任苗苗,趙憲鐘

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,陜西 西安 710127)

1 引言和預(yù)備知識

設(shè) V是一個同型號的代數(shù)類,若V對類算子同態(tài)像,子代數(shù)和直積封閉,則稱其為簇.由Birkho ff定理知一個同型號的代數(shù)類是簇當(dāng)且僅當(dāng)它是等式類,即,滿足某個恒等式集合的代數(shù)的全體.設(shè)V是簇,如果存在有限的恒等式集合Σ使得Σ確定的等式類等于V,那么稱V是有限基底的.否則,稱V是非有限基底的.V的有限基底問題是問V是否為有限基底的.該問題也被稱作Tarski基底問題,它是簇的經(jīng)典問題之一,且是國際上一大批代數(shù)學(xué)家所熱衷研究的問題.若一個代數(shù)生成的簇是有限基底的,則稱其為有限基底的.否則,稱其是非有限基底的.有限群[1],有限環(huán)[1]都是有限基底的.然而,有限半群[1]和有限半環(huán)[2]未必是有限基底的.

如果一個代數(shù)的每個有限生成的子代數(shù)是有限的,那么稱該代數(shù)是局部有限的.進(jìn)一步,若簇V的每個成員是局部有限的,則稱V是局部有限的.1902年,Burnside[3]提出如下問題:滿足恒等式xn≈1的群是否為局部有限的?該問題已成為群論中最重要的問題之一,到目前為止還沒有被徹底解決.一般地,一個簇的Burnside問題是問這個簇是否為局部有限的.1952年,Green和Rees[4]證明了恒等式xn≈1確定的群簇和半群簇的Burnside問題是等價的.另一方面,一個簇的限制Burnside問題是問該簇的所有局部有限成員作成的類是否為它的子簇.

在簇的Burnside問題和有限基底問題的研究過程中,遺傳非有限基底的簇發(fā)揮著非常重要的作用.具體地說,若一個局部有限的簇滿足條件:包含它的每個局部有限的簇是非有限基底的,則稱這個簇是遺傳非有限基底的.換句話說,一個局部有限的簇是遺傳非有限基底的當(dāng)且僅當(dāng)包含它的每個有限基底的簇都不是局部有限的.如果一個代數(shù)生成的簇是遺傳非有限基底的,那么稱其是遺傳非有限基底的.從而得到,若一個簇是遺傳非有限基底的,則可以回答一些與之相關(guān)的簇的Burnside問題和有限基底問題,即包含這個簇的每個有限基底的簇不是局部有限的,且包含它的每個局部有限簇是非有限基底的.特別地,一個遺傳非有限基底的簇一定是非有限基底的.本文將給出關(guān)于加法冪等元半環(huán)簇的有限基底問題和Burnside問題的兩個結(jié)果.

設(shè)(S,+,·)是(2,2)型代數(shù),若加法導(dǎo)出(S,+)是交換半群,乘法導(dǎo)出(S,·)是半群,且(S,+,·)滿足恒等式

則稱(S,+,·)是半環(huán),簡記為S.半環(huán)是環(huán)和分配格的共同推廣,它在幾何學(xué),理論計(jì)算機(jī)科學(xué)和信息科學(xué)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.若半環(huán)滿足恒等式x+x≈x,則稱其為加法冪等元半環(huán),也被稱作半格序半群.分配格,半群的冪半環(huán),集合上的二元關(guān)系半環(huán),max-plus代數(shù)以及半格的自同態(tài)半環(huán)都是加法冪等元半環(huán).反之,每個加法冪等元半環(huán)可嵌入到某個半格的自同態(tài)半環(huán)中.為了方便敘述,引入下列符號:設(shè)m和n是正整數(shù),且m

