辛小龍

(西北大學數(shù)學學院,陜西 西安 710127)

1 引言

以概率測度為基礎(chǔ)的概率論和統(tǒng)計理論,是現(xiàn)代數(shù)學的一門重要分支,在現(xiàn)代科學的各個領(lǐng)域都有重要作用.特別是當今是大數(shù)據(jù)時代,概率論和統(tǒng)計理論在大數(shù)據(jù)的挖掘、分析、處理及應(yīng)用中起著不可替代的作用.然而,隨著科學技術(shù)和人類社會的快速發(fā)展,人們面對的問題越來越復雜,許多問題用概率測度來度量遠遠不夠.比如,概率測度的完備性公理要求

是基于以下假設(shè):任一隨機試驗中出現(xiàn)的可能結(jié)果預(yù)先是知道的,并且每次隨機試驗都有結(jié)果發(fā)生,而且這些結(jié)果都是某些基本事件的組合.然而這一假設(shè)在一些問題中是不成立的,例如在量子結(jié)構(gòu)中,兩個基本粒子的碰撞試驗,可能不產(chǎn)生任何粒子.因而有必要引入更一般化的測度,為復雜問題的研究提供更多的工具.量子結(jié)構(gòu)和代數(shù)結(jié)構(gòu)上的態(tài),是近年來發(fā)展的一種非概率測度,它在研究基于量子結(jié)構(gòu)和代數(shù)結(jié)構(gòu)的模型中,起到了重要作用.本文將對一些量子結(jié)構(gòu)和代數(shù)結(jié)構(gòu)上的態(tài)和內(nèi)態(tài)方面的研究作一個總結(jié)回顧,并給出一些研究工作的展望.

2 量子結(jié)構(gòu)和代數(shù)結(jié)構(gòu)上的態(tài)

1933年,Kolmogorov出版了關(guān)于概率論基礎(chǔ)的第一部著作,首次將概率論公理化表示為一門嚴謹?shù)臄?shù)學分支[1].按照Kolmogorov的理論,一個概率測度是一個σ-可加的概率測度P,它是定義在一個非空集的子集族上的一個σ-代數(shù)S上的.這個模型非常重要,被應(yīng)用于大學概率論的基本課程中.

然而,在該著作發(fā)表不久,人們就意識到Kolmogorov的公理化并不能描述所有的基于量子機制的測度.Heisenberg不確定性原理指出:一個基于粒子的位置x和動量p不能以任意可描述的精度同時被測量.如果用?mp和?mx表示用態(tài)m對p和x測量的不精確度,則

其中和h是 Planck′s常數(shù).

Birkho ff和Von Neumann證明了:量子機制的(隨機)事件適合比Boolean代數(shù)更一般的系統(tǒng),這樣的系統(tǒng)被稱為量子邏輯或量子結(jié)構(gòu).目前,已有的各個層次的量子結(jié)構(gòu),諸如：布爾代數(shù),正交模格和偏序,正交代數(shù),D-偏序集,效應(yīng)代數(shù).量子結(jié)構(gòu)是代數(shù)結(jié)構(gòu),其中基本運算往往是部分的.

1974年,作為概率側(cè)度的類似,Finetti[3]引入了效應(yīng)代數(shù)上的態(tài),它是一個有限可加映射

它保持所有存在和(a+b),并適合

效應(yīng)代數(shù)另一個重要例子是具有強單位元u的Abeian偏序群G.如果限制在區(qū)間

我們就可獲得一個效應(yīng)代數(shù),它具有一個群的加法運算,限制在[0,u].這樣的效應(yīng)代數(shù)被稱為是區(qū)間效應(yīng)代數(shù).一般地,一個效應(yīng)代數(shù)可以沒有任何態(tài)；但每一個區(qū)間效應(yīng)代數(shù)至少承認一個態(tài).充許一個效應(yīng)代數(shù)E變成一個區(qū)間效應(yīng)代數(shù)的重要性質(zhì)是Riesz分解性質(zhì)(RDP),按照這個性質(zhì),單位元的任何兩個分解有一個公共加細[4].因此,這樣的效應(yīng)代數(shù)E同構(gòu)于一個具有強單位的Abelian偏序群的一個區(qū)間[0,u].

1958年,Chang引入了MV-代數(shù),這是為了建立無限值 Lukasziewicz邏輯的模型而引入的[5].眾所周知的 Mundici定理指出,每一個 MV-代數(shù)都是某個具有強單位的 Abelian?-group的區(qū)間,并且在MV-代數(shù)簇和具有強單位的Abelian?-group范疇之間存在一個范疇等價[6].緊接著,Kpka和Chovanec,證明了以下事實:每一個MV-代數(shù)都是效應(yīng)代數(shù)[2].此外,每一個MV-代數(shù)是一個格序效應(yīng)代數(shù)并且適合RDP.反之,每一個具有RDP的格序效應(yīng)代數(shù)能被看成是一個MV-代數(shù).

