辛周平

(香港中文大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)研究所,香港 新界 沙田)

1 引言

理想的可壓縮流體是由非常復(fù)雜的歐拉方程來描述的.當(dāng)流動和時間無關(guān)時(定常流),下面的定常歐拉方程組[1-4]

分別表述了流體的質(zhì)量守恒,動量守恒和能量守恒.其中ρ∈R1是密度,Rn是速度場,

是壓力,

是總壓力,e=e(ρ,s)是內(nèi)能,s是熵,是聲速,而p,e,s,ρ之間的關(guān)系由流體狀態(tài)方程確定.

相對于非定常歐拉方程組[1,3],(1)是較為簡單的,因而也成為人們最先嘗試解決的重要模型.但事實上,(1)具有許多特性使得其研究變得極為困難.首先和非定常情形類似，由(1)確定的波的傳播也是依賴于波的本身,所以(1)的解一般是有激波的[1-2].其次,對很多有意義的波形,(1)都是混合型或變形,且常有退化情形(音速元)的出現(xiàn),這使得即使是局部求解都變得相當(dāng)困難和復(fù)雜.因此關(guān)于方程組(1)的一般邊值問題的理論是完全公開的[2,4-5].

由于(1)的復(fù)雜性,歷史上人們研究了一些簡化模型,其中最為廣泛研究的模型是位勢流方程[2,4,6],即假定熵為常數(shù)且無旋,則p=p(ρ)且存在一個速度位勢函數(shù)?使得u=??,而φ滿足下述位勢流方程:

其中

此時,(3)的特征值是

因此(3)在超音速區(qū)域是嚴(yán)格雙曲的,但在亞音速區(qū)域是橢園-雙曲耦合的,而當(dāng)流體通過音速元是變形的且具有嚴(yán)重退化.相對于位勢流方程,(3)更具挑戰(zhàn)性,因為即使在亞音速區(qū)域,它也是混合型的,這對問題的求解提出了很大的困難.

盡管(1)(或(2)或(3))有著重要的理論和實際應(yīng)用意義,對其的理論研究也取得了一系列重要進展[1-86],但一般性的數(shù)學(xué)理論還遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有建立.過去的研究主要集中在具有較強實際應(yīng)用背景的一些重要問題的實驗,數(shù)值及理論研究:繞流和管道流問題.定?？蓧嚎s繞流問題,包含著名的飛機機翼的空氣流動和音障問題,在空氣動力學(xué)和航天航空中有重大意義,是大家一直關(guān)心的一個問題并且有著廣泛的研究結(jié)果,特別是位勢流的情形.

關(guān)于光滑亞音速繞流及超音速含有激波的流動都有了豐富的結(jié)果[2,4,8,11-14,18-21,29,41-42],甚至最近也有了一些有意思的亞音速-音速位勢流的結(jié)果[9,22,43].但光滑跨音速繞流的研究非常具有挑戰(zhàn)性,因為Morawetz教授證明了光滑跨音速繞流一般是不穩(wěn)定的[23],而跨音速激波是不可避免的,但這類解的存在性研究基本上是個空白.另一類重要的問題是管道中的定?？蓧毫?這類問題的研究不僅具有重要的實際應(yīng)用意義,而由于幾何形狀的效應(yīng)使得在彎曲管道中的定?？蓧嚎s流體具有更豐富的現(xiàn)象和動力學(xué)行為[44-45].這一問題的數(shù)學(xué)理論最近也取得了一系列重要進展,特別是一般彎曲管道中的光滑無旋亞音速流的存在性及對質(zhì)量通量的依賴性,無旋亞音速-音速流的存在性,包括有旋時的推廣等都取得了一系列較為深刻的結(jié)果[15-16,26,30,32,34-40,46-52].特別是文獻[37]得到了對一大類二維彎曲有限管道中滿足物理邊界條件的李普希茨連續(xù)的無旋亞音速-音速流的存在性,并對音速元的位置給出了精確的刻劃.而文獻[35]第一次給出了一類二維De Laval管道中滿足物理邊界條件的Meyer型光滑無旋跨音速流的存在性.但像繞流問題一樣,當(dāng)管道中流體的質(zhì)量通量超越臨界值時,流體一定是跨音速的,而且正如Morawetz指出的,光滑的Taylor型跨音速流一般都是不穩(wěn)定的[23],從而使跨音速激波的出現(xiàn)變成了一個不可回避的問題.