在過去的20年中,國際上關(guān)于加法冪等元半環(huán)簇的研究是相當(dāng)活躍的.1978年,McKenzie和Romanowska[5]證明了Sr(2,1)的滿足恒等式xy≈yx的子簇都是有限基底的.本世紀(jì)初,Zhao,Guo和Shum[6]證明了Sr(2,1)的與格林關(guān)系相關(guān)的一些子簇是有限基底的.在此基礎(chǔ)上,2005年,Pastijn,Zhao和Ghosh[7-8]證明了Sr(2,1)的每個子簇是有限基底的.2017年,Ren,Zhao和 Wang[9]證明了 Sr(3,1)的每個子簇是有限基底的.此外,Gajdo和 M.Kuil[10]證明了當(dāng)m≥2時,Sr(n,m)不是局部有限的;Sr(n,1)是局部有限的當(dāng)且僅當(dāng)G(n,1)是局部有限的,從而表明了群簇G(n,1)的Burnside問題與加法冪等元半環(huán)簇Sr(n,1)的Burnside問題是等價的.

2 主要結(jié)果

命題 2.1設(shè)S是加法冪等元半環(huán),則S是局部有限的當(dāng)且僅當(dāng)(S,·)是局部有限的.

證明設(shè)A是S的任意非空子集,分別表示S的由A生成的子半環(huán)和(S,·)的由A生成的子半群.由于中的每個元素可表示為A中有限個元素的乘積,且S的乘法對加法滿足左右分配律,容易驗(yàn)證,

由命題2.1知一個加法冪等元半環(huán)的Burnside問題和它的乘法導(dǎo)出的Burnside問題是等價的.由文獻(xiàn)[1](定理1.4.37)得到了一般的局部有限簇是遺傳非有限基底的一個充分必要條件,即下列結(jié)果:

命題2.2設(shè)V是局部有限的加法冪等元半環(huán)簇或半群簇,則V是遺傳非有限基底的當(dāng)且僅當(dāng)對于任意的n≥1,存在有限生成的無限代數(shù)An使得An的每個n-生成子代數(shù)是V的成員.

定理2.1設(shè)S是局部有限的加法冪等元半環(huán),若S是遺傳非有限基底的,則(S,·)是遺傳非有限基底的.

證明設(shè) W 表示半環(huán)S生成的加法冪等元半環(huán)簇,Ws表示半群(S,·)生成的半群簇.若S是遺傳非有限基底的,則由定義知W是遺傳非有限基底的半環(huán)簇.進(jìn)一步,由命題2.2知對于任意的n≥1,存在有限生成的無限加法冪等元半環(huán)An使得An的每個n-生成子半環(huán)是W的成員.設(shè)Bn是An的任意有限生成元集,即.則由命題2.1的證明知的每個n-生成子半群是W的某個成員的乘法導(dǎo)出的子半群.由于W的每個成員的乘法導(dǎo)出是Ws的成員,可得的每個n-生成子半群是Ws的成員,且由命題2.1的證明知是有限生成的無限半群.再次利用命題2.2可得Ws是遺傳非有限基底的,由定義知(S,·)是遺傳非有限基底的.

定理2.1的逆命題是否成立是未知的,目前文獻(xiàn)中尚未有刻畫遺傳非有限基底的加法冪等元半環(huán)簇的結(jié)果.另一方面,定理2.1,若一個法冪等元半環(huán)的乘法導(dǎo)出不是遺傳非有限基底的,則該半環(huán)不是遺傳非有限基底的.又由文獻(xiàn)[11]的主要結(jié)果可得,階數(shù)小于6的半群都不是有限基底的,這蘊(yùn)含著它們都不是遺傳非有限基底的.從而得到一個有限遺傳非有限基底的加法冪等元半環(huán)的階數(shù)大于7,即下列結(jié)果成立:

推論2.1階數(shù)小于6的加法冪等元半環(huán)都不是遺傳非有限基底的.

