王紀(jì)程，李冉冉，徐天緯

(南京工程學(xué)院，江蘇 南京210000)

1 引言

足球機(jī)器人的底層運(yùn)動(dòng)控制是完成各種智能運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)，因此近幾年來一直成為研究的重點(diǎn)和熱點(diǎn)。國內(nèi)外學(xué)者針對這方面做了很多的研究，傳統(tǒng)的PID控制算法具有控制方法簡單、參數(shù)調(diào)整方便、魯棒性好和可靠性高等優(yōu)點(diǎn)，然而全向移動(dòng)足球機(jī)器人系統(tǒng)本身是一個(gè)多變量、時(shí)變性、強(qiáng)耦合的復(fù)雜系統(tǒng)，傳統(tǒng)的PID控制算法已經(jīng)不能滿足其控制要求。本文在傳統(tǒng)的PID控制算法的基礎(chǔ)上，對PID控制算法進(jìn)行改進(jìn)，并結(jié)合BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)出BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID控制器。

2 足球機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

在建立四輪機(jī)器人運(yùn)動(dòng)模型前，首先要明確機(jī)器人體坐標(biāo)系即相對坐標(biāo)系的定義。取四輪足球機(jī)器人質(zhì)心為原點(diǎn)建立起機(jī)器人體坐標(biāo)系，世界坐標(biāo)系是以場地中心為原點(diǎn)，對方球門方向?yàn)檎较?，如圖1所示。目前，在全自主足球機(jī)器人輪系分布系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，以三輪120°均衡分布和四輪90°均衡分布被廣泛使用，但由于足球機(jī)器人增加彈射機(jī)構(gòu)，因此四輪機(jī)構(gòu)無法做到均衡分布。

圖1 全向移動(dòng)足球機(jī)器人體坐標(biāo)系及速度分解示意

設(shè)機(jī)器人三維速度矢量[VXVYw]T，足球機(jī)器人幾何中心在二維平面上的運(yùn)動(dòng)可用該三維矢量來表示，其整體速度可以看成平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的集合，R是各輪的軸心到機(jī)器人體坐標(biāo)系的距離。根據(jù)速度分解示意圖可以得出四個(gè)輪子的速度分解公式如下：

根據(jù)式(1)、(2)、(3)、(4)可得到輪系速度矢量(v′1v′2v′3v′4)與機(jī)器人本體的速度向量(VxVyw)的關(guān)系：

設(shè)機(jī)器人本體在絕對坐標(biāo)系中的位姿為θ，對于各個(gè)輪子相對于絕對坐標(biāo)系的角度不同，故引入旋轉(zhuǎn)矩陣R(θ)。

設(shè)vi為v′i在世界坐標(biāo)系中的表示，得到：

則式(8)可以寫成：

通過以上分析最終建立起如式(10)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。

3 足球機(jī)器人PID改進(jìn)算法

PID控制器有兩種控制算法，一種是位置式控制算法，一種是增量式控制算法，下面簡要介紹這兩種算法，并進(jìn)行比較。

3.1 位置式PID算法

該算法是以連續(xù)的PID控制規(guī)律為基礎(chǔ)，然后將其數(shù)字化，寫成差分方程，得到PID控制器的微分方程：

式(11)中：u(t)為PID調(diào)節(jié)器輸出量；e(t)為PID調(diào)節(jié)器輸入量；kp為比例系數(shù)；Tl為積分時(shí)間常數(shù)；TD為微分時(shí)間常數(shù)。

在計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中，采用數(shù)字PID，因此將式(11)的公式離散化得差分方程：

式(12)中：kl為積分系數(shù)；kD為微分系數(shù)。

位置式算法屬于全量輸出，所以每次輸出都與過去的狀態(tài)有關(guān)，計(jì)算時(shí)要對e(k)進(jìn)行累加，計(jì)算機(jī)工作量大，為了能減輕計(jì)算機(jī)的工作量，因此產(chǎn)生了增量式算法。

3.2 增量式PID算法

由式(12)可得：

將式(12)和式(13)相減，得：

由式(14)可知，u(k)只與e(k)、e(k－1)、e(k－2)有關(guān)，故稱為增量式。

傳統(tǒng)的PID控制算法是基于數(shù)學(xué)對象模型的方法，其優(yōu)點(diǎn)是算法簡單、參數(shù)調(diào)整方便、魯棒性強(qiáng)和可靠性高。然而足球機(jī)器人系統(tǒng)則是一個(gè)多變量、強(qiáng)耦合，非線性時(shí)變的復(fù)雜系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)的負(fù)載或參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，采用傳統(tǒng)的PID控制算法已經(jīng)不能達(dá)到設(shè)計(jì)的預(yù)期效果，因此，需要對PID算法進(jìn)行改進(jìn)。

