鐘 麟，佟明安，張 健，樊慶強(qiáng)

（1.西京學(xué)院理學(xué)院，西安 710123；2.西北工業(yè)大學(xué)，西安 710072）

0 引言

由于飛機(jī)型號(hào)、老化程度以及工作環(huán)境的不同，大批飛機(jī)的維護(hù)是一項(xiàng)復(fù)雜的系統(tǒng)工程[1]。飛機(jī)的維護(hù)活動(dòng)是費(fèi)時(shí)的，維護(hù)資源也是受限的。通常情況下，為了確保飛機(jī)的安全和高可用性，需要合理安排維護(hù)活動(dòng)。文獻(xiàn)[2]利用預(yù)測(cè)信息對(duì)維護(hù)計(jì)劃進(jìn)行優(yōu)化。文獻(xiàn)[3-4]在有限資源條件下利用遺傳算法處理民用飛機(jī)的維護(hù)問(wèn)題。文獻(xiàn)[5]利用增強(qiáng)學(xué)習(xí)求解飛機(jī)維護(hù)排程問(wèn)題。不過(guò)它們都沒(méi)有涉及實(shí)際維護(hù)工作中的不確定性以及多個(gè)目標(biāo)優(yōu)化情況。文獻(xiàn)[6]用模擬退火算法和蟻群算法求解飛機(jī)維護(hù)排程問(wèn)題，但效率和精度都不高。針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，本文將多目標(biāo)模擬預(yù)算最優(yōu)分配算法和偏好規(guī)劃引入到飛機(jī)維護(hù)研究中。

1 基本思想

制定飛機(jī)的維護(hù)計(jì)劃，就是排程問(wèn)題。在排程問(wèn)題中，根據(jù)飛機(jī)的狀態(tài)分別安排一些飛機(jī)執(zhí)行飛行任務(wù)、日常維護(hù)或修理。在排程過(guò)程中，每架飛機(jī)都賦予一個(gè)優(yōu)先權(quán)，優(yōu)先權(quán)可以根據(jù)剩余的飛行小時(shí)數(shù)和距離下一次維護(hù)行動(dòng)的時(shí)間計(jì)算獲得，而賦予最高優(yōu)先權(quán)的飛機(jī)將承擔(dān)飛行任務(wù)。如果飛機(jī)飛行小時(shí)數(shù)滿足如下兩個(gè)條件之一，就需要進(jìn)行日常維護(hù)：1）飛機(jī)的飛行小時(shí)數(shù)達(dá)到維護(hù)區(qū)間的上限；2）飛機(jī)的飛行小時(shí)數(shù)達(dá)到維護(hù)區(qū)間的下限，維護(hù)規(guī)定開(kāi)始時(shí)間到達(dá)，所需維護(hù)資源夠用。另外，如果飛機(jī)在執(zhí)行任務(wù)中損傷，則立即進(jìn)行維修。假定有3種不同類(lèi)型的維護(hù)、維修的設(shè)施，根據(jù)維護(hù)或維修需求不同，將飛機(jī)送往不同設(shè)施進(jìn)行排隊(duì)，整個(gè)隊(duì)列順序遵從先進(jìn)先出的模式。維護(hù)時(shí)機(jī)、維護(hù)的持續(xù)時(shí)間以及任務(wù)的持續(xù)時(shí)間概率分布可以從歷史數(shù)據(jù)中獲得。

圖1 基本思路的示意圖

本文所提出方法的基本思路如圖1所示。整個(gè)模型分為優(yōu)化階段和決策階段。在優(yōu)化階段中，決策者確定問(wèn)題的仿真參數(shù)，并形成輸入提供給隨機(jī)模擬模型。隨機(jī)模擬模型主要作用是產(chǎn)生候選解的目標(biāo)函數(shù)樣本，并把它作為輸出提供給偏好多目標(biāo)模擬預(yù)算最優(yōu)分配模型。偏好多目標(biāo)模擬預(yù)算最優(yōu)分配模型根據(jù)決策者提供的偏好信息和目標(biāo)函數(shù)樣本，計(jì)算出模擬預(yù)算，并將其傳輸給隨機(jī)模擬模型，同時(shí)每一次操作后都要將候選解傳輸給隨機(jī)模擬模型，用于判斷是否為可行解。偏好多目標(biāo)最優(yōu)模擬預(yù)算分配算法最終目標(biāo)是獲得成對(duì)非支配解，并將其作為偏好規(guī)劃模型的輸入用于決策。在決策階段中，偏好由決策者提供給偏好規(guī)劃模型，偏好規(guī)劃利用偏好信息和成對(duì)非支配集確定偏好成對(duì)非支配解，并將其作為輸出提供給決策者選擇。模型中偏好不確定性和目標(biāo)函數(shù)值用區(qū)間分析方法進(jìn)行建模。

