譚偉杰，馮西安，張肖璞

(西北工業(yè)大學(xué)航海學(xué)院，陜西 西安 710072)

0 引言

波達(dá)方位估計(jì)是陣列信號(hào)處理中的重要研究?jī)?nèi)容，已經(jīng)廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、聲吶、通信、導(dǎo)航、射電天文、地震探測(cè)以及醫(yī)學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域中[1]。而低信噪比，少快拍條件下的波達(dá)方位估計(jì)一直是陣列信號(hào)處理中的一個(gè)難點(diǎn)。傳統(tǒng)的信號(hào)處理算法大多只利用了信號(hào)的二階相關(guān)統(tǒng)計(jì)信息，而非圓信號(hào)處理算法則同時(shí)利用信號(hào)的二階相關(guān)和共軛相關(guān)統(tǒng)計(jì)信息，提高了信息利用率，所以利用信號(hào)的非圓特性來(lái)提高方位估計(jì)在該條件下的性能是一個(gè)有效的途徑。在水下通信中最常用的調(diào)制方式一般采用二進(jìn)制移相鍵控(Binary Phase Shift Keying，BPSK)[2]，該調(diào)制信號(hào)是一種典型的非圓信號(hào)，可以利用其橢圓協(xié)方差矩陣不為零的特征，增加接收矩陣數(shù)據(jù)維數(shù)，擴(kuò)展陣列孔徑，從而提高估計(jì)精度和解決欠定條件下的估計(jì)問(wèn)題。1998年，Galy首次提出將非圓信號(hào)特征與陣列信號(hào)處理相結(jié)合，提出了非圓MUSIC (Non-circular MUSIC，NC-MUSIC) 來(lái)估計(jì)非圓信號(hào)的目標(biāo)方位，并詳細(xì)研究了非圓信號(hào)的特征[3]。2001年，Charge等人提出了非圓求根MUSIC (Non-Circular Root MUSIC, NC-Root-MUSIC)，用多項(xiàng)式求根代替NC-MUSIC中的譜峰搜索，大大降低了計(jì)算量[4-5]。2003年，Zoubir等人提出了非圓ESPRIT(Non-Circular ESPRIT， NC-ESPRIT)，在低信噪比情況下優(yōu)于ESPRIT，并且能夠解決欠定條件下的目標(biāo)方位估計(jì)問(wèn)題[6]。2004年，Tayem等利用陣列接收信號(hào)及其部分共軛信息，構(gòu)造出具有旋轉(zhuǎn)不變結(jié)構(gòu)的兩個(gè)均勻線列陣，提出了共軛ESPRIT(Conjugate ESPRIT，C-ESPRIT)[7]。這些算法均是在復(fù)數(shù)域進(jìn)行的，計(jì)算量較傳統(tǒng)子空間方法大。同年，Haardt等將空間平滑技術(shù)，將酉ESPRIT算法擴(kuò)展到非圓信號(hào)的測(cè)向問(wèn)題中，提出了非圓酉ESPRIT(Non-Circular Unitary ESPRIT， NC-U-ESPRIT)[8]。汪晉寬等人提出一種共軛酉ESPRIT (Conjugate Unitary ESPRIT，CU-ESPRIT)[9]，該方法構(gòu)造了一個(gè)具有2M—1個(gè)陣元的虛擬陣列，提高了目標(biāo)估計(jì)的個(gè)數(shù)。這些算法利用酉變換(Unitary Transformation)將復(fù)運(yùn)算轉(zhuǎn)換為實(shí)運(yùn)算，在提高分辨率的同時(shí)，來(lái)降低計(jì)算量。鄭春弟提出了應(yīng)用Euler變換的實(shí)值MUSIC類和ESPRIT類非圓信號(hào)DOA估計(jì)算法[10-11]，這類算法利用了信號(hào)的非圓特性，通過(guò)歐拉變換構(gòu)造出陣列接收數(shù)據(jù)的正弦部分和余弦部分，從而將復(fù)數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)換為實(shí)數(shù)運(yùn)算，該方法利用非圓信號(hào)的特征將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為實(shí)數(shù)運(yùn)算，使得計(jì)算量大為降低，并且通過(guò)數(shù)據(jù)拼接提高了虛擬孔徑，提升了估計(jì)性能。