3.3 積分分離算法

系統(tǒng)中加了積分進(jìn)行矯正后，會(huì)產(chǎn)生較大的超調(diào)量，這對足球機(jī)器人系統(tǒng)是不利的，因此引入積分分離算法，既保存了積分的作用，又降低了超調(diào)量，使控制性能得到了極大地改善。

積分分離算法設(shè)置了一個(gè)積分分離閥e0，當(dāng)|e(k T)|≤E0時(shí)，即偏差e(k T)偏小時(shí)，采用PID控制保證系統(tǒng)的控制精度；當(dāng)|e(k T)|＞E0時(shí)，即偏差e(k T)偏大時(shí)，采用PD控制可使超調(diào)量大幅度降低。積分分離算法可以表示為：

式(15)中：e(k T)＝e(k T)－e(k T－T)為當(dāng)前周期的誤差變化量，e(k T－T)＝e(k T－T)－e(k T－2T)為上一周期的誤差變化量，當(dāng)|e(k T)|≤E 0時(shí)，Kl＝1；當(dāng)|e(k T)|＞E 0時(shí)，Kl＝0。此時(shí)，增量式PID算法可表示為：

式(16)中：k′l＝Ki×Kl。

3.4 分段控制算法

在足球機(jī)器人比賽過程中，實(shí)時(shí)性和快速性是衡量該系統(tǒng)性能好壞的重要指標(biāo)。如何在最短的時(shí)間內(nèi)，讓機(jī)器人能夠完成電機(jī)調(diào)速過程，達(dá)到最佳的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，取決于電機(jī)調(diào)速算法。在控制精度允許的范圍內(nèi)，控制算法越簡單，單片機(jī)進(jìn)行運(yùn)算處理的時(shí)間就越短，PID調(diào)節(jié)的時(shí)間也就越短。滿足在采樣周期內(nèi)，單片機(jī)要盡可能快的完成PID運(yùn)算，電機(jī)的速度也要隨之發(fā)生變化。在一組參數(shù)中，對于低速時(shí)候的電機(jī)控制會(huì)有很好的效果，但對于高速時(shí)候的電機(jī)速度的效果卻很差，因此，使用單一的一個(gè)控制參數(shù)無法實(shí)現(xiàn)電機(jī)的最優(yōu)控制。

分段控制，就是把調(diào)速設(shè)備分成幾段進(jìn)行控制，在產(chǎn)生不同的誤差時(shí)，選擇不同的PID參數(shù)。在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，電機(jī)的調(diào)速范圍分成三段控制效果較好，速度誤差0～30時(shí)選擇PID參數(shù)1，速度誤差在30～60時(shí)選擇PID參數(shù)2，在60～100時(shí)選擇PID參數(shù)3。

積分分離算法既保存了積分的作用，有減少了超調(diào)量；分段控制精度高，平滑性好，兩者結(jié)合，使電機(jī)調(diào)速性能明顯得到改善。其結(jié)合控制算法程序流程圖如圖1所示。

利用Matlab軟件將傳統(tǒng)PID算法和積分分離算法進(jìn)行仿真，比較這兩種算法的仿真結(jié)果，仿真結(jié)果如圖2、圖3所示。從仿真結(jié)果上看，積分分離算法控制更平穩(wěn)，減小了超調(diào)量，控制性能得到很大改善。

4 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID控制器設(shè)計(jì)

在足球機(jī)器人系統(tǒng)中，電動(dòng)機(jī)的調(diào)速主要是通過改變電樞電壓大小來實(shí)現(xiàn)的。它采用PWM(脈沖寬度調(diào)節(jié))技術(shù)，PID控制器的輸出量u為PWM的占空比。機(jī)器人單自由度電機(jī)調(diào)速控制系統(tǒng)框圖如圖4所示。

采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對PID的3個(gè)參數(shù)kp、ki、kd進(jìn)行在線整定，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制主要是根據(jù)系統(tǒng)的實(shí)時(shí)運(yùn)行狀態(tài)，也就是系統(tǒng)的誤差|e|和誤差變化率|e|，通過誤差|e|和誤差變化率|e|來調(diào)節(jié)PID的參數(shù)，從而是的各項(xiàng)性能指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)化，使輸出層神經(jīng)元的輸出狀態(tài)對應(yīng)于PID控制器的三個(gè)可調(diào)參數(shù)、、，通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自學(xué)習(xí)、加權(quán)系數(shù)的自調(diào)整，使神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出對應(yīng)于某種最優(yōu)控制下的PID控制參數(shù)。現(xiàn)引入圖5所示的三層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