2 飛機(jī)維護(hù)計(jì)劃模型

在大機(jī)群作戰(zhàn)飛機(jī)的維護(hù)排程問(wèn)題中，決策變量、性能指標(biāo)和可行區(qū)域表示如下：

決策變量xi，j表示飛機(jī)i第j項(xiàng)維護(hù)活動(dòng)的開(kāi)始時(shí)間，則M架飛機(jī)的維護(hù)安排可以用X=（x1，1，…，x1，n1，…，xM，1，…，xM，nM）表示，這里 ni是維護(hù)計(jì)劃中飛機(jī)i所能安排最大維護(hù)行動(dòng)數(shù)目。飛機(jī)的平均可用度和計(jì)劃維護(hù)行動(dòng)與實(shí)際維護(hù)行動(dòng)時(shí)間的平均偏差作為評(píng)價(jià)維護(hù)計(jì)劃優(yōu)劣兩個(gè)指標(biāo)，分別用YA（X，ω）和YD（X，ω）表示，其中ω表示系統(tǒng)隨機(jī)因素。

在T天內(nèi)M架飛機(jī)的平均可用度可以用下面的公式計(jì)算：

在定義 YD（X，ω）時(shí)，假設(shè) B（X，ω）表示在規(guī)劃周期內(nèi)飛機(jī)i實(shí)際開(kāi)始維護(hù)活動(dòng)j所對(duì)應(yīng)的指數(shù)（i，j）可行集合，為飛機(jī)i計(jì)劃開(kāi)始維護(hù)活動(dòng)j的時(shí)間，則為不可行集合。則YD（X，ω）可以由下面的公式計(jì)算：

其中，nk為k架飛機(jī)在T天內(nèi)所需要維護(hù)的次數(shù)，公式的第1項(xiàng)表示計(jì)劃維護(hù)時(shí)間與實(shí)際維護(hù)時(shí)間的偏差，公式第2項(xiàng)是未在可行時(shí)間內(nèi)實(shí)施維護(hù)活動(dòng)情況下加入的懲罰項(xiàng)，C為決策者設(shè)定的時(shí)間常量。

飛機(jī)的維護(hù)排程問(wèn)題為

可行排程受限于3個(gè)約束集合：

式（4）的第1個(gè)約束表示維護(hù)時(shí)間應(yīng)該為正整數(shù)，第2個(gè)約束表示維護(hù)行動(dòng)按特定順序進(jìn)行，第3個(gè)約束表示維護(hù)決策者因?qū)嶋H的需要，希望在特定時(shí)間窗（time window）安排某些行動(dòng)，比如為了在特定的某段時(shí)間內(nèi)需要保證飛機(jī)可用，因此，上界ui，j和下界li，j也要考慮到模型中。

3 偏好多目標(biāo)模擬預(yù)算最優(yōu)分配模型

利用隨機(jī)仿真的方法可以容易獲得各方案的期望效用，常規(guī)方法是將其轉(zhuǎn)化為排序和選擇問(wèn)題，采用模擬預(yù)算最優(yōu)分配算法確定絕對(duì)非支配的方案[7]。為了提高效率和精度，在本文中所涉及的模型中，在優(yōu)化階段就引入不完全偏好信息，改進(jìn)多目標(biāo)模擬預(yù)算最優(yōu)分配算法，提出了偏好多目標(biāo)模擬預(yù)算最優(yōu)分配算法。

