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(大廠高級(jí)中學(xué),江蘇 南京 210044)

1 背景

開(kāi)展一題多解教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生思維靈活性的重要途徑之一.不少教師經(jīng)常通過(guò)一題多解進(jìn)行解題教學(xué)，筆者在一次高三視導(dǎo)聽(tīng)課時(shí)，一位青年教師甲對(duì)高三雙周考(兩周一次的考試)中的一道試題進(jìn)行一題多解教學(xué).課后的交流中，教師甲自我感覺(jué)已把問(wèn)題講得很透徹，學(xué)生應(yīng)該掌握了此類(lèi)問(wèn)題的求解方法.但兩周之后的雙周考中，學(xué)生對(duì)一道十分類(lèi)似的問(wèn)題的解答，錯(cuò)誤率很高，表明兩周前的那次一題多解教學(xué)十分低效.教師甲向筆者訴苦:這類(lèi)題教了也是白教，原來(lái)錯(cuò)了23人，這次錯(cuò)了25人.這引發(fā)了筆者的思考，結(jié)合聽(tīng)課筆記及與教師甲的交流記錄，把教師甲進(jìn)行“一題多解”教學(xué)的片段整理成文，以探究這次一題多解低效教學(xué)的形成原因，并給出教學(xué)建議，希望能夠改進(jìn)一題多解教學(xué)，提高解題教學(xué)的課堂實(shí)效.

2 題目

例1在平面直角坐標(biāo)系xOy中,過(guò)點(diǎn)P(-4,0)的直線l與⊙C：(x-1)2+y2=5相交于點(diǎn)A,B，若點(diǎn)A恰好是線段PB的中點(diǎn)，則直線l的方程為_(kāi)_____.

說(shuō)明參加考試人數(shù)38人，此題出錯(cuò)23人.

說(shuō)明參加考試人數(shù)38人，此題出錯(cuò)25人.

3 教學(xué)簡(jiǎn)錄

通過(guò)比較教師甲所教同一個(gè)班級(jí)兩次考題(例1和例2)出錯(cuò)的人數(shù)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)這類(lèi)題目的求解，并沒(méi)有進(jìn)步，甚至稍有退步.筆者對(duì)教師甲自我感覺(jué)良好的一題多解教學(xué)產(chǎn)生了質(zhì)疑，通過(guò)回憶并結(jié)合當(dāng)時(shí)的聽(tīng)課筆記，及與教師甲的交流記錄，將例1的教學(xué)片段整理如下：

3.1 錯(cuò)解展示

師：例1錯(cuò)誤的人數(shù)較多，請(qǐng)一位做錯(cuò)的同學(xué)說(shuō)說(shuō)自己的解法.

(k2+1)x2+(8k2-2)x+16k2-4=0.

設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2),由韋達(dá)定理得

根據(jù)點(diǎn)A恰好是線段PB的中點(diǎn)，可得2x1=x2-4.下面想求k的值，但感覺(jué)計(jì)算比較復(fù)雜，就放棄了.

(生1 的解法是很多做錯(cuò)學(xué)生使用的解法.)

師：生1遇到的困難實(shí)際上就是解含有k的三元方程組，只要消去x1，x2就可以了.同學(xué)們清楚了嗎？

(不少學(xué)生點(diǎn)了點(diǎn)頭.教師甲當(dāng)時(shí)以為:講到此處，高三階段的學(xué)生應(yīng)該能夠進(jìn)行后面的消元求解了.)

3.2 另辟“蹊徑”

師：還可以如何設(shè)直線方程.

(教師甲想引導(dǎo)學(xué)生獲得更多的求解方法.)

生2：設(shè)直線l的方程為x=my-4.

師：對(duì)，這樣可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.

(教師甲當(dāng)時(shí)認(rèn)為后面的運(yùn)算可以由學(xué)生課后完成.)

師：這道題還可以怎樣做？

生3：設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，由點(diǎn)A恰好是線段PB的中點(diǎn)，知點(diǎn)B(2x1+4，2y1).根據(jù)點(diǎn)A,B都在⊙C上，可以解出點(diǎn)A的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而可寫(xiě)出直線方程.

生4：過(guò)點(diǎn)C向直線PB作垂線，垂足為H，可以得到Rt△AHC和Rt△PHC，從而算出圓心C到直線l的距離CH，然后設(shè)直線l的方程為y=k(x+4)，根據(jù)直線與圓相交時(shí)的弦長(zhǎng)公式，就可以求出k了.

師：很好!當(dāng)算出圓心C到直線l的距離時(shí),求出直線的方程就是圓的弦所在的直線方程，這個(gè)問(wèn)題大家都清楚.

(教師甲并沒(méi)有追問(wèn)生4“由Rt△AHC和Rt△PHC求出圓心C到直線l的距離”的過(guò)程.)

師：還有其他想法嗎？

生5：在△PBC和△PAC中使用兩次余弦定理求出∠BPC的余弦值.

