

5 結(jié) 論

本文研究了熱彈耦合效應(yīng)下簡(jiǎn)支的壓電材料雙曲殼的動(dòng)力學(xué)行為.利用Melnikov理論,推導(dǎo)出系統(tǒng)出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)的判據(jù),通過MATLAB軟件進(jìn)行數(shù)值模擬,在熱彈耦合作用下系統(tǒng)的振動(dòng)方程具有明顯的非線性,隨著溫度的增加,運(yùn)動(dòng)行為較復(fù)雜,系統(tǒng)的混沌與周期區(qū)交替出現(xiàn).因此,控制和調(diào)整溫度場(chǎng)的變化,可實(shí)現(xiàn)控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),為系統(tǒng)安全性和可靠性提供參考.