假定排序和選擇問(wèn)題的最優(yōu)方案或包含最優(yōu)方案的子集可以通過(guò)若干個(gè)相互沖突的期望指標(biāo)確定，即

發(fā)展部以與呈示部相同的主題材料展開(kāi)。進(jìn)入C大調(diào)，然后是沿著五度循環(huán)的一系列轉(zhuǎn)調(diào)：F大調(diào)（第116小節(jié)）、降B大調(diào)（第124小節(jié)）、降E大調(diào)（第126小節(jié)）、降A(chǔ)大調(diào)（第128小節(jié)）。到達(dá)降A(chǔ)大調(diào)之后，通過(guò)左手的還原E音轉(zhuǎn)入f小調(diào)，而這個(gè)和弦正是樂(lè)章開(kāi)頭的調(diào)式音階的Ⅱ級(jí)，它堅(jiān)持不懈地重復(fù)了七個(gè)小節(jié)之后，水到渠成地進(jìn)入再現(xiàn)部。

其中，ul為第l個(gè)單屬性效用函數(shù)，wl為權(quán)重。在這種情況下，成對(duì)支配的定義如下：

假設(shè)方案i在可行權(quán)重集合W極值點(diǎn)wm（m∈{1，…，M}）上的期望效用 Uim可表示為：

則R&S問(wèn)題可以表示為：

定理1 假定方案的效用可以根據(jù)式（6）獲得，可行權(quán)重通過(guò)線性等式和不等式定義。如果方案i是問(wèn)題式（7）的Pareto非支配方案，則方案i也是成對(duì)非支配方案。

證明：如果方案i是問(wèn)題式（7）的Pareto非支配解，則不存在方案j滿足

則這使下面公式成立

也就是方案i是成對(duì)非支配方案。

方差計(jì)算公式為：

下面給出偏好多目標(biāo)模擬預(yù)算最優(yōu)分配具體算法：

1）確定每一個(gè)單屬性函數(shù) ui，i=1，…，n，確定權(quán)重w的可行區(qū)域以及它的極值點(diǎn){w1，…，wn}（計(jì)算方法見(jiàn)文獻(xiàn)[6]）；確定計(jì)算資源T，也就是可行仿真次數(shù)；確定每一次迭代增加最大仿真總量Δ，單個(gè)方案一次迭代所分配最大仿真次數(shù)δ，每一方案最初分配的仿真次數(shù)m0，迭代計(jì)數(shù)j→0。用表示第j次迭代后k方案實(shí)施仿真的總次數(shù)，每個(gè)方案實(shí)施 m0次仿真，即，…，n，用 ak表示分配給第k個(gè)方案的計(jì)算預(yù)算；

5）對(duì)于每一方案k判斷是否滿足成對(duì)非支配方案的條件，選擇出成對(duì)非支配方案組成成對(duì)非支配方案集合。

在優(yōu)化階段往往獲得多個(gè)成對(duì)非支配解。在實(shí)際應(yīng)用中，決策者希望解越少越好，最簡(jiǎn)單的方式是將各個(gè)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行加權(quán)求和，然后對(duì)此進(jìn)行單目標(biāo)優(yōu)化。可是在應(yīng)用中，經(jīng)常只有少量偏好信息。針對(duì)這種情況，本文在決策階段采用偏好規(guī)劃方法，優(yōu)化階段獲得的非成對(duì)支配解的目標(biāo)函數(shù)和偏好的不確定性用區(qū)間形式表示，運(yùn)用決策準(zhǔn)則獲得最優(yōu)方案，具體算法見(jiàn)文獻(xiàn)[8]。

4 仿真

假設(shè)有18架同型號(hào)的飛機(jī)，可行維護(hù)窗口為[40，60]（飛行小時(shí)），飛行任務(wù)間隔時(shí)間服從Expo（0.8）的指數(shù)分布，飛行任務(wù)周期服從 Norm（0.8，0.2）的正態(tài)分布，維護(hù)周期服從Gamma（2.5，40）的伽馬分布，故障間隔時(shí)間服從Expo（12）的指數(shù)分布，故障修復(fù)時(shí)間服從Gamma（2，4.5）的伽馬分布，維護(hù)容量為3架飛機(jī)，維護(hù)期望周期為2.5 h。系統(tǒng)采樣次數(shù)為L(zhǎng)=50，成對(duì)非支配集合最大規(guī)模N=20。假定決策者認(rèn)為日期偏差不如飛機(jī)可用度重要，即w1≥w2，而且權(quán)重的下界不低于1/3n=1/6（n為目標(biāo)的數(shù)量）。

