胡政權(quán)，劉 毓，牛曉偉

(重慶三峽學(xué)院電子與信息工程學(xué)院，重慶 404100)

0 引言

跳頻通信因?yàn)槠淞己玫目垢蓴_性能、較低的被截獲概率和較強(qiáng)的多址組網(wǎng)能力而被廣泛的應(yīng)用在軍事和民用通信領(lǐng)域。但是隨著通信電磁環(huán)境的日漸復(fù)雜，如何有效地進(jìn)行跳頻通信的偵察與抗干擾也愈加困難[1-3]。跳頻信號(hào)的參數(shù)估計(jì)是通信對(duì)抗的基礎(chǔ)，是最重要的一環(huán)。

目前大多關(guān)于跳頻信號(hào)參數(shù)估計(jì)集中在跳頻信號(hào)的時(shí)域和頻域參數(shù)估計(jì)，較少的研究著眼于空域參數(shù)。信號(hào)的波達(dá)方向估計(jì)中基于子空間分解的多重信號(hào)分類算法和旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)(Estimation of Signal Parameter via Rotation Invariance Technique, ESPRIT)被廣泛應(yīng)用[4]。文獻(xiàn)[5-6]提出一種空時(shí)頻分析和MUSIC算法相結(jié)合的跳頻信號(hào)一維波達(dá)方向估計(jì)算法，該算法簡(jiǎn)單易于實(shí)現(xiàn)，但是低信噪比和小快拍數(shù)時(shí)算法性能下降嚴(yán)重。文獻(xiàn)[7]提出一種基于SCMUSIC&STFD算法的跳頻信號(hào)DOA估計(jì)算法，這種算法主要解決了MUSIC算法復(fù)雜度高的問題，但是沒有解決低信噪比下算法的估計(jì)精度問題。文獻(xiàn)[8]提出一種基于基于ESPRIT算法的跳頻信號(hào)DOA估計(jì)算法，大大降低了算法復(fù)雜度，但是這種算法對(duì)陣列要求較高，限制了算法應(yīng)用條件。文獻(xiàn)[5-8]所提算法僅局限于跳頻信號(hào)一維波達(dá)方向的估計(jì)，無法實(shí)現(xiàn)跳頻信號(hào)目標(biāo)的三維定位。文獻(xiàn)[9-10]提出一種基于空間極化時(shí)頻分布的跳頻信號(hào)2D-DOA估計(jì)算法，該算法本質(zhì)上還是運(yùn)用了ESPRIT算法來實(shí)現(xiàn)跳頻信號(hào)的二維波達(dá)方向的估計(jì)，算法的信噪比適應(yīng)能力較差。

目前現(xiàn)有關(guān)于跳頻信號(hào)二維波達(dá)方向估計(jì)研究中，存在低信噪比和小快拍數(shù)下算法性能下降嚴(yán)重問題。本文針對(duì)此問題提出一種基于二階偏導(dǎo)MUSIC跳頻信號(hào)2D-DOA高精度估計(jì)算法。該算法運(yùn)用傳統(tǒng)MUSIC算法估計(jì)波達(dá)方向構(gòu)造的空間譜函數(shù)極大值點(diǎn)處存在方位角和俯仰角的二階偏導(dǎo)，并且二階偏導(dǎo)小于零的特性，通過對(duì)跳頻信號(hào)的方位角和俯仰角求二階偏導(dǎo)構(gòu)造新的MUSIC算法空間譜函數(shù)，將傳統(tǒng)極值譜峰搜索轉(zhuǎn)化為負(fù)向譜峰搜索。

1 跳頻信號(hào)陣列快拍模型與空間譜函數(shù)構(gòu)建

假設(shè)跳頻信號(hào)接收機(jī)在觀測(cè)時(shí)間ΔT和觀測(cè)頻段ΔW內(nèi)接收到的跳頻信號(hào)y(t)為：

(1)

式(1)中，sn(t)表示第n個(gè)跳頻信號(hào)；v(t)表示均值為零，方差為σ2的高斯白噪聲。

假設(shè)觀測(cè)時(shí)間內(nèi)有K個(gè)跳頻信號(hào)，第k(k=1,…,K)個(gè)完整跳的中心頻率為fnk，初相為φnk，最開始非完整跳的持續(xù)時(shí)間為Δtn0，中心頻率為fn0，初相為φn0，則sn(t)可表示為[11]：