基于非圓信號(hào)特征的子空間類方法，雖然利用了非圓信號(hào)的特征，擴(kuò)展了陣列孔徑，但是在小快拍，低信噪比情況下性能大打折扣，尤其是在相干情況下，需要通過(guò)平滑處理來(lái)提高分辨性能，其代價(jià)是犧牲陣列孔徑。本文針對(duì)在小快拍，低信噪比情況下，基于非圓信號(hào)特征的子空間類方法分辨精度不高的問(wèn)題，結(jié)合Euler變換與稀疏信號(hào)重構(gòu)方法，提出了基于Euler變換的非圓信號(hào)稀疏重構(gòu)陣列測(cè)向方法。

1 非圓信號(hào)陣列模型

考慮包含有M個(gè)陣元的均勻線性陣列。假設(shè)有K個(gè)窄帶目標(biāo)信號(hào)分別從遠(yuǎn)場(chǎng)θ1,θ2,…,θK方位照射到陣列。這里假定目標(biāo)信號(hào)為非圓信號(hào)，信號(hào)可以是相關(guān)的，甚至是相干的。不同時(shí)間快拍的信號(hào)表示為sk(t)，t=1,2,…,T，k=1,2,…,K。那么該陣列接收的信號(hào)矢量可以表示為：

(1)

2 基于Euler變換的實(shí)值稀疏重構(gòu)DOA算法

2.1 歐拉數(shù)據(jù)變換

傳統(tǒng)上的實(shí)值化通常采用Unitary變換[12]，該變換是將復(fù)數(shù)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)數(shù)據(jù)的一個(gè)重要方法。與之前不同，這里利用非圓信號(hào)的特點(diǎn)通過(guò)歐拉變換來(lái)將數(shù)據(jù)從復(fù)數(shù)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)數(shù)據(jù)，從而擴(kuò)展陣列的虛擬孔徑。

xR=(x(t)+x*(t))/2

(2)

根據(jù)歐拉公式，這里不考慮信號(hào)附加相位的影響，那么第i個(gè)陣元上的接收信號(hào)可以表示為：

(3)

該式可以改寫(xiě)為：

xR(t)=AR(θ)s(t)+nR(t)

(4)

式(4)中，

AR(θ)∈M×K,nR=Re(n)，Re(·)表示取實(shí)部。

進(jìn)一步可以得到

xI(t)=(x(t)-x*(t))/2j

(5)

同理，

(6)

該式可以寫(xiě)為：

xI(t)=AI(θ)s(t)+nI(t)

(7)

式(7)中，

AI(θ)∈M×K,nI=Im(n)，Im(·)表示取實(shí)部。

令，

(8)

式(8)中，Areal(θ)∈2M×K，AR(θ)∈M×K，AI(θ)∈M×K，nR∈M×1，nI∈M×1。

可以看出，利用非圓信號(hào)的特點(diǎn)后，通過(guò)歐拉公式得到一個(gè)新的維數(shù)為2M×1的等價(jià)陣列，相當(dāng)于擴(kuò)展了陣列孔徑。此時(shí)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)運(yùn)算，已有的方法是在此基礎(chǔ)上基于子空間類的方法，如Euler MUSIC、Euler ESPRIT，雖然也利用了非圓特性，但不能直接處理相干信號(hào)，這里采用稀疏表示的方法來(lái)求解，可以在小快拍、低信噪比下以及相干源情況下得到更好的分辨效果。考慮到多個(gè)時(shí)間快拍，公式(8)表示為矩陣形式：

Xr=ArealS+Nr

其中，Xr=[xreal(1),…,xreal(T)]，S,Nr采用和Xr同樣的構(gòu)造方式。

2.2 基于實(shí)值稀疏信號(hào)重構(gòu)的DOA估計(jì)

定義一個(gè)過(guò)完備的導(dǎo)向矢量字典

Φ=[a(θ1),a(θ2),…,a(θQ)]∈C2M×Q

(9)

其中，areal(θl)=[1,cos(2πd2/λsin(θl)),…,cos(2πdM/λsin(θl)),0,sin(2πd2/λsin(θl)),…,sin(2πdM/λsin(θl))]是所有可能出現(xiàn)目標(biāo)的方向陣列流行向量。Areal?Φ，Q為離散化的網(wǎng)格數(shù)，Q?max(M,K)?；谶@種定義，Φ是被預(yù)先確定并不依賴于真實(shí)方位的過(guò)完備陣列流行矩陣。假設(shè)真實(shí)目標(biāo)的方位(θ1，θ2，…，θk)都包含于(或者非常接近于)過(guò)完備詞典(θ1,θ2,…,θQ)中，式(8)的陣列信號(hào)處理模型可以改寫(xiě)為:

xreal(t)=Φs(t)+n(t)