圖2 正確選擇的概率與模擬預(yù)算關(guān)系

算法的性能可以通過(guò)正確選擇非支配組合或成對(duì)非支配組合的概率來(lái)評(píng)估，而非支配組合和成對(duì)非支配排程組合通過(guò)大數(shù)量的仿真獲得。圖2描述了多目標(biāo)模擬預(yù)算最優(yōu)分配算法、偏好多目標(biāo)模擬預(yù)算最優(yōu)分配算法以及模擬預(yù)算平均分配算法的正確選擇概率與仿真預(yù)算的關(guān)系。從圖2中可以看出，偏好多目標(biāo)模擬預(yù)算最優(yōu)分配算法在大多數(shù)情況下優(yōu)于多目標(biāo)模擬預(yù)算最優(yōu)分配算法，也優(yōu)于模擬預(yù)算平均分配算法。如果在多目標(biāo)模擬預(yù)算最優(yōu)分配算法中直接使用成對(duì)支配的概念，從圖2可以看出正確選擇的概率隨著仿真資源增加，仍然保持在低位，性能不理想。圖3描述了偏好多目標(biāo)模擬預(yù)算最優(yōu)分配算法分配給每一組合的仿真次數(shù)，整個(gè)模型共有124個(gè)可行組合解，其中有8個(gè)成對(duì)非支配解（序號(hào)分別是 17，34，55，59，61，97，101，119）。從圖3中可以看出最大仿真次數(shù)分配給組合34，而一些成對(duì)非支配組合分配的數(shù)量非常少，這與模型的不確定性以及算法為了最大化正確選擇的概率有關(guān)。偏好多目標(biāo)模擬預(yù)算最優(yōu)分配算法獲得成對(duì)非支配組合是8個(gè)，而多目標(biāo)模擬預(yù)算最優(yōu)分配算法獲得非支配組合是18個(gè)。在相同計(jì)算資源情況下，采用本文提出方法用于決策的組合數(shù)目減少了一半，如果組合數(shù)量很大的情況下，本文提出的方法優(yōu)勢(shì)更加明顯。

圖3 分配給每一組合仿真次數(shù)的平均值

圖4 多目標(biāo)決策結(jié)果

多目標(biāo)決策仿真結(jié)果見(jiàn)圖4。圖4描述了8個(gè)成對(duì)非支配解，兩個(gè)目標(biāo)的平均值的取值范圍分別為，。如果單獨(dú)一個(gè)目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化，可用度可以達(dá)到0.823 9，而日期偏差可以達(dá)到3.43 h。假設(shè)決策者認(rèn)為飛機(jī)可用度比日期偏差更重要，同時(shí)權(quán)重的下限不低于1/3n=1/6（n為目標(biāo)的數(shù)量）。從圖4可以看出，采用樂(lè)觀準(zhǔn)則和中間值準(zhǔn)則，決策結(jié)果選擇第2個(gè)組合，采用悲觀準(zhǔn)則，則選擇第3個(gè)組合，實(shí)際應(yīng)用則根據(jù)決策者的偏好決定。分別要求5個(gè)不同的維護(hù)決策者手工制定維護(hù)計(jì)劃，它們總指標(biāo)分別為[0.458，0.571]，[0.482，0.554]，[0.313，0.507]，[0.381，0.538]，[0.349，0.494]，都不如本文所制定的計(jì)劃。

5 結(jié)論

本文提出的模型是用于解決多目標(biāo)排程問(wèn)題。模型分為優(yōu)化階段和決策階段。在優(yōu)化階段，引入決策者的偏好信息，采用偏好多目標(biāo)模擬預(yù)算最優(yōu)分配算法產(chǎn)生成對(duì)非支配解，決策階段采用多屬性決策模型和偏好規(guī)劃模型從成對(duì)非支配解中確定偏好非支配解。仿真結(jié)果說(shuō)明了該方法的有效性。