然而,階數(shù)小于6的加法冪等元半環(huán)的有限基底問題尚未被解決.特別地,到目前為止還沒有發(fā)現(xiàn)階數(shù)小于6的非有限基底的加法冪等元半環(huán).因此,系統(tǒng)地研究小階加法冪等元半環(huán)的有限基底問題是非常有必要的,這是后續(xù)工作的一個方向.眾所周知,Zimin字在字的組合理論和半群簇的研究中發(fā)揮了非常重要的作用.具體地說,稱如下歸納定義的字Zn為Zimin字:

由文獻(xiàn)[1](定理3.6.34)知有限半群S是遺傳非有限基底的當(dāng)且僅當(dāng)對于任意的n,S不滿足非平凡的恒等式Zn≈W.設(shè)T是Sr(n,1)中的任意有限成員,則(T,·)滿足非平凡的恒等式.由上述結(jié)論得半群(T,·)不是遺傳非有限基底的.進(jìn)一步,利用定理2.1可得半環(huán)T不是遺傳非有限基底的.由此得到下列推論:

推論2.2Sr(n,1)中的任意有限成員都不是遺傳非有限基底的.

接下來將肯定地回答Sr(n,1)的限制Burnside問題.為此,需要文獻(xiàn)[12](定理1),即下面的結(jié)果:

引理2.1設(shè)V是有限基底的半群周期簇,則存在遞歸函數(shù)f(k)是V中所有k-生成有限半群的基數(shù)的上界當(dāng)且僅當(dāng)V中所有的nil-半群是局部有限的.

定理2.2Sr(n,1)的所有局部有限成員的類作成簇.

證明由文獻(xiàn)[1](問題3.10.4)可得,一個有限基底的簇V的所有局部有限成員的類作成簇當(dāng)且僅當(dāng)對于任意的k≥1,V中所有k-生成有限代數(shù)的基數(shù)存在上界.注意到Sr(n,1)是有限基底的.因此,為了證明Sr(n,1)的所有局部有限成員的類作成簇,僅需要表明對于任意的k≥1，Sr(n,1)中所有k-生成有限代數(shù)的基數(shù)存在上界.設(shè)是Sr(n,1)中任意k-生成有限半環(huán),則由命題2.1的證明知是Sg(n,1)中k-生成有限半群,且

由于Sg(n,1)是有限基底的半群周期簇,且它中的每個nil-半群是平凡半群,利用引理2.1得存在遞歸函數(shù)f(k)是Sg(n,1)中所有k-生成有限半群的基數(shù)的上界.這蘊(yùn)含著

進(jìn)一步,利用(1)式可得

這表明2f(k)是Sr(n,1)中所有k-生成有限代數(shù)的基數(shù)的上界.由此說明Sr(n,1)的所有局部有限成員的類作成簇.

最后,將給出參考文獻(xiàn)[10](定理2.4)的一個簡潔證明.

定理2.3下列命題是等價的:

(a)加法冪等元半環(huán)簇Sr(n,1)是局部有限的;

(b)半群簇Sg(n,1)是局部有限的;

(c)群簇G(n,1)是局部有限的.

證明(a)?(c).假設(shè)群簇G(n,1)不是局部有限的.則在G(n,1)中存在一個有限生成的無限群G.進(jìn)一步,半群(G0,·)不是局部有限的.在集合G0上按如下方式定義加法運(yùn)算:

容易驗(yàn)證,(G0,+,·)是 Sr(n,1)中的成員,且不是局部有限的.從而得到Sr(n,1)不是局部有限的,這與已知條件矛盾.故G(n,1)是局部有限的.

(c)?(b).由文獻(xiàn)[5]的主要結(jié)果可以得到.

(b)?(a).設(shè)S是半環(huán)簇 Sr(n,1)的任意成員,則(S,·)是半群簇 Sg(n,1)中的半群.由(b)知半群(S,·)是局部有限的.進(jìn)一步,由命題2.1可得半環(huán)S是局部有限的.故Sr(n,1)是局部有限的.