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(鎮(zhèn)海中學(xué),浙江 寧波 315200)

2017年底，筆者應(yīng)邀在福建省福州市第一中學(xué)開設(shè)了一節(jié)以“數(shù)列搭臺(tái)，函數(shù)唱戲”為課題的高三數(shù)列綜合復(fù)習(xí)課.本節(jié)課以RMI原理為驅(qū)動(dòng)，從函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)數(shù)列問題，揭示數(shù)列問題的函數(shù)本質(zhì).人民教育出版社章建躍博士在點(diǎn)評中給予了充分的肯定，并就高考復(fù)習(xí)課的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)、高考綜合復(fù)習(xí)課的“綜合”含義、高考綜合復(fù)習(xí)課的核心是思維等方面進(jìn)行了詳盡地論述.筆者受益匪淺，在此與大家分享筆者的實(shí)踐與思考.

1 RMI原理簡介

所謂RMI原理，是“關(guān)系—映射—反演”原理的簡寫,徐利治先生在《數(shù)學(xué)方法論》中談到：RMI原理是一種分析處理問題的普遍原則，它屬于一般方法論性質(zhì)范疇的一種工作原理，普遍適用于解決數(shù)理科學(xué)與工程技術(shù)科學(xué)方面的有關(guān)問題.在生活中，女性化妝的完成，遵循的是一條“人的臉部→像的臉部→像畫完妝→人畫完妝”的路線.這一日常行為的過程，本質(zhì)上蘊(yùn)含著一個(gè)重要的思維模式——RMI原理，即關(guān)系→映像→反演[1].

2 RMI原理在教學(xué)中的實(shí)踐

本節(jié)課是在學(xué)生已經(jīng)完成數(shù)列一輪復(fù)習(xí)后開設(shè)的綜合復(fù)習(xí)課.何為綜合復(fù)習(xí)課？章建躍博士在點(diǎn)評中的這一發(fā)問，引起了大家的思考,他認(rèn)為：一方面，教師準(zhǔn)備綜合復(fù)習(xí)課時(shí)需要有知識(shí)的綜合貫通、觀點(diǎn)的歸納、思想方法的相互聯(lián)系，正所謂聯(lián)系出思想；另一方面，學(xué)生學(xué)完這節(jié)課后，能夠提高從不同角度看問題并選擇最優(yōu)方法解決問題的能力.

因此，在綜合復(fù)習(xí)課中，教師在授之以魚的同時(shí)，更需要授之以漁.而RMI原理作為重要的思維模式，筆者希望借助數(shù)列問題來闡明其原理的運(yùn)用過程，從而通過教師的教促使學(xué)生觸類旁通，更加主動(dòng)地進(jìn)行學(xué)習(xí)，最終使得我們的高考復(fù)習(xí)更具系統(tǒng)化.

2.1 以本為本，重識(shí)數(shù)列問題

數(shù)學(xué)教學(xué)是使靜態(tài)的書本知識(shí)內(nèi)化到動(dòng)態(tài)的學(xué)生數(shù)學(xué)思維中去思考和認(rèn)識(shí)的過程，只有在教學(xué)中關(guān)注知識(shí)產(chǎn)生的背景、關(guān)注數(shù)學(xué)的來龍去脈，才能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)是自然的，從而自主提出問題.這樣不僅讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)變得輕松，而且有利于激發(fā)學(xué)生的探究意識(shí)[2].

在人教A版《數(shù)學(xué)(必修5)》數(shù)列章節(jié)中，定義完數(shù)列的概念之后就重點(diǎn)描述了數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：數(shù)列可以看成以正整數(shù)集(或它的有限子集{1,2,…,n})為定義域的函數(shù)an=f(n)，當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí)，所對應(yīng)的一列函數(shù)值．反過來，對于函數(shù)y=f(x)，如果f(i)(其中i=1,2,3,…)有意義，那么我們可以得到一個(gè)數(shù)列f(1)，f(2)，f(3)，……

學(xué)生在重拾課本的過程中，逐步明確了本節(jié)課的主題.順勢，筆者拋出上述第6)個(gè)函數(shù)影子，以此作為引例.