但含有激波的跨音速流的研究極為困難,是非線性偏微分方程研究中的巨大挑戰(zhàn)之一,因為這樣的波形通常都要涉及自由邊界,退化,變形,混合型方程,復(fù)雜的波的相互作用,復(fù)雜或不正則的邊界條件等困難.因此,只是在擬一維時取得了一些深刻的結(jié)果[53-55].而在高維,盡管應(yīng)用補償列緊框架做了一系列有益嘗試,一個系統(tǒng)的理論還有待建立,已有的結(jié)果大部分集中在滿足某些特殊邊界條件的跨音速激波的適定性[4,7,17,31,55-67].因此,研究彎曲管道中滿足物理邊界條件的跨音速激波的適定性具有重要的意義,而在有限光滑收縮-伸張管道(稱為De Laval管道)中的跨音速激波的研究就是在工程應(yīng)用和數(shù)學(xué)理論中都極具意義的問題.

基于眾多的工程實驗,Courant-Friedrichs在其1948年的專著中提出了下面的關(guān)于 De Laval管道中的跨音速激波問題[1](如圖1所示):

圖1 De Laval管道中的跨音速激波

考慮進入一個De Laval管道的一致超音速流.對于給定的在適當(dāng)區(qū)域的出口壓力Pe,若超音速從收縮區(qū)到管道脖子保持光滑,則在管道的伸張部分某處一定會產(chǎn)生一個激波,通過激波后流體被壓縮并變慢成為亞音速流動,而激波的位置和強度會自動調(diào)整從而達到給定的出口壓力Pe.

這個問題的正向結(jié)論和工程實驗非常吻合,而在擬一維時也很容易證明[44,53-54],特別是Courant-Friedrichs在管道是部分張開的圓錐時可以給出嚴(yán)格的解[1].對于某些適當(dāng)修改的邊界條件或其它額外條件,管道中的跨音速激波存在性也有了許多進展[7,17,55-56,58-62,64-65].但對Courant-Friedrichs問題在一般情形還遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有解決.這里的主要困難在于這是一個極為復(fù)雜的混合型方程的自由邊值問題,它即使在亞音速區(qū)也不是橢圓型的(而是雙曲-橢圓耦合的),而且在出口的給定壓力邊界條件是完全非平凡的.另外,激波同管道邊界的碰撞會導(dǎo)致低正則性從而使問題的分析變得困難.下面會對該問題的近期進展做一個綜合性的描述.

2 二維 Courant-Friedrichs的跨音速激波問題

本節(jié)給出Courant-Friedrichs的跨音速激波問題的精確描述(見圖2所示).為簡單起見,假定管道為

其中fi是光滑的(i=1,2),a和b是給定常數(shù).

圖2 Courant-Friedrichs的跨音速激波

設(shè)給定的出口壓力為p=pe(x2),它是一正的光滑函數(shù).考慮一個密度為常數(shù)ρ0,熵為常數(shù)s0,速度場為(q0,0)的一致超音速流(q0>c(ρ0)為常數(shù))進入該管道.設(shè)尋找的激波曲線為

則過Σ的R-H跳躍條件是

這里

表示A在的跳躍.將管道區(qū)域分為左區(qū)域??和右區(qū)域?+,則

定義

管道壁假定是實的,則

來流條件是

出口邊界條件為:

則二維Courant-Friedrich的跨音速激波問題可表述為:

目標(biāo)在適當(dāng)條件下尋找二維定?？蓧嚎s歐拉方程組(1)的在?上的分片光滑解,使得解在??上超音速,在?+為亞音速,并滿足條件(6),(8)-(11).

注意到這里來流要求是一致流只是為了簡化,來流是變量時的描述是類似的.當(dāng)然三維的情形也可以進行類似的描述.

3 主要進展

盡管這個問題在理論和應(yīng)用都極為重要,但由于上述的困難,理論研究的進展較為緩慢.上個世紀(jì)的主要結(jié)果大多數(shù)集中在一維或擬一維情形.從這個世紀(jì)初開始,一系列的高維成果開始涌現(xiàn),下面列舉其中一些結(jié)果.

首先,一個令人驚奇的結(jié)果是對于常見的位勢流模型(2),Courant-Friedrichs的跨音速激波流問題的答案一般是負(fù)面的[55,64].事實上,對位勢流方程(2),文獻[64]中構(gòu)造了一類De Laval管道,使得Courant-Friedrichs問題或者不存在,或者解存在但不唯一,或者解不連續(xù)依賴于邊界值,只有對特殊的出口壓力條件,該問題的解才具有適定性[55],導(dǎo)致對位勢流該問題的不適定性主要在于對(2)來講,給定出口壓力條件在亞音速區(qū)是一個非線性斜導(dǎo)數(shù)邊界條件,從而引起了橢圓問題的不相容性.但對于修正的位勢流方程(即假定熵是未知變量且流體無旋),則該問題是有可能適定的[7].因此為了研究Courant-Friedrichs管道中的跨音速激波問題,人們的注意力主要集中在有旋的歐拉方程.而此時,該問題的困難和熵是否是常數(shù)無關(guān).