(10)

式(10)中，s(t)=[s1(t),…,sQ(t)]T∈CQ×1是陣列接收到的信號(hào)的擴(kuò)展，只有當(dāng)θq=θk時(shí)，sq(t)=sk(t)，其他情況下sq(t)均為0。由此可見(jiàn)，式(10)的信號(hào)模型是稀疏的，此時(shí)目標(biāo)的方位估計(jì)就轉(zhuǎn)變?yōu)閷?duì)s(t)的非零位置估計(jì)的問(wèn)題。式(10)是一個(gè)典型欠定線性方程，恢復(fù)s(t)是一個(gè)典型的稀疏信號(hào)重構(gòu)問(wèn)題。由Donoho等的壓縮感知理論，在無(wú)噪聲情況及Φ滿足一定條件下，s(t)可以通過(guò)l0范數(shù)最小化完全重構(gòu)：

(11)

在有噪聲情況下，s(t)可以通過(guò)l0范數(shù)最小化完全重構(gòu)：

(12)

但是上式是一個(gè)NP難問(wèn)題，是非凸的，現(xiàn)有的優(yōu)化算法很難有效求解?？梢酝ㄟ^(guò)松弛條件將采用l1范數(shù)來(lái)逼近l0范數(shù)，此時(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：

(13)

式(13)中，ε是與噪聲水平相關(guān)的參數(shù)。該問(wèn)題可以采用內(nèi)點(diǎn)法來(lái)求解。但是當(dāng)快拍數(shù)很大時(shí)，求解上述問(wèn)題的計(jì)算維度將大大增加，為了降低運(yùn)算復(fù)雜度，減小計(jì)算量，采用奇異值分解來(lái)降低數(shù)據(jù)處理維度。

2.3 基于奇異值分解的實(shí)值稀疏信號(hào)重構(gòu)DOA估計(jì)

對(duì)Xr進(jìn)行奇異值分解[13]

(14)

這里Us∈C2M×K，Vs∈CN×K對(duì)應(yīng)K個(gè)最大奇異值對(duì)應(yīng)的奇異值特征向量，為得出維度減低的2M×K維信號(hào)空間，引入了新的矩陣

(15)

式(15)中，SSV=SVs，NSV=NrVs。

(16)

(17)

3 仿真與分析

本節(jié)對(duì)提出的基于Euler變換的非圓信號(hào)稀疏重構(gòu)陣列測(cè)向方法進(jìn)行數(shù)值仿真。在非相干非圓信號(hào)和相干非圓信號(hào)情況下，將本文提出的方法和MUSIC、NC-MUSIC方法測(cè)向性能進(jìn)行比較。

仿真中，陣列是陣元數(shù)目為8，陣元間距為半波長(zhǎng)的均勻線列陣。目標(biāo)的信號(hào)波形為非圓信號(hào)，采用BPSK 調(diào)制信號(hào)，噪聲為加性高斯白噪聲。

實(shí)驗(yàn)1 非相干源下的測(cè)向能力比較

兩個(gè)非相干目標(biāo)源的方位為 [-2°,2°]，信噪比為0 dB，快拍數(shù)為20。圖1 是在信噪比為0 dB情況下稀疏重構(gòu)方法以及MUSIC 和NC-MUSIC方法的空間譜圖。圖2是信噪比從-10 dB到25 dB變化時(shí)，RMSE與信噪比關(guān)系曲線，每個(gè)曲線通過(guò)200次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)得到。

圖1 非相干目標(biāo)的鄰近目標(biāo)歸一化空間譜比較Fig.1 Comparison of normalized spatial spectra of uncorrelated closely targets

圖2 非相干目標(biāo)條件下RMSE與SNR的關(guān)系曲線Fig.2 RMSE versus SNR for uncorrelated targets

由圖1可知，采用稀疏重構(gòu)的方法可以在低信噪比條件下分辨空間相近目標(biāo)，而傳統(tǒng)的MUSIC方法和NC-MUSIC方法在低信噪比條件下不具有分辨近空間目標(biāo)的能力，主要原因在于一方面是非圓特性的利用提高了陣列孔徑，稀疏重構(gòu)方法能夠在測(cè)量數(shù)較少的情況下獲得較好的信號(hào)重構(gòu)，從而獲得較好的目標(biāo)測(cè)向性能。由圖2可以看出，在低信噪比情況下，基于歐拉變換的稀疏重構(gòu)方位估計(jì)方法的最小均方誤差遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)的NC-MUSIC和MUSIC，表明了其在低信噪比、小快拍條件下的優(yōu)越性。

