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(三門縣教學研究室,浙江 三門 17100)

新高考以素養(yǎng)為本，為改進學習而評價，實現了從測試到評價的躍升，突出“教、學、評”一體化的實施策略.新高考以問題解決為價值取向，避免機械記憶、專題模仿、套題訓練，考查學生的數學探究、數學發(fā)現、數學問題解決和數學創(chuàng)新意識.筆者通過對一道高考題的直觀感知、數學抽象、建模分析，研究如何引導學生用數學的眼光觀察、用數學的思維思考、用數學的語言表達，從而逐步形成具有數學特征的關鍵能力與理性思維.

題目已知實數a,b,c，

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A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,則a2+b2+c2<100

B．若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1,則a2+b2+c2<100

C．若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1,則a2+b2+c2<100

D．若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1,則a2+b2+c2<100

(2016年浙江省數學高考理科試題第8題)

1 在問題情境中直觀感知，學會用數學眼光觀察

格羅滕迪克曾說過：“證明總是源于對問題的洞察力.首先對于相關的實體和概念及其相互關系有一個細微、固執(zhí)的感覺，然后直接的導引線是從模糊中逐漸顯現出來的內在連貫性，以及它與其他已知或預示的內容的一致性——它更確切地指引著一致性，進而與已知結論之間形成更強、更微妙的聯系.”在一個綜合的情境中，引導學生觀察感知問題所蘊含的數學關系，用數學的眼光找到合適的研究對象，然后通過數學對象、運算或關系洞察問題內存的連貫性與一致性.

選項A的條件|a2+b+c|+|a2+b2+c|≤1中，取a=b可以任意大，只需c來調和，可知a2+b2+c2≥100不一定成立.

至于選項D，由|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1,可得|a2+b+a+b2|≤1，因此|a|，|b|受限制，從而|c|受限制，對于單項選擇題，可以預估選項D是正確的.

數感是關于數與數量、數量關系、運算結果估計等的感悟，可以說數感正是數學的眼光，是細微、固執(zhí)的洞察力之來源.引導學生經歷觀察、猜測、計算、推理、驗證等活動過程，從數學結構上理解數量關系，培養(yǎng)數感，增強洞察力.

2 在問題解決過程中數學抽象，學會用數學的思維分析

特殊值法是一種通過賦值降低推算難度的解題方法，即在解題過程中選用特殊數據、圖形、關系，然后通過簡單運算、推理或驗證簡化問題并得出正確答案或否定錯誤結論.它具有從特殊到一般的認識規(guī)律，既可以幫助學生巧解、速解一些客觀題，又可以培養(yǎng)他們的探索、猜想、發(fā)現等能力.

從結論入手考慮，尋找結論不成立而滿足條件的解.而找出確定的解往往來自于方程，不妨令條件中的兩個絕對值都為0，于是將不等式轉化為可解的方程.為了使得a2+b2+c2≥100，不妨取a=10.

對于選項A，令|100+b+c|=0,|10+b2+c|=0，解得b=10,c=-110或b=-9,c=-91.

同理選項B中，令|100+b+c|=0,|100+b-c|=0，解得b=-100,c=0.

選項C中，令|100+b+c2|=0,|100+b-c2|=0，解得b=-100,c=0都有解.

對于選項A，B，C都可找到滿足條件的a,b,c，但結論并不成立.故選D.

進一步，可以繼續(xù)將兩個二元方程簡化為同一個一元一次方程.同樣先令a=10，對于選項A，|a2+b+c|=0,|a+b2+c|=0，因為兩個方程中關于c都是一次的，可取b=a，方程組轉化為同一個關于c的一次方程102+10+c=0，解得c=-110，即a=10,b=10,c=-110.

對于選項B，|a2+b+c|=0,|a2+b-c|=0，因為兩個方程中關于b都是一次的，可以令c=0，方程組轉化為同一個關于b的一次方程，解得b=-100，即a=10,b=-100,c=0.

同理對于選項C，可得a=10,b=-10,c=0.

故選項A，B，C都不正確.

在綜合的情境中，通過賦值把問題轉化為方程運算.賦值并非簡單地用特殊值代入運算，怎樣賦值？為什么要這樣賦值？其目的在于探究運算方向、設計運算程序.將不等式轉化為方程，進而簡化為一次方程.“函數千千萬，一次最簡單”，數學當然就有算法，算法也許是繁瑣的，具體計算過程更繁瑣.但是，指揮這些算法的想法卻一定是簡單的，這是最有威力的[1].引導學生在復雜的情境中把握這些數量之間的關聯，把握其變化的脈絡，從而形成重論據、有條理、合乎邏輯的思維品質與理性精神.

3 在對數學結論的反思中建立模型，學會用數學的語言表達

問題中的數量關系蘊含著怎樣的數學特征？題設與結論之間存在著怎樣的邏輯關聯？如何構建過渡性命題，探索問題解決的途徑？

圖1

本題的背景是三角不等式：

||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.

選項A的條件|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1中，|a|,|b|可以任意大，只需c來調和.

選項D是形如|x+m|+|y-m|≤1的結構，如圖2，點(x,y)在以點A(-m,m)為中心的正方形區(qū)域內，當點A在直線y=-x上移動時，|x|,|y|,|m|可以取到所有正數，但是|x+y|≤1.當x=a2+b,y=a+b2時，|a2+b+a+b2|≤1，從而

圖2 圖3

選項A的條件|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1與選項D僅相差一個負號，但由選項A得到|a2+b-a-b2|≤1，此時|a|,|b|可以任意大.

通過構建過渡性命題，將復雜的問題轉化為熟悉的模型，并用恰當的數學符號語言與圖形語言予以表達，進而借助圖形的直觀性探索解決問題的思路.

本試題通過不等式與方程、一元與多元、代數與幾何圖形之間的靈活變換，感悟有限與無限的辯證統一.多視角、多層面地研究一道題，可以引導學生經歷直觀感知、數學抽象、建模分析等合情推理的過程，在估算、賦值轉化、建模等數學活動中積累數學思維的經驗，在問題解決的過程中形成與發(fā)展數學核心素養(yǎng).