岳 娜 , 謝加良*, 陳水利

(1. 集美大學 理學院, 福建 廈門 361021； 2. 集美大學誠毅學院 科研促進部, 福建 廈門 361021)

基于非可加測度的非線性積分由于其柔性表達和非線性融合能力,廣泛應用于多屬性決策、分類技術(shù)、模式識別等領(lǐng)域[1-5].以非線性積分為集成函數(shù)的多屬性決策方法不僅可以考慮決策屬性間的相對重要性,而且可以靈活地描述和處理決策屬性間的交互作用.基于此,許多學者針對模糊集、區(qū)間模糊集、直覺模糊集等不同的不確定決策信息背景,提出相應的非線性積分算子,并成功應用到多屬性決策中[6-11].

在多屬性決策實際問題中,決策者對備選方案的評價在幾個值之間猶豫不決,傳統(tǒng)的模糊集在描述這些不確定信息時表現(xiàn)出局限性,Torra[12]提出猶豫模糊集(HFSs),允許決策者靈活地給出多個可能值,較好解決多準則決策中專家的猶豫不決及多個決策者難以達成一致意見的問題.猶豫模糊集作為一種新的不確定性決策信息描述工具,其理論及其在決策中的應用引起了國內(nèi)外學者的廣泛關(guān)注.Xu等[13-14]給出猶豫模糊集的數(shù)學形式,研究了猶豫模糊集成算子、相似度測度、猶豫模糊距離、猶豫模糊熵和交叉熵.Wang等[15]提出一種新的猶豫模糊幾何算子,并將其應用于多屬性群決策中.Wei[16]提出了猶豫模糊優(yōu)先集結(jié)算子,并將其應用于多屬性決策中.Xu等[17]提出基于TOPSIS的猶豫模糊多屬性決策方法解決具有不完全權(quán)重信息的決策問題.然而,以上關(guān)于猶豫模糊信息的多屬性決策研究多數(shù)是建立在屬性權(quán)重相互獨立、互不影響、互不交叉的假設(shè)前提之上,而在實際決策過程中屬性間卻是相互關(guān)聯(lián)、相互作用.

沿用非線性積分解決此問題的獨特優(yōu)勢,本文提出基于Sugeno積分形式的猶豫模糊多屬性決策方法.通過定義基于Sugeno積分形式的猶豫模糊算子,討論并證明其冪等性、單調(diào)性、有界性和可交換性等集成性質(zhì);給出基于Sugeno積分形式的猶豫模糊多屬性決策方法,并實例驗證在多屬性決策實際問題中的應用.

1 基本知識

下面主要介紹猶豫模糊集的基本概念、運算法則、非可加測度、λ-測度等與本文相關(guān)的基本概念.

定義1.1[12-13]設(shè)論域U={u1,u2,…,un}是一非空有限集合,稱

E={〈u,hE(u)〉|u∈U}

為猶豫模糊集,其中hE(u)?[0,1]是元素u∈U隸屬于集合E的所有可能隸屬度構(gòu)成的集合.為了簡便,稱h=hE(u)為猶豫模糊元.

定義1.2[13,18]設(shè)h1、h2為論域U上任意的2個猶豫模糊元,λ>0,則h1、h2的運算法則規(guī)定如下:

定義1.3[13]設(shè)論域U是一非空有限集合,h、h1、h2為論域U上的猶豫模糊元,則稱

(1)

為猶豫模糊元h的得分函數(shù),其中l(wèi)(h)為猶豫模糊元h中所含元素的個數(shù).若s(h1)

定義1.4[19]若非空有限集合U上的集函數(shù)g:P(U)→[0,1]滿足下列條件:

1) 邊界條件:g()=0,g(U)=1;

2) 單調(diào)性約束:若S,T?U,則

S?T?g(S)≤g(T);

則稱g為非可加測度.

定義1.5[3]設(shè)λ∈(-1,∞),稱非空有限集合U上的集函數(shù)gλ:P(U)→[0,1]為λ-測度,如果gλ(U)=1,且對于任意2個不交子集S、T,有

gλ(S∪T)=gλ(S)+gλ(T)+λgλ(S)gλ(T).

顯然,λ-測度gλ為非空有限集合U上的非可加測度.

命題1.1[1-2]設(shè)U={u1,u2,…,un},gλ是非空有限集合U上的λ-測度.若λ≠0,則對于任意的集合E?U,其測度值為

(2)

由λ-測度的定義,可以根據(jù)

求得λ的值.

2 基于Sugeno積分形式的猶豫模糊算子

下面利用非可加測度理論定義基于Sugeno積分形式的猶豫模糊算子,討論并證明其冪等性、單調(diào)性、有界性和可交換性等集成性質(zhì).

定義2.1設(shè)g為非空有限集合U={u1,u2,…,un}上的非可加測度,hi(i=1,2,…,n)為U上的任一組猶豫模糊元,則稱

(4)

為基于Sugeno積分形式的猶豫模糊算子,記為HFSL(h1,h2,…,hn),其中,(·)為論域U上的置換,使得h(1)≤h(2)≤…≤h(n),U(i)={u(i),u(i+1),…,u(n)}.

注1顯然,如果不考慮屬性間的交互作用時,基于Sugeno積分形式的猶豫模糊算子即為文獻[13]提出的猶豫模糊有序加權(quán)平均算子(HFOWA算子).

由定義2.1易得以下命題.