正所謂實(shí)踐出真知，通過這個(gè)引例讓學(xué)生初步體會(huì)用函數(shù)觀點(diǎn)解決數(shù)列問題的優(yōu)越性.

2.2 以熟題為例，聯(lián)系函數(shù)獲新知

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)》提出：有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不能單純地依靠模仿與記憶，動(dòng)手實(shí)踐、自主探究與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式[2].在學(xué)生的心中埋下函數(shù)觀點(diǎn)的種子后，筆者以常見的問題為例，引導(dǎo)學(xué)生歸納用函數(shù)觀點(diǎn)解決數(shù)列問題的基本步驟，從而體會(huì)RMI理論在數(shù)學(xué)解題中的實(shí)踐與應(yīng)用.

例1設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S5=20，S10=-10．

1)求S9的值；

2)求使得n·Sn最大的序號n的值．

(2013年全國數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)卷Ⅱ理科試題第16題改編)

第1)小題，學(xué)生給出了兩種解答方法：

第2)小題，即求數(shù)列{-n3+9n2}的最大項(xiàng)是第幾項(xiàng).學(xué)生同樣給出了兩種解答方法：

解法1令bn=-n3+9n2，通過數(shù)列單調(diào)性的定義，相鄰項(xiàng)相減作差，得到數(shù)列{bn}在1≤n≤6,n∈N*時(shí)單調(diào)遞增，在n≥7,n∈N*時(shí)單調(diào)遞減，故使得n·Sn最大的序號n=6．

解法2令f(x)=-x3+9x2，通過求導(dǎo)，得到f(x)在(-∞,0]上單調(diào)遞減，在[0,6]上單調(diào)遞增，在[6,+∞)上單調(diào)遞減.考慮到g(n)=-n3+9n2是特殊的函數(shù)，其在1≤n≤6,n∈N*時(shí)單調(diào)遞增，在n≥7,n∈N*時(shí)單調(diào)遞減，故使得n·Sn最大的序號n=6．

通過這個(gè)問題的解決，讓學(xué)生熟悉用函數(shù)觀點(diǎn)解決數(shù)列問題的基本步驟：首先，將數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為特殊的函數(shù)問題;其次，用函數(shù)方法解決這個(gè)函數(shù)問題;最后，將得到的函數(shù)結(jié)論反演成數(shù)列結(jié)論.這就是RMI原理在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.

維果斯基在最近發(fā)展區(qū)理論中指出：教學(xué)應(yīng)著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，為學(xué)生提供帶有難度的內(nèi)容，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，發(fā)揮其潛能，超越其最近發(fā)展區(qū)而達(dá)到下一發(fā)展階段的水平，然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)行下一個(gè)發(fā)展區(qū)的發(fā)展.本題的第2)小題就是帶有難度的內(nèi)容，如何有效地解決學(xué)生的這個(gè)疑問，是突破本節(jié)課難點(diǎn)的關(guān)鍵.

此時(shí)，學(xué)生們陷入了沉思.

既然從代數(shù)角度無法解釋，筆者引導(dǎo)學(xué)生從幾何角度進(jìn)行思考.于是就有了如下的解釋：等差數(shù)列{an}的圖像是對應(yīng)一次函數(shù)f(x)圖像上的散點(diǎn).如果將定義域n∈N*拓展到x∈R，那么(5,f(5)),(5.5,f(5.5)),(6,f(6))這3個(gè)點(diǎn)都在一條直線上，滿足

f(5)+f(6)=2f(5.5),

于是

a5+a6=2a5.5，

在學(xué)生熟悉的問題上設(shè)置變式，引發(fā)學(xué)生思考，并通過生生探究、師生交流共同解決問題，提升認(rèn)識(shí)，這是高三復(fù)習(xí)課的正確打開方式.同時(shí)，通過這一問題的解決，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)運(yùn)用函數(shù)觀點(diǎn)解決數(shù)列問題的優(yōu)越性，并對RMI原理的應(yīng)用有更直觀地認(rèn)識(shí).