在MV-代數(shù)被引入40年后,Mundici在MV-代數(shù)上引入了態(tài)的概念,它是一個可加函數(shù)并保持部分加法.由于態(tài)本身不是一個代數(shù)運算,具有態(tài)的代數(shù)系統(tǒng)不構(gòu)成泛代數(shù).然而,對于量子結(jié)構(gòu)理論態(tài)是一個基本概念,特別是在D-偏序集和效應(yīng)代數(shù)的研究中,它有非常重要的作用[2].

如前所述,存在兩個概率測度的概念:Kolmogorov的σ-可加的概率測度和 de Fineti的有限可加測度的概念,前者有技術(shù)優(yōu)勢,但是后者更直觀.Kroupa和 Panti[7-8]證明了在緊的 Hausdor ff拓撲空間上子集構(gòu)成的一些Borelσ-代數(shù)上,通過一個唯一正則(σ-可加)Borel概率測度,MV-代數(shù)上的任一個態(tài)能被表示成為一個標準積分.這個結(jié)果也被一般化到效應(yīng)代數(shù)上(具有RDP)[9].通過研究可以看到,關(guān)于態(tài)的研究,Kolmogorov和De Fineti方法(關(guān)于概率測度)沒有實質(zhì)差別.雖然對量子結(jié)構(gòu)研究的原始驅(qū)動是量子機制,但是像不等式(1)所示的現(xiàn)象在許多不同領(lǐng)域都能觀察到,諸如計算機科學、精神病學、神經(jīng)科學、量子智能(quantum brain)[10]、量子心理學(quantum psychology)[11]和量子計算.

存在許多新的代數(shù)結(jié)構(gòu)能夠在量子結(jié)構(gòu)的框架下來研究,諸如:BL-代數(shù),MTL-代數(shù)及其非可換一般化,偽MV-代數(shù),偽效應(yīng)代數(shù),偽BL-代數(shù).然而,重要的是要在這些代數(shù)中引入態(tài)的類似概念.對偽MV-代數(shù),這一點是直接可以做到的.因為任何一個偽MV-代數(shù)是一個有著強單位的?-群G的一個區(qū)間.同此,我們能得到一個部分運算“+”,即群的加法在區(qū)間[0,u]上的限制.但在其他結(jié)構(gòu),諸如BL-代數(shù),偽BL-代數(shù),我們不清楚如何統(tǒng)一定義一個態(tài).因而,在BL-代數(shù)和偽BL-代數(shù)中存在兩個態(tài)的概念,Bosbach態(tài)和Riean態(tài).

早在 1934年,Marty提出代數(shù)超結(jié)構(gòu)的概念[12].尤為突出的是,Corsini和 Leoreann于2003年在其專著中[13],一方面概括了超結(jié)構(gòu)理論,另一方面闡述了超結(jié)構(gòu)在一些領(lǐng)域中的應(yīng)用,如:幾何、超圖、格論、自動化、密碼、人工智能和概率統(tǒng)計等.需要指出的是,1994年,Vougiouklis在第四屆AHA國際會議上引入一類新的超結(jié)構(gòu)―Hv-結(jié)構(gòu),它實際上將公理體系中等式改為非空交[14].特別地,近十年來,國內(nèi)外許多專家學者致力于代數(shù)的超邏輯結(jié)構(gòu)研究.近年來,我們在超邏輯代數(shù)上引入并研究了態(tài),在超MV-代數(shù)[15]、超BCK-代數(shù)[16]、超EQ-代數(shù)等超結(jié)構(gòu)上引入并研究了態(tài)的概念,得到了一些新的結(jié)果,如:在代數(shù)結(jié)構(gòu)上,Bosbach態(tài)一定是 Riean態(tài),然而在超結(jié)構(gòu)上,Bosbach態(tài)可以不是Riean態(tài).同時,我們應(yīng)用態(tài)研究了相應(yīng)代數(shù)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì),進一步拓寬了態(tài)的研究領(lǐng)域,為用態(tài)來研究超邏輯系統(tǒng)奠定了重要基礎(chǔ).