命題2.1設(shè)g為非空有限集合U={u1,u2,…,un}上的非可加測度,hi(i=1,2,…,n)為U上的任一組猶豫模糊元,則

HFSL(h1,h2,…,hn)=

(5)

證明由定義2.1可得

故

HFSL(h1,h2,…,hn)=

顯然,由(4)式集成的結(jié)果HFSL(h1,h2,…,hn)仍為猶豫模糊元.

事實上,令

由于

則

故

0≤γ=1-(1-γ)≤

從而由(4)式集成的結(jié)果HFSL(h1,h2,…,hn)仍為猶豫模糊元.

下面討論基于Sugeno積分形式的猶豫模糊算子的集成性質(zhì).

性質(zhì)1(冪等性) 設(shè)h、hi(i=1,2,…,n)為非空有限集合U={u1,u2,…,un}上的猶豫模糊元.若h=hi(i=1,2,…,n),則有

HFSL(h1,h2,…,hn)=h.

證明由于h=hi(i=1,2,…,n),則

h=h(i),i=1,2,…,n,

HFSL(h1,h2,…,hn)=

即

HFSL(h1,h2,…,hn)=h.

再由(5)式,可得

性質(zhì)3(有界性) 設(shè)hi={γi|γi∈hi}(i=1,2,…,n)為非空有限集合U={u1,u2,…,un}上任一組猶豫模糊元,令

則

s≤HFSL(h1,h2,…,hn)≤t.

證明由于

則由(5)式得

s≤HFSL(h1,h2,…,hn)≤t.

3 基于Sugeno積分形式的猶豫模糊多屬性決策方法

Step1給出猶豫模糊決策矩陣H=(hij)m×n.對于具有n個屬性的決策問題,除空集和全集的測度值分別為0和1外,進一步對其余2n-2個屬性子集的測度值進行賦值.本文采用λ-測度進行賦值.

Step2根據(jù)(3)式確定λ的值,由(2)式計算屬性集U上任意屬性子集的λ-測度值.

Step3構(gòu)建猶豫模糊得分矩陣,根據(jù)得分值分別對每個方案中的屬性進行排序.

Step4利用基于Sugeno積分形式的猶豫模糊算子集成猶豫模糊矩陣信息,得到各個方案的綜合評價值.

Step5利用得分函數(shù)對每個方案的綜合評價值進行排序,從而選出最優(yōu)方案.

4 實例分析

某工廠需要購買一種設(shè)備,現(xiàn)有5家供應商Xi(i=1,2,…,5)可供選擇,該工廠的決策者將根據(jù)U1:產(chǎn)品價格,U2:產(chǎn)品質(zhì)量,U3:產(chǎn)品售后服務水平,U4:供應商信譽這4種屬性對上述5家供應商進行評價,選出最優(yōu)供應商，其中各屬性的λ-測度值為:gλ({U1})=0.30,gλ({U2})=0.25,gλ({U3})=gλ({U4})=0.20.

Step1給出猶豫模糊決策矩陣,見表1.

表 1 猶豫模糊矩陣

Step2根據(jù)(2)式計算屬性集U上任意屬性子

集的λ-測度值,見表2.由(3)式可得λ=0.145 9.

表 2 各個屬性子集的gλ值

Step3構(gòu)建猶豫模糊得分矩陣,見表3.根據(jù)得分值分別對每個方案中的屬性進行排序.

表 3 猶豫模糊得分矩陣

Step4利用基于Sugeno積分形式的猶豫模糊算子集成猶豫模糊矩陣信息,得到各個方案的綜合評價值.

Step5利用得分函數(shù)對每個方案的綜合評價值進行排序,從而選出最優(yōu)方案.

下面以集成供應商X1的猶豫模糊評價信息為例.由表3可得:

U(1)={{U1},{U2},{U4},{U3}},

U(2)={{U2},{U4},{U3}},

U(3)={{U4},{U3}},U(4)={{U3}};

h(1)={0.30,0.50,0.60},h(2)={0.70,0.80},

h(3)={0.70,0.90},h(4)={0.80,0.90}.

由(5)式得

HFSL(h1,h2,h3,h4)=

{0.580 0,0.627 2,0.637 7,0.678 5,0.671 5,

0.708 5,0.654 7,0.693 5,

0.702 1,0.735 7,0.729 9,0.760 3,0.604 8,

0.649 3,0.659 1,0.697 5,

0.690 9,0.725 7,0.675 1,0.711 6,0.719 7,

0.751 3,0.745 9,0.774 5}.

由(1)式可得

同理可得

s(X2)=0.594 4,s(X3)=0.573 2,

s(X4)=0.628 4,

故

s(X3)

從而最優(yōu)供應商為X1.

5 結(jié)論

本文在猶豫模糊不確定決策信息背景下,通過構(gòu)建基于Sugeno積分形式的猶豫模糊算子,給出屬性間相互關(guān)聯(lián)、相互作用的多屬性決策方法.基于Sugeno積分形式的猶豫模糊算子(在不考慮屬性間的交互作用時即為猶豫模糊有序加權(quán)平均算子)具有冪等性、單調(diào)性、有界性和可交換性等良好的集成性質(zhì),可以很好地應用于多屬性決策實際問題中.本文所討論的是在已知猶豫模糊信息的多屬性決策方法,對于評價信息不完備、不確定或多種形式混合情況的猶豫模糊信息,將是下一步的研究工作.