(2)

式(2)中，an表示第n個(gè)跳頻信號(hào)的基帶復(fù)包絡(luò)；rect(t)表示單位矩形脈沖函數(shù)。

假設(shè)有N個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)跳頻信號(hào)以二維方向角度(θk,φk)(θk和φk分別代表第k個(gè)跳頻信號(hào)的的方位角和俯仰角)入射到如圖1所示的M元雙均勻平行線陣上。其中，陣元間距為d1，兩個(gè)陣列的間距為d2，且滿足max(d1,d2)

圖1 信號(hào)入射示意Fig.1 Signal incident diagram

假設(shè)跳頻信號(hào)的波長(zhǎng)為λ，則陣列1對(duì)入射信源S的導(dǎo)向矢量aS1(θ,φ)為：

aS1(θ,φ)=[1,e-j2πd1sinθcosφ/λ,…,
e-j2π(M-1)d1sinθcosφ/λ]T

(3)

陣列2與陣列1的導(dǎo)向矢量的差別是由兩個(gè)陣列之間的間距d2引起的，陣列2的導(dǎo)向矢量aS2(θ,φ)可以表示為：

aS2(θ,φ)=[1,e-j2π(d1sinθcosφ+d2sinθsinφ)/λ,…,
e-j2π[(M-1)d1sinθcosφ+d2sinθsinφ]/λ]T

(4)

因此，雙均勻線陣對(duì)入射信源S的導(dǎo)向矢量a(θ,φ)可以表示為：

(5)

根據(jù)式(5)可以得到陣列流型矩陣為：

A=[a1(θ,φ),a2(θ,φ),…,aN(θ,φ)]

(6)

假設(shè)雙均勻平行線陣接收到的信號(hào)矢量X(t)=[x1(t),x2(t),…,xM(t)]T，跳頻信號(hào)的信源矢量S(t)=[s1(t),s2(t),…sN(t)]T，陣列噪聲信號(hào)矢量S(t)=[s1(t),s2(t),…sN(t)]T，則跳頻信號(hào)的陣列快拍模型可以表示為：

X(t)=Y(t)+N(t)=AS(t)+N(t)

(7)

跳頻信號(hào)的載頻是隨機(jī)跳變的，如果直接采用平穩(wěn)信號(hào)協(xié)方差矩陣求解法會(huì)導(dǎo)致跳頻信號(hào)的流型矩陣也是隨機(jī)變化的。文獻(xiàn)[12]利用跳頻信號(hào)的時(shí)頻圖將跳頻信號(hào)分解為一個(gè)個(gè)獨(dú)立的跳，這樣可以將跳頻信號(hào)簡(jiǎn)化為頻率固定的窄帶信號(hào)。跳頻信號(hào)x(t)的空時(shí)頻分布可以表示為：

(8)

式(8)中，[DXX(t,f)]ij=Dxixj(t,f) 為跳頻信號(hào)之間的互時(shí)頻分布。

因此，跳頻信號(hào)的時(shí)頻域協(xié)方差矩陣可以表示為：

E[DXX(t,f)]=E[DYY(t,f)]+E[DNN(t,f)]=
ADSS(t,f)AH+E[DNN(t,f)]

(9)

根據(jù)式(9)對(duì)跳頻信號(hào)的陣列協(xié)方差矩陣E[DXX(t,f)]進(jìn)行特征值分解可得：

(10)

式(10)中，US為K個(gè)大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量張成的信號(hào)子空間，UN為(NM-K)個(gè)小特征值對(duì)應(yīng)的特征向量張成的噪聲子空間，H為E[DXX(t,f)]特征值組成的對(duì)角矩陣。

根據(jù)正交子空間原理，由噪聲子空間UN構(gòu)造的MUSIC算法空間譜函數(shù)可以表示為：

(11)

根據(jù)式(11)進(jìn)行譜峰搜索，譜峰位置對(duì)應(yīng)的(θ,φ)即為跳頻信號(hào)的二維入射角度。根據(jù)空間譜函數(shù)進(jìn)行譜峰搜索想要獲得較高的估計(jì)精度，需要信噪比足夠高、快拍數(shù)足夠大、搜索精度足夠大。與此同時(shí)，快拍數(shù)的增加會(huì)大大增加算法的復(fù)雜度，而且實(shí)際應(yīng)用中的信噪比無法滿足MUSIC算法精確估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)。