圖1 分段與積分分離PID控制算法流程

圖2 積分分離算法仿真結(jié)果

圖3 普通PID算法仿真結(jié)果

圖4 機(jī)器人單自由度電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)框

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)包括輸入層、隱含層、輸出層，第一層為網(wǎng)絡(luò)輸入層，輸入量為誤差|e|和誤差變化率|e|。其活化函數(shù)相當(dāng)于恒定函數(shù)，故輸入為：

第二層為網(wǎng)絡(luò)隱含層，其輸入和輸出分別為：

式(18)中，neti(2)(k)為隱含層輸入，Oi(2)(k)為隱含層輸出，w(2)ij為隱含層的加權(quán)系數(shù)，M的值隨著控制系統(tǒng)的復(fù)雜程度不同而變化，上面的數(shù)字1、2、3表示為輸入層、隱含層和輸出層。隱含層神經(jīng)元的活化函數(shù)取偶函數(shù)Sigmoid函數(shù)：

圖5 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

第三層為網(wǎng)絡(luò)輸出層，其輸入、輸出分別為：

于是有：

式(22)表示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出層的3個(gè)節(jié)點(diǎn)，分別代表PID控制器3個(gè)參數(shù)kp、ki、kd，又因?yàn)閗p、ki、kd不能為負(fù)值，故輸出層的神經(jīng)元活化函數(shù)為非負(fù)函數(shù)Log－Sigmoid函數(shù)：

取性能指標(biāo)為：

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反向?qū)W習(xí)過程采用非線性規(guī)劃中的最速下降法，按誤差函數(shù)的負(fù)梯度方向修改各層的加權(quán)系數(shù)，并附加一個(gè)使調(diào)整快速收斂于全局最小的慣性項(xiàng)：

由式(17)～(22)可得：

由此可以推出神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出層權(quán)的自學(xué)習(xí)算法為：

式(31)中g(shù)′＝g(x)(1－g(x))，同理可推出神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱含層權(quán)系數(shù)的學(xué)習(xí)算法：

通過以上神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)各層的權(quán)系數(shù)推導(dǎo)可以看出，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID控制最終的輸出對應(yīng)了PID控制算法的3個(gè)參數(shù)，該控制器利用自身自學(xué)習(xí)特點(diǎn)以及外部環(huán)境的變化來進(jìn)行參數(shù)整定，使的控制器的控制性能滿足足球機(jī)器人系統(tǒng)的控制要求。

5 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)改進(jìn)PID控制算法仿真

為比較傳統(tǒng)PID控制器和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)改進(jìn)PID控制器的性能，用MATLAB軟件來進(jìn)行simulink仿真。設(shè)控制對象為：

為了得出兩種控制系統(tǒng)最后輸出量的對比效果，在建立simulink仿真模型時(shí)將兩個(gè)系統(tǒng)的輸出結(jié)果通過一個(gè)示波器顯示出來，仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 仿真結(jié)果顯示

從圖6中可以看出，采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID控制器的超調(diào)量明顯比傳統(tǒng)PID控制器的超調(diào)量小，而且系統(tǒng)穩(wěn)定性要好。同時(shí)，還可以看出神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器系統(tǒng)的響應(yīng)速度要慢于傳統(tǒng)PID控制系統(tǒng)，這是由于在系統(tǒng)初始階段，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)要進(jìn)行自學(xué)習(xí)，因此其快速性受到影響。

6 結(jié)語

在提出足球機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，對足球機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)控制算法進(jìn)行研究。針對足球機(jī)器人系統(tǒng)的復(fù)雜性、時(shí)變性和不確定性，傳統(tǒng)的PID控制系統(tǒng)已經(jīng)不能滿足其控制系統(tǒng)的性能要求，因此在傳統(tǒng)的PID控制算法的基礎(chǔ)上對其進(jìn)行改進(jìn)，設(shè)計(jì)了一種BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)改進(jìn)PID控制器，并對其性能效果進(jìn)行仿真驗(yàn)證，仿真結(jié)果表明：BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID控制器與傳統(tǒng)的PID控制器相比，具有超調(diào)量小、運(yùn)行穩(wěn)定等優(yōu)點(diǎn)，其控制性能得到明顯提升。