周偉松, 王興武, 吳東海, 曾 豪

(重慶郵電大學(xué) 工業(yè)物聯(lián)網(wǎng)與網(wǎng)絡(luò)化控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室/復(fù)雜系統(tǒng)智能分析與決策重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 重慶 400065)

1988年,Chua等[1]首次提出一類如下形式的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

此模型后來被稱為細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(CNNs)模型.由于CNNs在圖像處理、聯(lián)想記憶、模式識別、二次優(yōu)化等諸多領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用而受到眾多學(xué)者關(guān)注[2-9].文獻(xiàn)[2-4]將模糊集理論融入到CNNs,建立了如下模糊細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(FCNNs)

的系統(tǒng)理論及其應(yīng)用,給出一個新的圖像處理范例.鑒于它在學(xué)習(xí)、適應(yīng)、容錯、并行和泛化等方面的計算優(yōu)勢,迅速成為圖像處理、模式識別等問題的強(qiáng)有力的工具[5-9].

在FCNNs的眾多應(yīng)用當(dāng)中,保證FCNNs系統(tǒng)的穩(wěn)定性顯得尤為重要[10-12].例如,當(dāng)將FCNNs應(yīng)用于優(yōu)化計算時,網(wǎng)絡(luò)的平衡點(diǎn)刻畫了該優(yōu)化問題的所有可能的最優(yōu)解,而且平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定就可以確保從任何初始條件出發(fā)的最優(yōu)解的收斂性.從而,穩(wěn)定性是研究FCNNs的重要課題之一[13].

另一方面,由Sontag[14-15]對非線性系統(tǒng)控制所提出的輸入對狀態(tài)穩(wěn)定(ISS)是對非線性系統(tǒng)研究中一類非常重要的耗散性質(zhì).而且,它給來自工程控制應(yīng)用當(dāng)中許多不確定因素存在的非線性控制問題的穩(wěn)定化提供了一種非常有效的方法.再者,白噪聲和時滯都是動力系統(tǒng)中廣泛存在的現(xiàn)象,并且時常不可避免,都會引發(fā)系統(tǒng)的不穩(wěn)定,甚至混沌.因此,研究帶隨機(jī)泛函FCNNs具有非常重要的理論和實(shí)際意義.然而,據(jù)我們所知,現(xiàn)在關(guān)于隨機(jī)泛函FCNNs在均方意義下的指數(shù)ISS的結(jié)果還沒有.

基于上述討論,將在本文中給出一類帶時變系數(shù)的隨機(jī)泛函FCNNs在均方意義下的指數(shù)ISS的2個充分條件.首先,給出一些基本概念、定義以及引理.特別地,建立了一個非常有用的Halanay型非自治泛函微分不等式引理.然后,運(yùn)用這個引理得到了一個隨機(jī)泛函FCNNs在均方意義下指數(shù)ISS的一個充分性判據(jù).而且,在這個基礎(chǔ)上,給出了一個常系數(shù)情形下的該FCNNs系統(tǒng)在均方意義下指數(shù)ISS的充分性判據(jù).最后,給出一個數(shù)值仿真例子證實(shí)得到判據(jù)的有效性.

1 預(yù)備知識

本文將考慮如下帶時變系數(shù)的隨機(jī)泛函FCNNs[2-4]

其中,i=1,2,…,n,并且,對于每一個i,xi(t)表示在t時刻第i個神經(jīng)元的狀態(tài)變量,φi(t)在區(qū)間[-τ,0],τ>0上連續(xù),di(t,xi(t))是依賴于時間t和狀態(tài)隨機(jī)過程xi(t)適當(dāng)?shù)囊粋€行為函數(shù),Ii是第i個神經(jīng)元的外部輸入量,aij(t)、bij(t)和cij(t)描述t時刻神經(jīng)元之間狀態(tài)鏈接的強(qiáng)度.∧和∨分別表示模糊并和模糊或算子.fj(xj(t))、gj(xj(t-τ(t)))和kj(xj(t-τ(t)))分別表示t和t-τ(t)時刻第j個單位元的激勵函數(shù).τ(t)是時變時滯,而且滿足0≤τ(t)≤τ.σij(t,xj(t),xj(t-τ),xj(t-τ(t)))項是漂移系數(shù),并且是一個Borel可測函數(shù).ωj(t),j=1,2,…,n是定義在一個完備概率空間(Ω,F,P)上并且?guī)в幸粋€自然濾波{Ft}t≥0標(biāo)量標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動.

