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(泉州外國語中學(xué),福建 泉州 362000) (泉州第五中學(xué)，福建 泉州 362000)

函數(shù)導(dǎo)數(shù)的試題，往往需要以導(dǎo)數(shù)為工具研究函數(shù)的極值、最值情況，而結(jié)合“隱”極值范圍的探索使得試題的難度大大增加.如何有效求解此類問題?筆者基于近幾年高考、模擬考試題的研究，探索這類問題的解法并總結(jié)規(guī)律，得到其模式化解題策略.

1 函數(shù)的“隱”極值問題

1.1 函數(shù)極值的判定

一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，若x0滿足f′(x0)=0，且在x0兩側(cè)附近f′(x)的函數(shù)值異號，則x0是f(x)的極值點(diǎn).若f′(x)在x0兩側(cè)附近滿足“左正右負(fù)”，則x0是f(x)的極大值點(diǎn)，f(x0)是極大值；若f′(x)在x0兩側(cè)附近滿足“左負(fù)右正”，則x0是f(x)的極小值點(diǎn)，f(x0)是極小值.

1.2 函數(shù)的“隱”極值

在研究函數(shù)f(x)極值的過程中，若導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的“變號零點(diǎn)”確定存在，但無法確定其具體值，我們把此類問題稱為函數(shù)的“隱”極值問題.

正可謂“只在此山中，云深不知處”！如何尋找“隱”極值的取值范圍呢？

2 “隱”極值問題的求解策略

2.1 不含參數(shù)的“隱”極值問題的求解策略——整體替換，超越化有理

一般地，不含參數(shù)的“隱”極值問題的解題程序?yàn)椋?/p>

1)由函數(shù)零點(diǎn)存在定理，確定“隱”極值點(diǎn)所在的大致范圍；

2)結(jié)合等式f′(x0)=0，通過整體替換，化超越式為有理式，從而把“隱”極值f(x0)表達(dá)成有理式；

3)應(yīng)用函數(shù)知識，確定所得有理式的大致范圍.

由此得到的“隱”極值的范圍是不夠精確的,相對比較粗糙，因此，命題者在命制此類問題時(shí)，設(shè)問方式基本以證明題的形式呈現(xiàn)，要求證明所給出的“隱”極值的取值范圍.解題者只需要根據(jù)題目要求的范圍精度，適度調(diào)整“隱”極值點(diǎn)所在的范圍，即可實(shí)現(xiàn)對“隱”極值的限制.

例1已知函數(shù)f(x)=ax2-ax-xlnx，且f(x)≥0.

1)求a；

2)證明：f(x)存在唯一的極大值點(diǎn)x0，且e-2

(2017年全國數(shù)學(xué)高考卷Ⅱ理科試題第21題)

1)a=1(過程略).

2)證明由a=1得f(x)=x2-x-xlnx，從而

f′(x)=2(x-1)-lnx(其中x>0),

令g(x)=f′(x)，則

由f′(x0)=0,得

2(x0-1)-lnx0=0,

即

lnx0=2x0-2，

綜上可得e-2

評注第2)小題有兩個(gè)難點(diǎn)有待解決：1)估計(jì)極值點(diǎn)x0的范圍；2)由極值點(diǎn)x0的范圍，確定f(x0)的范圍.這兩個(gè)難點(diǎn)的破解，直接關(guān)系到解題的成敗.難點(diǎn)1)的破解策略：根據(jù)零點(diǎn)存在定理估計(jì)極值點(diǎn)x0的范圍，并根據(jù)難點(diǎn)2)的需要及時(shí)調(diào)整該范圍；難點(diǎn)2)的破解策略：函數(shù)極值f(x0)的式子中含有x0的超越式，通常利用f′(x0)=0消去超越式，化成只含x0的有理式，然后估計(jì)該有理式的取值范圍.

例2已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m)．

1)設(shè)x=0是f(x)的極值點(diǎn)，求m的值并討論f(x)的單調(diào)性；

2)當(dāng)m≤2時(shí)，證明：f(x)>0．

(2013年全國數(shù)學(xué)高考卷Ⅱ理科試題第21題)

1)m=1.函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,0)，單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞).