2 基于二階偏導(dǎo)MUSIC估計(jì)2D-DOA

假設(shè)跳頻信號(hào)方位角θ的角度范圍為Rθ，譜峰搜索的步長(zhǎng)為Δθ，則方位角的搜索次數(shù)L=Rθ/Δθ；俯仰角φ的角度范圍為Rφ，譜峰搜索的步長(zhǎng)為Δφ，則方位角的搜索次數(shù)K=Rφ/Δφ。因此，空間譜函數(shù)P可以進(jìn)一步表示為：

(12)

根據(jù)式(12)，將空間譜函數(shù)P簡(jiǎn)化為：

(13)

根據(jù)式(13)可知，給定一個(gè)(i,j),i=1,2,…,L,j=1,2,…,K，都存在一個(gè)固定的數(shù)值pij與之對(duì)應(yīng)。假定方位角θ∈D1={θ1,θ2,…θL}，Δθ=θi+1-θi，φ∈D2={φ1,φ2,…φL}，Δφ=φj+1-φj，則pij可以進(jìn)一步表示為：

pij=f(θi,φj)

(14)

(15)

式(15)中，∑(·)表示在θl點(diǎn)的鄰域內(nèi)求和。因?yàn)?≤|θi-θl|≤n,(n=1,2,…,L)，所以式(15)可以進(jìn)一步表示為：

(16)

(17)

(18)

(19)

由于空間譜函數(shù)在極大值點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)會(huì)在方位角和俯仰角的位置形成尖銳的負(fù)向譜峰，說明只有小于零的二階偏導(dǎo)值對(duì)DOA的計(jì)算是有用的，因此可以將二階偏導(dǎo)函數(shù)中大于零的數(shù)值去除。則式(17)和式(19)可以簡(jiǎn)化為：

(20)

(21)

空間譜函數(shù)對(duì)方位角θ和俯仰角φ求二階偏導(dǎo)時(shí)是相互獨(dú)立的，因此可以定義新的空間譜函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)p″為：

(22)

根據(jù)式(22)進(jìn)行負(fù)向譜峰搜索得到的負(fù)峰值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的方位角和俯仰角即為跳頻信號(hào)的2D-DOA參數(shù)。根據(jù)式(22)進(jìn)行負(fù)向譜峰搜索也相當(dāng)于原空間譜函數(shù)進(jìn)行極大值搜索，可以準(zhǔn)確的得到跳頻信號(hào)的2D-DOA參數(shù)。

根據(jù)上述的理論推導(dǎo)，基于二階偏導(dǎo)MUSIC跳頻信號(hào)2D-DOA高精度估計(jì)算法的步驟可以歸納為：

步驟1 由陣列接收到的數(shù)據(jù)，根據(jù)式(7)構(gòu)建跳頻信號(hào)陣列的快拍矢量模型；

步驟2 根據(jù)式(10)對(duì)跳頻信號(hào)的協(xié)方差矩陣E[DXX(t,f)]進(jìn)行特征值分解得到噪聲子空間UN；

步驟3 利用噪聲子空間，根據(jù)式(11)構(gòu)造跳頻信號(hào)2D-DOA估計(jì)的空間譜函數(shù)；

步驟5 根據(jù)式(22)得到跳頻信號(hào)2D-DOA估計(jì)的新的空間譜函數(shù)p″；

步驟6 利用p″進(jìn)行負(fù)向譜峰搜索，得到的負(fù)峰值點(diǎn)即為跳頻信號(hào)的方位角和俯仰角參數(shù)。

3 仿真與分析

假設(shè)接收陣列的陣元間距d1=10 m，陣列間距d2=30 m；入射信號(hào)為3個(gè)跳周期均為10 μs的跳頻信號(hào)FH1、FH2、FH3，采樣率為100 MHz；其2D-DOA的方位角和俯仰角參數(shù)(θ,φ)分別為(23°,80°)，(39°,69°)，(42°,65°)。

本文的仿真結(jié)果均為200次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)結(jié)果，用均方根誤差RMSE來衡量算法估計(jì)精度，定義跳頻信號(hào)方位角和俯仰角的RMSE為：

(23)