研究表明,態(tài)是模糊邏輯中處理不確定性推理的一個有效方法,同時也是研究對應(yīng)邏輯代數(shù)的有力工具,基于此,近年來國內(nèi)外很多學者致力于邏輯代數(shù)上態(tài)的存在性的研究,如:Dvurecenskij[17]指出不同于MV-代數(shù),存在一些偽 MV-代數(shù)其上不具有態(tài),受此啟發(fā),Ciungu[18]研究了偽MTL-代數(shù)上的態(tài),證明了存在線性的偽MTL-代數(shù)其上不具有態(tài).2008年,劉練珍教授[19]證明了每一個R0-代數(shù)都存在Bosbach態(tài);在文獻[20-22]中,研究了MTL-代數(shù)上的Bosbach態(tài)和Riean態(tài),證明了一個MTL-代數(shù)存在Bosbach態(tài)當且僅當它有奇異濾子,同時在最近發(fā)表的關(guān)于EQ-代數(shù)上的兩類特殊(前)濾子[22]的論文中,進一步提出一個公開問題：如何定義EQ-代數(shù)上的奇異濾子和態(tài),并討論二者之間的關(guān)系.最近,我們研究了EQ-代數(shù)上的態(tài)的存在性問題.引入并研究了EQ-代數(shù)上的Fantastic濾子,用Fantastic濾子刻畫了EQ-代數(shù)上態(tài)的存在性問題.我們得到了以下結(jié)果:一個剩余EQ-代數(shù)有Bosbach態(tài)當且僅當它有Fantastic濾子;一個好的EQ-代數(shù)有一個態(tài)射當且僅當它有一個素Fantastic濾子.我們還研究了偽對合EQ-代數(shù)的Riean態(tài)的存在性.進而,我們研究了半可分EQ-代數(shù)上態(tài)的存在性問題,證明了每一個半可分剩余EQ-代數(shù)都承認一個Riean態(tài).這些工作一般化了剩余格、NM-代數(shù)、MTL-代數(shù)、BL-代數(shù)等結(jié)構(gòu)上的態(tài)的存在性研究的現(xiàn)有結(jié)果,建立了態(tài)的存在性研究領(lǐng)域的一般性框架.

3 代數(shù)結(jié)構(gòu)上的內(nèi)態(tài)理論

由于邏輯代數(shù)的態(tài)不是它自身的算子,因而具有一個態(tài)的邏輯代數(shù)一般不是一個泛代數(shù),所以它們并不能自然地誘導一種斷言邏輯(assertional logic)[23].為了給模糊事件的概率提供代數(shù)基礎(chǔ),Flaminio和Montagna[24-25]應(yīng)用概率方法引入了一種可代數(shù)化邏輯,它的等價代數(shù)語義恰好是具有內(nèi)態(tài)(internal states)的MV-代數(shù)簇,其中內(nèi)態(tài)的性質(zhì)來源于態(tài)的相應(yīng)性質(zhì).此后,很多學者致力于邏輯代數(shù)上內(nèi)態(tài)的研究,相繼出現(xiàn)了態(tài)BL-代數(shù)[26]、態(tài)Rl-半群[27]、態(tài)BCK-代數(shù)[23]、態(tài)相等代數(shù)[28]等具有內(nèi)態(tài)的邏輯代數(shù).Di Nola和Dvurecenskij[29-30]引入了態(tài)射 MV-代數(shù),它是一類特殊的態(tài) MV-代數(shù),次直積不可約態(tài)射 MV-代數(shù)也被刻畫.Rachunek與lounov[31]引入并研究了態(tài)偽MV-代數(shù).

剩余格是一類基本的邏輯代數(shù),它包含MV-代數(shù)、MTL-代數(shù)、BL-代數(shù)等重要的邏輯代數(shù)作為它的子類,同時也是EQ-代數(shù)、半Hoop代數(shù)的重要模型,因此在剩余格中建立內(nèi)態(tài)理論是一項重要工作.2015年,在文獻[32]中,作者在剩余格中引入并研究了內(nèi)態(tài)理論,應(yīng)用內(nèi)態(tài)刻畫了Rl-半群和Heyting代數(shù).進而研究了一個態(tài)剩余格L上的全體態(tài)濾子SF[L]的結(jié)構(gòu),得到了SF[L]形成了一個 coherent frame和一個偽補格.2015年,在文獻 [33]中,研究了超 BCK-代數(shù)上的內(nèi)態(tài)理論.2017年,作者討論了半Hoop代數(shù)上的內(nèi)態(tài)[34].2018年,文獻[35]中,作者研究了EQ-代數(shù)上的內(nèi)態(tài)理論.這些工作的完成,形成了在內(nèi)態(tài)研究中的獨特方法,這些方法對于其余邏輯代數(shù)上內(nèi)態(tài)理論的研究有一定的借鑒作用.

4 工作展望

關(guān)于量子結(jié)構(gòu)和代數(shù)結(jié)構(gòu)上態(tài)理論的研究,還可從以下幾方面深入展開:

(1)代數(shù)結(jié)構(gòu)上態(tài)的表示理論,特別是積分表示,有待進一步完善.

(2)借鑒于?-群的研究思路和方法,用分析方法和構(gòu)造性方法來研究代數(shù)結(jié)構(gòu)上的態(tài).

(3)建立態(tài)和內(nèi)態(tài)研究的統(tǒng)一模型,即:引入并研究廣義態(tài)理論.

4 結(jié)束語

時光荏苒,歲月穿梭,我在母校已學習和工作了四十年.當我在母校學習時,凌嶺先生是我的《偏微分方程》課程的主講老師.我留校任教時,凌先生是數(shù)學系主任.凌先生對我在學習、生活和工作上的無微不至的關(guān)懷和指導,令我終身難忘.謹以此文紀念凌嶺先生九十周年誕辰.