E|x(t;φ)|2≤αe-βtE‖φ‖2+γ|u|2.

定義1.2假設(shè)矩陣D=(dij)n×n,其中dii>0,并且dij≤0,i≠j,i,j=1,2,…,n,那么以下3個條件任何一個都等價于“D是一個非奇異的M矩陣”[17-18]:

(i)D的所有順序主子式都為正;

(ii)D-1(D的逆矩陣)存在并且D-1≥0;

(iii) 存在一個正向量p使得Dp>0或者DTp>0.

為了得到主要結(jié)論,首先對方程(1)當(dāng)中的系數(shù)函數(shù)作出一些常規(guī)的假設(shè).此外,都假設(shè)這些系數(shù)函數(shù)在定義域當(dāng)中都是Borel可測的.對i,j∈N?{1,2,…,n},假設(shè)以下條件都成立:

(H2) 激勵函數(shù)都是全局Lipshitz連續(xù)的,也就是說,存在正常數(shù)Li、Mi、Ni,使得對于任意的t∈[0,∞)和x,y∈R有

|fi(x)-fi(y)|≤Li|x-y|,

|gi(x)-gi(y)|≤Mi|x-y|,

|ki(x)-ki(y)|≤Ni|x-y|.

(H3)fi(0)=gi(0)=ki(0)=0,σij(0,0,0)=0.

(H4) 存在非負(fù)函數(shù)μij(t)和νij(t)使得

|σij(t,x,y)-σij(t,x′,y′)|2≤

μij(t)|x-x′|2+νij(t)|y-y′|2,

其中,x,x′,y,y′∈R.

為了方便計算,將要應(yīng)用以下2個引理.

引理1.1[3]假設(shè)fj(x)是定義在R上的函數(shù),那么對于任給的aij,xj,yj∈R,i,j∈N,都有如下估計:

為了得到系統(tǒng)(1)的MSE-ISS,首先建立以下Halanay型非自治泛函微分不等式.

引理1.2設(shè)b∈(0,+∞),υi(t)∈C([0,b);R)是如下帶初值條件υi(t)∈PC([-τ,0];R),i∈N的泛函微分方程的解,且

qij(t)[υj(t)]τ]+Ii, t≥0,

(2)

其中D+(·)是函數(shù)(·)的右上Dini導(dǎo)數(shù)并且

pij(t)≥0,i≠j,

qij(t)≥0, Ii≥0,i,j∈N.

如果存在正常數(shù)λ使得

(3)

υi(t)≤ke-λt+I,t≥0,

(4)

其中初值函數(shù)滿足

υi(t)≤ke-λt+I,t∈[-τ,0].

(5)

證明為了獲得結(jié)果,這里令ui(t)=υi(t)-I,那么,根據(jù)(5)式可得

ui(t)≤ke-λt,t∈[-τ,0].

(6)

首先,將證明對于任給的正數(shù)ε和i=1,2,…,n有

ui(t)≤k*e(-λ+ε)ty(t),t≥t0

(7)

成立,其中k*=keετ.如果(7)式是不正確的,那么根據(jù)初始條件(6)以及ui(t)在區(qū)間[0,b)上的連續(xù)性,一定能找到一個常數(shù)t*>0和某個正整數(shù)m使得下面2式成立:

um(t*)=y(t*),D+um(t*)≥y′(t*), (8)

ui(t)≤y(t),t∈[-τ,t*],

i=1,2,…,n.

(9)

利用(2)式和(8)～(9)式有

D+um(t*)=D+υm(t*)≤

bmj(t*)([uj(t*)]τ+I)}+Im≤

bmj(t*)k*e(-λ+ε)(t*-τ)}+Im+

bmj(t*)k*e(-λ+ε)(t*-τ)}≤

-k*λe(-λ+ε)t*<

k*(-λ+ε)e(-λ+ε)t*=y′(t*),

(10)

這是與不等式(8)相矛盾的.因此(7)式對于任給的t≥t0都成立.最后,令ε→0,得到

ui(t)≤ke-λt,t≥0,i=1,2,…,n,

即

υi(t)≤ke-λt+I,t≥0,i=1,2,…,n.