(人教A版《數(shù)學(xué)1(必修)》第83頁第二章復(fù)習(xí)參考題B組改編)

筆者在巡視教室的過程中，發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生毫無頭緒，只是簡單地列出了

S19=a1+a2+…+a19，

還有些學(xué)生則在進(jìn)一步代入通項(xiàng)公式后，發(fā)現(xiàn)了其中的規(guī)律，結(jié)果如下：

S19=a1+a2+…+a19=

生2：上述式子中，首尾兩項(xiàng)相加為定值，即

一般地，

從而通過“倒序相加求和”的思想方法，得到

可得S19=19.

正當(dāng)學(xué)生們笑逐顏開、不斷稱贊生2時(shí)，筆者帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)一步挖掘問題的內(nèi)涵，繼續(xù)拋問.

學(xué)生似乎還未從剛才的數(shù)列問題中反應(yīng)過來.

生3：f(x)+f(-x)=2，說明函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(0,1)中心對稱.

師：這一函數(shù)中的性質(zhì)與本題數(shù)列中的結(jié)論有何聯(lián)系呢？

師：函數(shù)的對稱性與等差數(shù)列的“倒序相加求和”思想方法又有何聯(lián)系呢？

生6：其實(shí)不只是等差數(shù)列，只要任意數(shù)列的圖像是中心對稱圖形，它都可以用倒序相加法求和.

上述幾位學(xué)生一系列的回答將本節(jié)課推向高潮，學(xué)生們都情不自禁地鼓掌.相信這樣的掌聲是發(fā)自學(xué)生內(nèi)心的，是對原有的舊知識(shí)能獲得這樣的新認(rèn)識(shí)感到驚嘆.課后，有一位學(xué)生向筆者反饋：數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系以前略知一二，但沒想到聯(lián)系如此緊密，用函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)數(shù)列問題太神奇了，太有意義了！

同時(shí)，在RMI原理驅(qū)動(dòng)下，用函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)、思考、解決數(shù)列問題的模式已在學(xué)生腦海里留下了深刻的烙印.

例4已知遞增數(shù)列{an}滿足

其中a>0，且a≠1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

正當(dāng)課堂氛圍達(dá)到高潮之時(shí)，例4恰到好處地起到了“降火”的作用.學(xué)生們的思考再次回歸理性，理解數(shù)列作為特殊的函數(shù)，其特殊性到底在哪里.

解得1

很顯然，學(xué)生們忽視了數(shù)列圖像是一系列散點(diǎn)的特殊性，在n=4這個(gè)間斷處只需滿足a3

解得1

2.3 水到渠成，揭示RMI原理內(nèi)涵

至此，本節(jié)課也接近了尾聲，筆者帶領(lǐng)學(xué)生從基本思想方法和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)兩方面對本節(jié)課進(jìn)行了歸納總結(jié).正當(dāng)學(xué)生們意猶未盡時(shí)，筆者順勢提出RMI原理的概念與它在本節(jié)課中及今后數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，可謂水到渠成.具體用如下框圖展示：

最后筆者以笛卡爾的一句名言結(jié)束了本節(jié)課：“我們所解決的每一個(gè)問題都將成為一個(gè)范例，以用于解決其他的問題.”

3 點(diǎn)評與思考

章建躍博士在點(diǎn)評環(huán)節(jié)，從具體課例出發(fā)，就高考復(fù)習(xí)課的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)、高考綜合復(fù)習(xí)課的“綜合”含義、高考綜合復(fù)習(xí)課的核心是思維等方面進(jìn)行了詳盡地論述.筆者感動(dòng)于章博士對數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)真嚴(yán)謹(jǐn)、對數(shù)學(xué)教學(xué)的研究至深、對數(shù)學(xué)事業(yè)的激情投入.現(xiàn)將章博士的觀點(diǎn)及對本節(jié)課的點(diǎn)評內(nèi)容整理如下，與同行們分享、交流，也促使自己進(jìn)一步反思.

章博士認(rèn)為復(fù)習(xí)課、高考復(fù)習(xí)課、高考綜合復(fù)習(xí)課是層層遞進(jìn)的關(guān)系.高考綜合復(fù)習(xí)課沒有落腳點(diǎn)，沒有基本線索，每一個(gè)人都是不一樣的.