2)證明當(dāng)m≤2時(shí)，

f(x)=ex-ln(x+m)≥ex-ln(x+2).

從而存在x0∈(-1,0)，使g′(x0)=0，當(dāng)-20，所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(-2,x0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(x0,+∞)上單調(diào)遞增，故g(x)的最小值為

g(x0)=ex0-ln(x0+2).

即

ln(x0+2)=-x0，

評注第2)小題的證明可分成兩個(gè)步驟：

1)更換主元，得

h(m)=ex-ln(x+m)(其中m≤2)，

其最小值為h(2)=ex-ln(x+2)，

故只需證明h(2)=ex-ln(x+2)>0對x>-2恒成立.

2)求g(x)的“隱”極小值g(x0)的范圍，g(x0)為含x0的超越式，仍然是利用g′(x0)=0消去超越式，化成只含x0的有理式解決.

2.2 含參數(shù)的“隱”極值問題的求解策略——靈活消元，二元化一元

一般地，含參數(shù)的“隱”極值問題的解題程序：

1)由函數(shù)零點(diǎn)存在定理，并結(jié)合參數(shù)a的取值范圍，確定“隱”極值點(diǎn)x0所在的區(qū)間，并保證“隱”極值點(diǎn)x0能取遍區(qū)間內(nèi)的每一個(gè)值；

2)結(jié)合等式f′(x0)=0，得a與x0的關(guān)系式，通過代入消元，從而把“隱”極值f(x0)表達(dá)為只含x0或a的一元函數(shù)；

3)應(yīng)用函數(shù)知識，確定所得一元函數(shù)的值域.

由此得到的“隱”極值的范圍是準(zhǔn)確的.因此，命題者在命制此類問題時(shí)，設(shè)問方式可以是求解“隱”極值的取值范圍，也可以要求證明所提供的范圍.解題者需要根據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定“隱”極值點(diǎn)所在的精確范圍，從而得到“隱”極值f(x0)的取值范圍.

例3已知函數(shù)f(x)=2xex+m(x2+2x).

(2018年福建省數(shù)學(xué)適應(yīng)性練習(xí)2理科試題第21題)

g(x0)=(2x0-4)ex0+m(x0+2)2.

由g′(x0)=0,得

從而

h′(x)=-(x2+x+1)ex<0，

從而h(x)單調(diào)遞減，于是

h(1)

又h(0)=-2，h(1)=-2e，故-2e

評注第2)小題把極小值點(diǎn)x0代入得到最小值g(x0)，其中g(shù)(x0)是既含有x0的超越式，又含有參數(shù)m的二元式.求解g(x0)的取值范圍有兩個(gè)難點(diǎn)：1)運(yùn)用消元思想，通過代換把g(x0)轉(zhuǎn)化為一元式；2)通過觀察范圍，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，準(zhǔn)確求出所留下的未知數(shù)的取值范圍x0.解決上述兩個(gè)難點(diǎn)后，即可通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出g(x0)的取值范圍.

(2016年全國數(shù)學(xué)高考卷Ⅱ理科試題第21題)

因?yàn)閒(0)=-1，所以當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>f(0)，即

故(x-2)ex+x+2>0成立.

2)當(dāng)x>0且a∈[0,1)時(shí)，

f(0)+a=-1+a<0,f(2)+a=a≥0.

因?yàn)閥=f(x)+a在區(qū)間(-2,+∞)上單調(diào)遞增，所以存在x0∈(0,2]，使g′(x0)=0，且當(dāng)00，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，故g(x)的最小值為

由g′(x0)=0，得

a=-f(x0),

即

因此

評注第2)小題需結(jié)合第1)小題的結(jié)論，得到“隱”最小值g(x0)，后續(xù)在求解g(x0)的取值范圍時(shí)，其解題策略與例3如出一轍，不再贅述.

3 結(jié)束語

函數(shù)“隱”極值點(diǎn)問題的探究及其解題策略，其意境深遠(yuǎn)，真可謂：只在此山中，云深不知處；不懈艱難尋，豁然穿迷霧！