3.1 實(shí)驗(yàn)1

仿真條件：陣列x軸方向和y軸方向的陣元數(shù)均為5個(gè)，每跳的快拍數(shù)均為2 000，信噪比從-5 dB以2 dB為步進(jìn)遞增至15 dB。本文算法、MUSIC算法和SCMUSIC算法的方位角和俯仰角的RMSE曲線如圖2和圖3所示。

圖2 實(shí)驗(yàn)1方位角RMSE曲線Fig.2 Azimuth RMSE curve of experiment 1

圖3 實(shí)驗(yàn)1俯仰角RMSE曲線Fig.3 Pitching angle RMSE curve of experiment 1

從實(shí)驗(yàn)1的仿真結(jié)果可以看出，隨著信噪比的增加，本文算法、傳統(tǒng)MUSIC算法和SCMUSIC算法的方位角和俯仰角的估計(jì)精度都逐漸增加；信噪比小于5 dB時(shí)，本文算法的方位角和俯仰角估計(jì)精度遠(yuǎn)高于MUSIC算法和SCMUSIC算法，SCMUSIC算法的估計(jì)精度略低于MUSIC算法，但是隨著信噪比的增加三種算法的估計(jì)精度越來接近，信噪比達(dá)到9 dB左右時(shí)，三種算法的估計(jì)精度幾乎相同。

3.2 實(shí)驗(yàn)2

仿真條件：陣列x軸方向和y軸方向的陣元數(shù)均為5個(gè)，信噪比為9 dB，每跳的快拍數(shù)從1 000以200為步進(jìn)遞增到2 000。本文算法、MUSIC算法和SCMUSIC算法的方位角和俯仰角的RMSE曲線如圖4和圖5所示。

圖4 實(shí)驗(yàn)2方位角RMSE曲線Fig.4 Azimuth RMSE curve of experiment 2

圖5 實(shí)驗(yàn)2俯仰角RMSE曲線Fig.5 Pitching angle RMSE curve of experiment 2

從實(shí)驗(yàn)2的仿真結(jié)果可以看出，隨著快拍數(shù)的增加，本文算法、MUSIC算法和SCMUSIC算法的方位角和俯仰角的估計(jì)均方根誤差都逐漸減?。豢炫臄?shù)小于2 200時(shí)，本文算法的估計(jì)精度要遠(yuǎn)大于MUSIC算法和SCMUSIC算法，MUSIC算法的估計(jì)性能略高于SCMUSIC算法；快拍數(shù)大于2 200時(shí)，隨著快拍數(shù)的增加三種算法的估計(jì)性能逐漸接近。

3.3 實(shí)驗(yàn)3

仿真條件：陣列x軸方向和y軸方向的陣元數(shù)均為5個(gè)，信噪比為9 dB?？炫臄?shù)為1 000，1 400，1 800，2 200，2 600，3 000時(shí)本文算法、MUSIC算法和SCMUSIC算法的2D-DOA估計(jì)時(shí)間如表1所示(時(shí)間為200次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)平均時(shí)間)。

表1 2D-DOA估計(jì)時(shí)間對(duì)比

從表1的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，不同的快拍數(shù)下，本文算法2D-DOA所需仿真時(shí)間略大于MUSIC算法，但是時(shí)間增加不顯著。SCMUSIC算法的計(jì)算時(shí)間約為本文算法和MUSIC算法的一半左右，造成這種現(xiàn)象的主要原因是，本文算法相比較MUSIC算法，雖然單次譜峰搜索的次數(shù)減少，但是需要兩次搜索；SCMUSIC只需要在半譜內(nèi)進(jìn)行角度搜索。

4 總結(jié)

本文提出了一種基于二階偏導(dǎo)MUSIC跳頻信號(hào)2D-DOA高精度估計(jì)算法。該算法根據(jù)跳頻信號(hào)2D-DOA估計(jì)空間譜函數(shù)的特性，利用離散函數(shù)的二階偏導(dǎo)特性，重建新的空間譜函數(shù)，將原譜峰搜索轉(zhuǎn)化為負(fù)向譜峰搜索。理論分析仿真結(jié)果表明，所提算法相比較MUSIC算法在沒有顯著提高算法復(fù)雜度的條件下，提高了低信噪比和小快拍數(shù)下的估計(jì)精度；相比較SCMUSIC算法大大改善了在低信噪比和小快拍數(shù)條件下的估計(jì)性能。