3.1 高考復(fù)習(xí)課的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

本次公開課的目標(biāo)是高考復(fù)習(xí)，就需要功利性，要為高考獲得高分努力奮斗，這個(gè)目標(biāo)不是低級的，這是授課教師的責(zé)任.至于高考復(fù)習(xí)多久，這是一個(gè)值得討論的問題.但是只要進(jìn)入高考復(fù)習(xí)，我們就要以此作為評判標(biāo)準(zhǔn)，即復(fù)習(xí)的效果是否有利于高考題的解答，能否實(shí)現(xiàn)高考得高分.高考復(fù)習(xí)要落實(shí)以下24字方針：能力立意，基于測評；問題導(dǎo)向，夯實(shí)雙基；精準(zhǔn)高效，大幅提分.

基于以上目標(biāo)，“是否瞄準(zhǔn)高考，講高考要考的東西”便成為衡量高考復(fù)習(xí)課的基本標(biāo)準(zhǔn).具體怎樣做呢？章博士認(rèn)為基本的方法就是認(rèn)真分析近幾年的高考題.當(dāng)然，分析高考題要有結(jié)構(gòu)分析，即從每一道題目涉及的知識(shí)、方法、思想、能力角度形成有結(jié)構(gòu)的分析.并在此基礎(chǔ)上形成有結(jié)構(gòu)的復(fù)習(xí)方案，其中包括復(fù)習(xí)目標(biāo)、復(fù)習(xí)內(nèi)容、過程設(shè)計(jì)、效果檢測，尤其是效果檢測，影響著課堂的精準(zhǔn)度和效益度.

“數(shù)列搭臺(tái)，函數(shù)唱戲”作為本節(jié)課的課題，目標(biāo)明確，很好地體現(xiàn)了“綜合”兩個(gè)字.它是利用一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等性質(zhì)來研究數(shù)列的相關(guān)問題.其中，在具體用函數(shù)的觀點(diǎn)解決數(shù)列問題的過程中，需要處理好“思想方法的一致性和需要注意的問題”之間的關(guān)系.高考中，能用函數(shù)觀點(diǎn)處理的數(shù)列問題，往往所涉及的函數(shù)是“好函數(shù)”.

3.2 高考綜合復(fù)習(xí)課的“綜合”含義

章博士認(rèn)為有些教師在這個(gè)階段只選難題、巧題，這是不可取的.“綜合”兩字含義從大的方面來看應(yīng)該是：觀點(diǎn)的歸納、思想方法的相互聯(lián)系、知識(shí)的綜合貫通[3].正所謂聯(lián)系出思想，只有關(guān)注到了聯(lián)系，知識(shí)結(jié)構(gòu)才能夠通道順暢、應(yīng)用自如，從而提高學(xué)生從不同角度看問題并選擇最優(yōu)方法解決問題的能力.

本節(jié)課圍繞“數(shù)列是特殊的函數(shù)”，對“到底特殊在哪里”進(jìn)行思考，由此設(shè)計(jì)教學(xué)過程，然后選擇問題進(jìn)行布局，布局的內(nèi)容就是一些考點(diǎn).整節(jié)課通過函數(shù)與數(shù)列的比較來實(shí)現(xiàn)知識(shí)的綜合貫通，教師潤物無聲地將學(xué)生頭腦中有關(guān)數(shù)列與函數(shù)的知識(shí)拿出來，通過比較，讓其變得清晰、可辨別，最終使得知識(shí)可利用.這也是判斷一個(gè)人數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是否優(yōu)良的重要標(biāo)準(zhǔn).

函數(shù)與數(shù)列有相同的地方，也有不同的地方，如果是基本初等函數(shù)，因?yàn)槎际恰昂煤瘮?shù)”，都是光滑的，比如例1中涉及的三次函數(shù)就可以通過求導(dǎo)得到最大值.這時(shí)，以這個(gè)最大值為導(dǎo)向，求出數(shù)列中最大項(xiàng)的方法是可行的.