生6(對(duì)平面幾何知識(shí)較熟悉)：還可以使用圓冪定理,由圓冪定理可得

再由PB=2PA,可以求出PA，從而得到直線l被⊙C截得的弦長(zhǎng)……

師：還有其他想法嗎？

生7：可以用直線參數(shù)方程的幾何意義……

生8：可以重建坐標(biāo)系,用極坐標(biāo)方程……

師：對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，我們得到了8種方法，請(qǐng)同學(xué)們課后整理一下.

(課后,筆者與教師甲進(jìn)行了交流，他認(rèn)為：這道題已經(jīng)講了8種方法，對(duì)學(xué)生應(yīng)該有所啟發(fā)，能夠滿(mǎn)足不同學(xué)生的需要，因此滿(mǎn)意地結(jié)束了該堂課的教學(xué).)

4 低效教學(xué)探因與改進(jìn)

4.1 “一題多解”教學(xué)要詳略得當(dāng)，解決學(xué)生的真困惑

可以引導(dǎo)學(xué)生設(shè)計(jì)出流程，形成小算法：先由韋達(dá)定理中第一個(gè)式子及2x1=x2-4，得x1和x2(含有k),再回代到韋達(dá)定理中的第二個(gè)式子,從而得到關(guān)于k的一元方程，即可求出k值.再進(jìn)行方法回顧，指出此方法的使用條件，事實(shí)上，此方法在直線和圓錐曲線相交的問(wèn)題中也可使用，是一種學(xué)生容易想到也較為通用的方法.當(dāng)然，也可以不借助韋達(dá)定理，只用求根公式算出兩個(gè)根x1，x2(含有k)，代入2x1=x2-4，得到關(guān)于k的方程，進(jìn)而求出k的值.在韋達(dá)定理使用不順暢時(shí)，這也是一種不錯(cuò)的方法.

本次教學(xué)中，教師甲對(duì)生1方法的關(guān)鍵處——如何消元求k的值,一帶而過(guò)；對(duì)生4展示的方法關(guān)鍵點(diǎn)“如何由Rt△AHC和Rt△PHC求出圓心C到直線l的距離”淺嘗輒止，導(dǎo)致不少學(xué)生在解決例2時(shí)還是在原來(lái)的地方卡殼.“一題多解”教學(xué)應(yīng)在學(xué)生的真困惑處濃墨重彩、精雕細(xì)刻，在學(xué)生能夠輕松解決之處可一筆帶過(guò)，這樣才能提高“一題多解”教學(xué)的課堂效益.

4.2 “一題多解”教學(xué)要在課堂上給學(xué)生留足“悟”的時(shí)間

這節(jié)課中教師甲雖然對(duì)例1的8種方法進(jìn)行了教學(xué)，但這些方法連續(xù)出現(xiàn)，沒(méi)有給學(xué)生“喘息”的機(jī)會(huì)，學(xué)生缺少體悟和總結(jié)的時(shí)間，眾多的方法變成了過(guò)眼浮云，導(dǎo)致低效教學(xué).提高“一題多解”教學(xué)實(shí)效，解題方法可以少一些，但留給學(xué)生整理和體會(huì)的時(shí)間不能少，要為學(xué)生留足將一種方法執(zhí)行到位甚至再做一遍的時(shí)間，否則學(xué)生只能被動(dòng)參與，思維膚淺，不能向縱深處發(fā)展，學(xué)生的真困難不能得到有效解決.

比如生1采用的方法，在形成了消元求k的流程之后，要給學(xué)生幾分鐘演算的時(shí)間，如生4采用的方法，需要給學(xué)生一點(diǎn)時(shí)間考慮“如何由Rt△AHC和Rt△PHC求出圓心C到直線l的距離”，這都是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理素養(yǎng)和滲透方程思想的好時(shí)機(jī).

4.3 “一題多解”教學(xué)要注意方法的比較與個(gè)性化選擇

課堂上，教師甲除了對(duì)生1和生2的方法進(jìn)行比較之外，沒(méi)有引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)各種方法的使用條件、優(yōu)缺點(diǎn)及可適性.解題方法的選擇有時(shí)帶有很強(qiáng)的個(gè)性化特征，這一點(diǎn)也在此次教學(xué)中被忽視,通過(guò)訪談了解到生1在解決例1和例2時(shí)都采用了同樣的方法，但都沒(méi)有做出正確的答案.因此進(jìn)行“一題多解”教學(xué)，在方法的比較之后，還要引導(dǎo)學(xué)生找到適合自己的方法，并將這種方法理解透徹、執(zhí)行到位.

比如，生1、生2和生3的方法都比較容易想到，不用作輔助線，遇到的困難是含多個(gè)字母的運(yùn)算；生4和生5的方法中含有對(duì)同一個(gè)量算兩次的技巧，有一定的靈活性；生6的方法要求學(xué)生熟知圓冪定理，事實(shí)上熟知這個(gè)定理的學(xué)生較少，這種方法使用的頻率也不高；生7和生8的方法主要用到了《數(shù)學(xué)(選修4)》系列直線的參數(shù)設(shè)法及圓的極坐標(biāo)方法，也只是極少數(shù)學(xué)生能想到和使用的方法.哪種方法最適合學(xué)生個(gè)體，需要引導(dǎo)學(xué)生自己去比較和挑選.

