程 飛

（安徽電子信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院電子工程系，安徽 蚌埠 233000）

1 問題的提出

當(dāng)前，科技類場(chǎng)館開展科普工作主要通過三種手段：（1）實(shí)物模擬，（2）采用多媒體技術(shù)，利用聲光電營造場(chǎng)館環(huán)境，（3）微視頻展示科學(xué)原理，（4）利用虛擬現(xiàn)實(shí)技術(shù)。對(duì)于第一類，觀眾一般不能觸摸實(shí)物模型，第二類技術(shù)對(duì)于傳播科技知識(shí)作用有限，而對(duì)于第三類，觀眾一般情況下僅能通過視頻了解科學(xué)原理和科技知識(shí)，被動(dòng)接受得多，主動(dòng)參與得少。第四類則依賴于硬件設(shè)備（如VR頭盔等）?？傮w看來，科普平臺(tái)的展示功能較多，而具有交互功能的科普平臺(tái)較為少見。如果結(jié)合計(jì)算機(jī)圖形學(xué)技術(shù)，開發(fā)具有交互功能的科普虛擬平臺(tái)，可以有效提高科普效果，促進(jìn)科學(xué)知識(shí)的傳播。本文結(jié)合中國科協(xié)科普大賽的命題《輪旋線》為例，結(jié)合軟件工程理論，詳述交互式科普平臺(tái)的設(shè)計(jì)方法。

2 輪旋線原理和特性

一個(gè)動(dòng)圓（圓心為O，半徑為r）在一條定曲線L上滾動(dòng)時(shí)，與動(dòng)圓圓心O距離為定值c的點(diǎn)P的軌跡稱為輪旋線[1]，又稱擺線。OP稱為擺軸,且c=|OP|。一般L為直線或者圓。如果L為直線，稱為普通擺線（如圖1所示）。如果L為定圓，分為兩種情況，稱為內(nèi)圓擺線（如圖2所示）和外圓擺線（如圖3所示）。若c＞r，稱為長(zhǎng)軸擺線，若c＜r，稱為短軸擺線。圖4從左至右顯示了c＞r、c=r、c＜r三種內(nèi)圓擺線的形成過程。

圖1 普通擺線

圖2 內(nèi)圓擺線

圖3 外圓擺線

圖4 三種內(nèi)圓擺線

3 虛擬平臺(tái)總體設(shè)計(jì)

3.1 需求分析

從交互式科普角度考慮，虛擬平臺(tái)應(yīng)能夠動(dòng)態(tài)、交互表達(dá)：（1）擺線的形成過程（2）擺線的數(shù)學(xué)表達(dá)式（3）擺線的特殊性質(zhì)（4）擺線的簡(jiǎn)史（5）擺線的應(yīng)用（6）擺線的繪制。由于科普平臺(tái)的作用是激發(fā)科學(xué)研究的興趣，對(duì)于公式的推導(dǎo)和理論一般不做展開。

3.2 場(chǎng)景設(shè)計(jì)

基于教育心理學(xué)的理論，人類視覺對(duì)于運(yùn)動(dòng)的物體比靜止的物體敏感；此外，在立體的場(chǎng)景中多視圖觀察形體，所獲得的信息量遠(yuǎn)大于固定視角所獲得的信息量。因而，將擺線的動(dòng)態(tài)形成過程置于三維場(chǎng)景中，場(chǎng)景的視角可以變換，其效果如圖5所示。這里視角矢量為（1,1,1），即軸側(cè)觀察。該圖顯示了各種擺線的形成過程。

圖5 各種擺線的形成過程

3.3 開發(fā)引擎選擇

這里采用底層引擎OpenGL作為開發(fā)工具[2]。這是因?yàn)椋海?）OpenGL具有良好的浮點(diǎn)計(jì)算能力，特別適用于數(shù)學(xué)函數(shù)處理；（2）其動(dòng)態(tài)刷新功能可以保證動(dòng)畫效果的實(shí)現(xiàn)；（3）其顯示表功能可以實(shí)現(xiàn)場(chǎng)景中的中英文字標(biāo)注，還可以方便載入圖片說明；（4）合理調(diào)用VC++的sleep函數(shù)，可以實(shí)現(xiàn)場(chǎng)景的自動(dòng)變換，可以以微視頻的形式輸出；（5）基于VC++的一檔多視技術(shù)[3]，可以增加表單視（FormView）,易于實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)交互式界面，如圖5左半部分所示。