對于例2的等差數(shù)列性質(zhì)問題，如果等差數(shù)列有9項(xiàng)，那么最中間那項(xiàng)就是這9個(gè)數(shù)的平均數(shù)，這9個(gè)數(shù)的和就轉(zhuǎn)化為這個(gè)數(shù)的9倍.然后有10項(xiàng)該怎么辦？事實(shí)上，這里涉及到等差數(shù)列的重要性質(zhì).教師在此過程中，發(fā)問道：如果將a5+a6強(qiáng)行化簡，該怎么辦？有個(gè)學(xué)生小聲說：a5.5.這個(gè)過程處理得快了些，有待商榷.事實(shí)上，a5.5就是a5和a6的等差中項(xiàng)，而等差中項(xiàng)在等差數(shù)列中的含義是非常廣泛的，它就是平均數(shù)的概念.因此，在教學(xué)過程中，我們應(yīng)該從等差數(shù)列的基本性質(zhì)出發(fā)，深刻理解“等差”二字，并思考如何在此基礎(chǔ)上生發(fā)變化，反過來，又做到萬變不離其宗.

例3則是對倒序求和的靈活應(yīng)用，其中精心設(shè)計(jì)的教學(xué)過程值得大家學(xué)習(xí).同時(shí)，對稱思想是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的核心思想之一.

3.3 高考綜合復(fù)習(xí)課的核心是思維

高三綜合復(fù)習(xí)課應(yīng)該加強(qiáng)思維有序性的教學(xué)，讓學(xué)生有邏輯地思考，使其在面對高考題時(shí)想到不同的解題方法，讓創(chuàng)造性的解題成為必然，而不是撞大運(yùn).

1)高三綜合復(fù)習(xí)課的教學(xué)目標(biāo)要明確清晰地表達(dá)：在學(xué)生已有知識(shí)方法的基礎(chǔ)上更進(jìn)一步，讓學(xué)生形成整章的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提升分析和解決問題的能力.

2)如何才能使學(xué)生想得到，其實(shí)就是落實(shí)思維的教學(xué).教學(xué)不但要有通性通法，還要有針對這道題的特殊方法，而特殊方法往往是簡潔的方法.這需要學(xué)生在理解題意的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)方法的優(yōu)化.

3)“少而精”與“多而全”.章博士認(rèn)為很多教師的日常教學(xué)就是多而全，其實(shí)是對自己不自信的表現(xiàn)，更是對自己要教的內(nèi)容沒有研究透的表現(xiàn).實(shí)現(xiàn)舉一反三、觸類旁通是高考二輪、三輪復(fù)習(xí)的要點(diǎn).

4)不能以學(xué)生水平高作為理由，而把講難題合理化.我們應(yīng)該如何處理難題和思維教學(xué)、創(chuàng)新能力培養(yǎng)之間的關(guān)系？章博士認(rèn)為適合學(xué)生的才是最好的，教師應(yīng)該充分把握學(xué)生的情況，然后選擇合適的問題進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì).

5)教師應(yīng)該想清楚什么該講，什么不該講.章博士認(rèn)為高三綜合復(fù)習(xí)課的程序應(yīng)該是：學(xué)生先讀題，理解題意，然后教師進(jìn)行點(diǎn)評，適當(dāng)歸納，形成解題思路主線，最后讓學(xué)生自己做.在此過程中，教師進(jìn)行巡視，發(fā)現(xiàn)問題，有針對性地幫助學(xué)生.高考復(fù)習(xí)題目多，教師講得多是通病，也是高考復(fù)習(xí)效果不佳的原因之一.

6)在綜合復(fù)習(xí)階段，教師要學(xué)會(huì)判斷學(xué)生的狀態(tài).學(xué)生很多時(shí)候不是做不到，而是想不到.學(xué)生在知識(shí)綜合處提取不出相應(yīng)知識(shí)，實(shí)際上就是認(rèn)知結(jié)構(gòu)不好，可利用性不好，即能力問題.因此教師應(yīng)該選擇思維含金量高的問題，且在講解時(shí)不要輕易地把窗戶紙捅破.教師的智慧在于根據(jù)學(xué)生的情況，進(jìn)行啟發(fā)引導(dǎo).因此在教學(xué)預(yù)設(shè)時(shí)，應(yīng)做好問題串的設(shè)計(jì)，然后讓學(xué)生拾級而上，這是教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)該著力的地方.