4.4 “一題多解”教學(xué)要面向全體,兼顧差異

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)》指出：高中數(shù)學(xué)課程面向全體學(xué)生，實(shí)現(xiàn)人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展[1].在“一題多解”教學(xué)時(shí)，如何調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，如何兼顧好優(yōu)秀生、中等生及學(xué)弱生，并在各層次學(xué)生之間尋求平衡？ 這是一線教師應(yīng)該經(jīng)常思考的問(wèn)題.在教師甲的課堂上，優(yōu)秀生的思維得到了激活，通過(guò)調(diào)查了解到有幾個(gè)優(yōu)秀生在求解例2時(shí)使用了兩種以上的方法，但是在教學(xué)的后半段，不少中等生、學(xué)弱生變成了陪襯，他們沒(méi)有參與的平臺(tái).事實(shí)上，“一題多解”也可分層展開(kāi)教學(xué)，不必希望每一個(gè)學(xué)生都能理解這8種方法.對(duì)于大多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)，將2～3種方法理解清楚就可以了.另外，課堂上除了講清思路，還需將計(jì)算進(jìn)行到底.本節(jié)課的后3種方法可以放在課后，由數(shù)學(xué)興趣小組的學(xué)生在課間討論中進(jìn)行(或者教師對(duì)優(yōu)秀生進(jìn)行個(gè)別指導(dǎo))，這樣既有利于優(yōu)秀學(xué)生的發(fā)展，又避免了中等生、學(xué)弱生無(wú)法參與其中的現(xiàn)象.

4.5 “一題多解”教學(xué)要有跟進(jìn)的補(bǔ)償練習(xí)

及時(shí)跟進(jìn)的鞏固練習(xí)是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要手段之一.回顧教師甲的這次教學(xué)，發(fā)現(xiàn)后續(xù)的補(bǔ)償練習(xí)是缺失的，導(dǎo)致課后這些方法未能得到及時(shí)的鞏固.上課時(shí)學(xué)生可能是會(huì)的(比如生1的方法)，但是要內(nèi)化為學(xué)生自己的東西還需練習(xí).為了提高“一題多解”教學(xué)的效益，后續(xù)的補(bǔ)償練習(xí)必不可少.練習(xí)題可以由教師選編，也可以由學(xué)生編出，哪怕只是改改數(shù)據(jù)再練習(xí)一下，也可以達(dá)到鞏固方法、提升解題能力的作用.

4.6 “一題多解”教學(xué)要讓學(xué)生在活動(dòng)中再體驗(yàn)

弗賴(lài)登塔爾對(duì)“往哪兒指導(dǎo)”這個(gè)問(wèn)題的回答是“到活動(dòng)中去”[2].解題教學(xué)也應(yīng)如此，不是教師告訴學(xué)生解題方法，也不是請(qǐng)優(yōu)秀生變相地告訴.本節(jié)課中的解題方法大多數(shù)是告訴式教學(xué)，對(duì)“學(xué)生怎樣想到的、為什么這么想、遇到哪些問(wèn)題可以這樣想”等等稍有涉及，但學(xué)生沒(méi)有經(jīng)歷再體驗(yàn)一次的解題活動(dòng)，無(wú)法記住和遷移這種解題經(jīng)驗(yàn).從這個(gè)角度看，學(xué)生遇到例2時(shí)仍然出錯(cuò)也就在所難免了.如果學(xué)生是被指導(dǎo)著再創(chuàng)造一次解題活動(dòng)，就會(huì)更容易學(xué)會(huì)、記住和遷移這類(lèi)問(wèn)題的解決方法，形成一定的求解此類(lèi)問(wèn)題的能力.

著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家波利亞給出解題的4個(gè)步驟：理解題意、擬定計(jì)劃、執(zhí)行計(jì)劃、回顧[3].本節(jié)課教師甲展開(kāi)的“一題多解”教學(xué)，“執(zhí)行計(jì)劃”不到位，“解題回顧”缺失，勢(shì)必導(dǎo)致教學(xué)效果較低，如此，在兩次雙周考中學(xué)生對(duì)同類(lèi)題目的解答沒(méi)有長(zhǎng)進(jìn)也就不足為怪了.有指導(dǎo)的“一題多解”教學(xué)也需要遵循波利亞先生提出的4個(gè)步驟，方能取得更大的解題效益，達(dá)到“會(huì)一個(gè)，通一類(lèi)”的效果.

5 結(jié)束語(yǔ)

“一題多解”教學(xué)是高三數(shù)學(xué)解題教學(xué)的常用手段.教師需要在深刻理解問(wèn)題的基礎(chǔ)上展開(kāi)教學(xué)，同時(shí)要充分了解學(xué)生的情況，根據(jù)學(xué)生的情況選擇多解中的“多”的度; 在學(xué)生的“擁有”和“可能”之間尋求突破，確定詳略點(diǎn); 給學(xué)生留足“悟”的時(shí)間、再寫(xiě)一遍的時(shí)間，這樣才能切實(shí)發(fā)揮“一題多解”教學(xué)的效益，有效提高學(xué)生的解題能力.