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(湖州市王勇強(qiáng)名師工作室,浙江 湖州 313000)

2017年和2018年的全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽填空壓軸題均以二元三次方程為約束條件命制，試題形式簡潔，內(nèi)涵豐富，頗有研究價(jià)值.

1 賽題呈現(xiàn)和比較

例11)若實(shí)數(shù)x,y滿足x3+y3+3xy=1，則x2+y2的最小值為______.

(2017年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題第8題)

(2018年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題第8題)

兩道賽題形式簡潔，結(jié)構(gòu)優(yōu)美且神似，本質(zhì)相通.賽題把不同的輪換對稱式巧妙地融入條件和求解的結(jié)論之中，既很好地展示了數(shù)學(xué)的簡潔美和對稱美，又增強(qiáng)了視覺效果和可操作性.

2 賽題分析和求解

細(xì)心的讀者一定會發(fā)現(xiàn)這兩道賽題的吸引眼球之處：代數(shù)式xy,x+y,x2+y2,x3+y3都具有輪換對稱性，因此它們呈現(xiàn)的約束條件和結(jié)論是相互關(guān)聯(lián)的，解決賽題的策略也有共性.因?yàn)閷ΨQ代數(shù)式xy,x+y,x2+y2,x3+y3之間可以用相等或不等相互轉(zhuǎn)化，因此解題目標(biāo)可以從相等和不等兩個(gè)視角切入.

2.1 從相等關(guān)系入手，構(gòu)造方程求解

由于輪換對稱的代數(shù)式x2+y2,x3+y3均可以用基本對稱式xy,x+y表示出來，即

x2+y2=(x+y)2-2xy，

x3+y3=(x+y)[(x+y)2-3xy],

因此自然地聯(lián)想到韋達(dá)定理，構(gòu)造一元二次方程，利用判別式大于或等于0求解.又這兩道賽題結(jié)構(gòu)神似，故可以通過構(gòu)造一元二次方程來統(tǒng)一求解.解法如下：

解法11)設(shè)x+y=t，則

t(t2-3xy)+3xy=1，

即

(t-1)(t2+t+1-3xy)=0，

從而

①當(dāng)t=1，即x+y=1時(shí)，

x2+y2=x2+(1-x)2=2x2-2x+1=

即

(t+2)2≤0，

得

t=-2，

故

x=y=-1，

此時(shí)

x2+y2=2.

2)設(shè)x+y=t，則

即

于是t>0，即

t3+t-30≤0，

進(jìn)而

(t3-3t2)+(3t2+t-30)≤0，

即

(t-3)(t2+3t+10)≤0.

2.2 從不等關(guān)系入手,挖掘不等式求解

(當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，取到等號).詳情請參閱文獻(xiàn)[1].

下面嘗試用這條不等式“鏈”來求解上述兩道競賽題.

解法21)設(shè)x+y=t，則

t(t2-3xy)+3xy=1，

即

(t-1)(t2+t+1-3xy)=0，

故

化簡整理，得

(t+2)2≤0，

即

t=-2，

故

x=y=-1，

此時(shí)

x2+y2=2.

2)設(shè)x+y=t，則

即

(1)

從而

t>0.

化簡式(1)，整理得t3+t-30≤0，

即

(t3-3t2)+(3t2+t-30)≤0，

因式分解，得 (t-3)(t2+3t+10)≤0.

0

于是x+y的最大值為3.

3 賽題拓展

為了進(jìn)一步掌握賽題解法的精髓，再舉幾例將賽題和解法進(jìn)行拓展.事實(shí)上，賽題的約束條件和結(jié)論均可以適當(dāng)放寬，但是解決問題的宗旨不變，解題策略仍然可以通過構(gòu)造一元二次方程或換元、減元和不等關(guān)系進(jìn)行統(tǒng)一求解.詳情請參閱文獻(xiàn)[2].

例2若實(shí)數(shù)x,y滿足x2-3xy+2y2=1,則x2+y2的最小值為______.

評注上述換元、減元和不等關(guān)系的聯(lián)合使用，魅力十足.若考慮構(gòu)造一元二次方程，則可設(shè)x2+y2=t=t·1=t(x2-3xy+2y2)，操作性更強(qiáng).更多變化請參閱文獻(xiàn)[3].

解設(shè)xy=t，則

x+y=4+2t2，

從而

例4已知實(shí)數(shù)a>0,b>0,且滿足3a+b=a2+ab,則2a+b的最小值為______.

解設(shè)2a+b=t，代入3a+b=a2+ab,得關(guān)于a的方程a2+(1-t)a+t=0有正根，從而

Δ=(1-t)2-4t≥0且t>1，

即

t2-6t+1≥1，

4 賽題變式

由于賽題把不同的輪換對稱式巧妙地融入條件和求解的結(jié)論之中，因此不難編制出系列預(yù)測性變式題.

變式2若實(shí)數(shù)x,y滿足x3+y3+3xy=1，則xy的最大值為______;x3+y3的最小值為______.

變式3若實(shí)數(shù)x,y滿足x3+y3-2(x2+y2)-7xy+3=0，則x+y的最大值為______;xy的最大值為______.

解設(shè)x+y=t，則

t(t2-3xy)-2t2-3xy+3=0，

即

(t+1)(t2-3t+3-3xy)=0，

故

化簡整理，得

t2-12t+12≤0，

即

感興趣的讀者可以根據(jù)賽題的拓展思路編制更多的試題并研究更多的解法，從中感悟數(shù)學(xué)的簡潔美、對稱美以及數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng).最后，筆者把這兩道賽題的聯(lián)合研究拙見提出來，供大家研究.

猜想若實(shí)數(shù)x,y滿足x3+y3+A(x2+y2)+B(x+y)+Cxy=D(其中A,B,C,D為常數(shù))，則xy,x+y,x2+y2,x3+y3的最大值或最小值中至少可以求得其中之一.