實(shí)驗(yàn)2 非相干源下的測(cè)向能力比較

兩個(gè)相干目標(biāo)源的方位為 [-4°,4°]，信噪比為0 dB，快拍數(shù)為20。圖3是在信噪比為0 dB情況下稀疏重構(gòu)方法以及MUSIC 和NC-MUSIC方法的空間譜圖。圖4是信噪比從-10 dB到25 dB變化時(shí)，每個(gè)信噪比做200次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)得到的最小均方誤差和信噪比的關(guān)系圖。

由圖3可知，采用稀疏重構(gòu)的方法可以在低信噪比條件下分辨相干非圓信號(hào)近空間目標(biāo)，而傳統(tǒng)的MUSIC方法和NC-MUSIC方法不具有在相干條件下的分辨目標(biāo)的能力，其原因在于子空間類方法需要利用協(xié)方差矩陣，目標(biāo)的相干性使得協(xié)方差矩陣降秩，無(wú)法直接區(qū)分出信號(hào)子空間和噪聲子空間，必須使用空間平滑預(yù)處理才能分辨出信號(hào)。由圖4可以看出，基于歐拉變換的稀疏DOA估計(jì)方法隨著信噪比的增加均方根誤差逐漸減小，其具有相干信號(hào)分辨的能力。

實(shí)驗(yàn)3 欠定條件下的目標(biāo)方位估計(jì)性能

考慮陣元數(shù)目為4，5個(gè)相干非圓信號(hào)，目標(biāo)的方位分別為[-40°,-20°,0°,20°,40°]，信噪比為0 dB，快拍數(shù)為20，驗(yàn)證所提方法在欠定條件下目標(biāo)方位估計(jì)的性能。 圖5比較了在相干非圓信號(hào)情況下所提方法和NC-MUSIC方法的空間譜。

圖3 鄰近相干目標(biāo)的歸一化空間譜比較Fig.3 Comparison of normalized spatial spectra of coherent closely targets

圖4 相干目標(biāo)條件下RMSE與SNR的關(guān)系曲線Fig.4 RMSE versus SNR for coherent targets

圖5 欠定條件下多個(gè)非圓目標(biāo)的不同方法歸一化功率譜比較Fig.5 Comparison of normalized spatial spectra of multiple coherent closely targets

由圖5可以看出，在非圓信號(hào)目標(biāo)個(gè)數(shù)大于陣元個(gè)數(shù)的情況下，NC-MUSIC和本文提出的方法都能分辨出目標(biāo)，但是本文提出的方法譜線峰值更明顯，具有更高的分辨能力，性能更優(yōu)，說(shuō)明其在欠定條件下具有高分辨性能。

4 結(jié)論

本文提出了基于Euler變換的非圓信號(hào)稀疏重構(gòu)陣列測(cè)向方法。該方法利用非圓信號(hào)的特征，采用Euler變換將復(fù)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)據(jù)，通過(guò)數(shù)據(jù)拼接來(lái)擴(kuò)展陣列孔徑，采用奇異值分解來(lái)降低數(shù)據(jù)維度，利用目標(biāo)方位信息的空域稀疏性，通過(guò)離散化空間方位網(wǎng)格來(lái)構(gòu)建實(shí)數(shù)域的空域字典集，將目標(biāo)方位估計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)換為一稀疏信號(hào)重構(gòu)問(wèn)題，最終通過(guò)實(shí)值稀疏信號(hào)重構(gòu)方法來(lái)估計(jì)目標(biāo)方位。 數(shù)值仿真驗(yàn)證表明，在低信噪比以及少快拍情況下，無(wú)論是對(duì)于非相干信號(hào)或者相干信號(hào)，與傳統(tǒng)方法相比，所提方法皆表現(xiàn)出良好的估計(jì)精度，且該方法可以應(yīng)用于欠定情況下非圓信號(hào)的目標(biāo)方位估計(jì)。該方法的不足之處是所提方法是在精確補(bǔ)償傳輸延遲而產(chǎn)生的復(fù)相移的前提下，下一步將考慮聯(lián)合估計(jì)復(fù)相移和目標(biāo)方位。