4 詳細(xì)設(shè)計(jì)

限于篇幅，本文僅以（1）外擺線的形成（2）等時(shí)降線（3）最速降線為例說明詳細(xì)設(shè)計(jì)的思路和方法。

4.1 外擺線的形成過程詳細(xì)設(shè)計(jì)

外擺線如圖3所示，其方程為[1]：

其中，a為定圓半徑，b為動(dòng)圓半徑，c為動(dòng)圓圓心O到點(diǎn)P的距離，即c=|OP|，θ對(duì)應(yīng)于動(dòng)圓的自轉(zhuǎn)角度。給定a，b（一般情況下a、b取有理數(shù)），如果a/b可以化為最簡(jiǎn)分式m/n（m、n為互質(zhì)整數(shù)），則動(dòng)圓將會(huì)繞定圓公轉(zhuǎn)m圈，同時(shí)自轉(zhuǎn)n圈（即共計(jì)自轉(zhuǎn)n*2π弧度），回到起點(diǎn)[4]。每自轉(zhuǎn)一圈，形成擺線的一瓣。如圖3所示，a=3，b=1，c=1.5，動(dòng)圓公轉(zhuǎn)1圈，同時(shí)完成三次自轉(zhuǎn)，形成擺線的3瓣。OpenGL下，擺線的動(dòng)畫實(shí)現(xiàn)步驟如下：

（1）計(jì)算n.給定a，b，計(jì)算a/b，化為最簡(jiǎn)分式m/n，得到n；

(2)計(jì)算曲線上的各個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。因?yàn)棣取蔥0,n*2π]，將[0,n*2π]均分1 000份，令，代入(1)式,計(jì)算各個(gè)θi所對(duì)應(yīng)的pi（xi，yi）。

（3）繪制圖形，OpenGL用多段直線描繪曲線。給定一個(gè)整數(shù)t，繪制直線P0P1，…，Pt-1Pt。t初始化為0，每次OpenGL刷新重繪的時(shí)候t增加1，即每次刷新圖形多繪制一段直線，從而實(shí)現(xiàn)擺線繪制動(dòng)畫。當(dāng)t=1 000時(shí)，置t=0,重新繪制。關(guān)鍵代碼如下：

為了增加動(dòng)畫效果，定圓繪制完成后，還要繪制動(dòng)圓以及動(dòng)圓上的擺軸OP的運(yùn)動(dòng)，如圖3所示。定圓和動(dòng)圓圓周的繪制方法參考相關(guān)文獻(xiàn)[5]。只要知道動(dòng)圓的圓心，就可以通過每次刷新重繪動(dòng)圓，表現(xiàn)動(dòng)圓沿定圓圓周滾動(dòng)。采用下面的語句移動(dòng)動(dòng)圓的圓心：

進(jìn)一步通過動(dòng)圓的自轉(zhuǎn)實(shí)現(xiàn)擺軸OP的運(yùn)動(dòng)效果，關(guān)鍵語句如下：

繪制效果如圖3所示，由圖可見，P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)形成了外擺線。對(duì)于內(nèi)擺線和普通擺線的情形，用同樣的方法繪制，不再贅述。圖1、圖2、圖3顯示了擺軸OP的旋轉(zhuǎn)以及P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生擺線的過程。

4.2 等時(shí)降線的動(dòng)畫設(shè)計(jì)

多個(gè)小球從擺線的不同高度同時(shí)沿?cái)[線下落，會(huì)同時(shí)到達(dá)最低點(diǎn)，這就是擺線的等時(shí)降線特性[4]。圖6（a）顯示了位于擺線上不同高度的小球，按下“啟動(dòng)”按鈕后，各個(gè)小球同時(shí)沿?cái)[線下滑，圖6(b)顯示了各點(diǎn)同時(shí)到達(dá)最低點(diǎn)。