證明完畢.

注1相比文獻(xiàn)[16]中的引理3.1,該引理中可控輸入項Ii和指數(shù)收斂率λ都是常數(shù).特別地,(3)式中不等號是“<”,而不能是“≤”.

2 主要結(jié)果

分析和研究FCNNs系統(tǒng)(1)的MSE-ISS性質(zhì).

定理2.1假設(shè)條件(H1)～(H4)都成立,并且存在正常數(shù)λ使得

其中

那么系統(tǒng)(1)是MSE-ISS的.

證明首先,構(gòu)造一個Lyapunov函數(shù)

(13)

dVi(t,x(t))=LVi(t,x(t))dt+

Vix(t,x(t))σ(t)dω(t),

(14)

其中

進(jìn)一步地,根據(jù)條件(H1)～(H4)以及引理1.1,得到It算子LVi(t,x(t))滿足

LVi(t,x(t))=2xi(t)[-di(t,xi(t))+

-2xi(t)di(t,xi(t))+2|xi(t)||Ii|+

-2xi(t)di(t,xi(t))+2|xi(t)||Ii|+

|gj(xj(t-τ(t)))-gj(0)|+

|kj(xj(t-τ(t)))-kj(0)|+

Nj|cij(t)|)-Li|aii(t)|-μii-

Hij(t)[Vj(t,x(t))]τ}+Ui,i,j∈N,

(15)

其中Tij(t)、Hij(t)是由(12)式?jīng)Q定的,且

根據(jù)文獻(xiàn)[6]中定理2,系統(tǒng)(1)有唯一的全局解x(t),并且EVi(t,x(t)),i∈N在t≥0上都連續(xù).另外,根據(jù)(14)式有

EVi(t+Δt,x(t+Δt))=

(16)

最后,假設(shè)

EVi(t,x(t))≤E‖φi‖2e-λt+U,t≥0, (17)

對于初值條件xi(?)=φi(?),?∈[-τ,0],可得

E‖φi‖2e-λ?, ?∈[-τ,0].

(18)

然后,由條件(11)和引理1.2,可得

EVi(t,x(t))≤E‖φi‖2e-λt+U,t≥0. (19)

結(jié)合(18)和(19)式得

αe-λtE‖φ‖2+γ|I|2,

(20)

為了研究系統(tǒng)(1)的MSE-ISS,假設(shè)以下條件：

那么,系統(tǒng)(1)是MSE-ISS的.

(22)

說明系統(tǒng)(1)是MSE-ISS的.證明完畢.

注2.1定理2.2是文獻(xiàn)[16]中推論2.1的推廣.事實(shí)上,文獻(xiàn)[16]中定理2.1是定理2.1的特殊情形,再加上條件(H5)和(H6)都成立,易得文獻(xiàn)[16]中的推論2.1.

3 數(shù)值仿真例子

例3.1考慮如下n=3時帶時變系數(shù)的FCNNs(1):

f1(x)=cosx,f2(x)=tanhx,

k1(x)=k2(x)=k3(x)=

另外,ω(t)是一個二維標(biāo)準(zhǔn)Brownian運(yùn)動,系統(tǒng)(1)其他參數(shù)全部為零.

顯然地,當(dāng)選取

時,條件(H1)成立.通過三角不等式

|cosu-cosv|≤|u-v|,

|tanhu-tanhv|≤|u-v|,

可得到f1、f2和f3都是全局Lipschitz連續(xù)的,而且可以求得Lipschitz常數(shù)為L1=L2=L3=1,同理可以得到

即說明假設(shè)(H2)成立.另外,假設(shè)(H3)顯然是成立的.此外,當(dāng)取

時,條件(H6)成立.

當(dāng)選擇λ=1.17時,可以很容易地計算得到,對于任意的t≥-2,有

因此,根據(jù)定理2.1(或者定理2.2),可得上述n=3的時滯FCNNs(1)是MSE-ISS的,并且指數(shù)收斂率為1.17.

致謝重慶郵電大學(xué)博士啟動基金(A2016-80)和重慶郵電大學(xué)大學(xué)生科研訓(xùn)練計劃項目(A2017-71)對本文給予了資助，謹(jǐn)致謝意.