圖6 等時(shí)降線和最速降線

為了表現(xiàn)具有真實(shí)感的小球下滑過程，需要依據(jù)物理學(xué)的原理計(jì)算小球沿等時(shí)降線下滑的相關(guān)位置數(shù)據(jù)。思路如下：假設(shè)從初始點(diǎn)下滑到最低點(diǎn)的總時(shí)間為nt,小球在it時(shí)刻的位置即為H（i），(i=0，1,2,3,…,n；特別的，i=0時(shí)記為H，i=1時(shí)記為H’，i=2時(shí)記為H”)。第i次刷新的時(shí)候，在位置H（i）繪制小球。每次刷新重繪的時(shí)間間隔都是相同的，但是小球移動(dòng)的距離 d（i）=|H（i）-H（i-1）|不同，這樣就表現(xiàn)出真實(shí)感的動(dòng)畫效果。下面計(jì)算H（i）(i=1,2,3,…,n)，為簡(jiǎn)化問題，這里僅計(jì)算H，H’以及H”。

圖7 小球沿?cái)[線下滑位置計(jì)算

如圖7所示，|AB|=α，擺線的方程為：

小球初始位置位于H，坐標(biāo)表示為H（m，h）,t時(shí)刻位于H’（m’，h’），2t時(shí)刻位于H”（m”，h”）。過H作x軸的平行線，交y軸于A1，以O(shè)A1為直徑作輔助圓O1，過H’、H”作x軸的平行線，交輔助圓于A2、A3，則∠A1O1A2=∠A2O1A3=β。即重力作用下小球下落時(shí)各個(gè)位置點(diǎn)的縱坐標(biāo)的值等于一個(gè)小球沿輔助圓O1勻速轉(zhuǎn)動(dòng)（角速度為，g為重力加速度）時(shí)相應(yīng)位置點(diǎn)的縱坐標(biāo)的值。這樣，H’點(diǎn)的縱坐標(biāo)就可以表示為：

代入（2）式的第2式，有

求得

再將（5）式代入（2）式的第1式，求出H點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

而H”點(diǎn)的縱坐標(biāo)就可以表示為：

采用和上面相同的方法，可以求出H”點(diǎn)的橫坐標(biāo)，以及所有關(guān)鍵點(diǎn)的位置坐標(biāo)。

可以證明，小球下落的時(shí)間與初始位置無關(guān)[4]（證明請(qǐng)參閱相關(guān)文獻(xiàn)）。小球初始位置不同，沿?cái)[線下滑，最終同時(shí)下落到最低點(diǎn)。等時(shí)降線詳細(xì)設(shè)計(jì)的思路如下：給定初始位置H’（m’,h’），首先在初始位置繪制小球；OpenGL刷新一次（對(duì)應(yīng)于經(jīng)過t時(shí)刻），在H”（m”,h”）位置小球；以此類推，計(jì)算其余關(guān)鍵點(diǎn)的位置數(shù)據(jù)。小球沿?cái)[線下滑的動(dòng)畫效果如圖6（a）、（b）所示。小球到達(dá)最低點(diǎn)以后，由于其具有水平速度，會(huì)沿?cái)[線的左半部分繼續(xù)上升，即動(dòng)畫的效果是小球沿?cái)[線來回震蕩。關(guān)鍵代碼如下：

4.3 最速降線的動(dòng)畫設(shè)計(jì)

如圖6（c）（d）所示，在從起點(diǎn)到終點(diǎn)的所有連線中，小球沿?cái)[線下落速度最快，稱為最速降線性質(zhì)[4]。圖6（c）顯示了小球沿直線和擺線同時(shí)下落，圖6（d）顯示小球沿?cái)[線到達(dá)最低點(diǎn)的時(shí)候，沿直線下落尚未到達(dá)最低點(diǎn)。其設(shè)計(jì)方法和數(shù)據(jù)計(jì)算類似4.2，這里不再贅述。

圖8 載入圖片

圖9 顯示表技術(shù)導(dǎo)入字體

5 結(jié)語

OpenGL性能良好的底層圖形庫，結(jié)合VC++的強(qiáng)大的數(shù)學(xué)處理能力，特別適合于基于物理原理的交互式科普軟件設(shè)計(jì)，可以反映真實(shí)的物理實(shí)驗(yàn)環(huán)境，給科普參與者以真實(shí)的科普體驗(yàn)。不僅如此，OpenGL還可以導(dǎo)入圖片（如圖8所示，用圖片形式描述擺線簡(jiǎn)史），通過顯示表技術(shù)導(dǎo)入不同字體的文字，并可以通過sleep()自動(dòng)生成科普視頻，滿足特定的科普需求（如圖9所示視頻截圖）?；贠penGL設(shè)計(jì)科普交互式軟件，是實(shí)現(xiàn)真實(shí)感的虛擬科普?qǐng)鼍暗挠行緩健?/p>