其次,注意在Courant-Friedrichs的管道中的跨音速激波問題中,激波的位置是一個自由邊界,應(yīng)該由管道的幾何形狀,來流和出口壓力條件唯一確定.若激波被要求通過一給定點,這時該問題解的唯一性則可以被證明[58-62,65].但存在性一般是不成立的.若允許出口壓力相差一個未知常數(shù),則解的適定性對一類管道可以建立(見文獻[58-60,66-67]).

對于一般情況下(不附加額外條件)該問題的適定性結(jié)果是關(guān)于二維Courant-Friedrichs的跨音速激波的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的一系列工作[68-73].當(dāng)出口壓力是常數(shù)而管道為張開的直管道時,Courant-Friedrichs通過解決常微分方程的自由邊界問題給出了該問題的存在唯一性[1].而Courant-Friedrichs解的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性是該問題最有意義的研究課題之一.在文獻[68-73]中,作者首先證明了對于一般二維De Laval管道,若它的伸張部分是張開直管道的任意小攝動,當(dāng)出口壓力函數(shù)是常壓力的小攝動,則Courant-Friedrichs的跨音速激波問題的解是唯一確定的,而且出口壓力的變化區(qū)域也可以確定.進一步,若管道的伸張部分是變化較為平緩而來流的馬赫較大,則該解的激波位置單調(diào)依賴于出口壓力.這些結(jié)果對來流是一致流的小攝動也是對的(見翁尚昆的博士論文).這些結(jié)論的確切描述會在下面給出.因此,Courant-Friedrichs的跨音速解是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的.這些結(jié)果也可推廣到三維軸對稱管道.注意到對于擬一維問題,一個著名的結(jié)果是在管道張開部分中的跨音速激波實際是動力學(xué)穩(wěn)定的,而在管道中的收縮部分的跨音速是不穩(wěn)定的[45],這個結(jié)果的證明依據(jù)Glimm方法[45,54].但對于分片光滑攝動,在張開管道中的跨音速激波的動力學(xué)穩(wěn)定性可以用新的能量和譜分析去證明并可得到衰減率[65,74].

需要指出的是,上述Courant-Friedrichs的跨音速激波的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性證明的關(guān)鍵是用管道的幾何和出口壓力的關(guān)聯(lián)來確定激波的可能通過的管道壁上的位置,而這又嚴(yán)重依賴于背景管道是張開的直管道.因此這個方法對一般管道是不適用的.最近,文獻[75]中給出了一個在一般平緩管道由出口壓力和管道幾何確定激波通過管道壁位置的一個新方法,從而得到了Courant-Friedrichs的管道中跨音速激波問題的解的存在性.

4 Courant-Friedrichs的跨音速激波的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性和分析方法

本節(jié)將陳述關(guān)于Courant-Friedrichs的跨音速激波結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的主要結(jié)果及其證明的主要思路.這些都是文獻[68-73]中的結(jié)果的一個摘要.這就給出了對一類張口部分是一個張開的直管道的小的任意攝動的De Laval管道時,Courant-Friedrichs的跨音速激波問題有一個確定的正面答案.

在極坐標(biāo)

意義下,要考慮的二維De Laval管道如圖3所示:

圖3 二維De Laval管道

這里假定上下管道壁分別為

且 Γ1和 Γ2都是C3,α光滑(0<α<1).其中和形成管道的收縮部分,而組成管道的伸張部分,這里x0>1是個給定的數(shù).

設(shè),對于i=1,2,

其中

而出口壓力條件可表述為:

這里pe是個正常數(shù),而

其中c是任意給定常數(shù).在(13)和(14)中,ε是非負(fù)參數(shù).注意到當(dāng)ε=0,伸張部分的管道壁變成直的,即,而出口壓力變成常壓力pe,這時 Courant-Friedrichs[1]已證明了存在正常數(shù)pm和pM,滿足pm

而激波位置由r=r0確定.這里,定義在超音速區(qū)上而且在r=x0附近關(guān)于θ=0對稱,同時在亞音速區(qū)

這節(jié)的主要結(jié)果是Courant-Friedrichs構(gòu)造的這個背景解是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的.

定理4.1[73]假定管道由(12)和(13)確定(如圖3所示),則存在一正常數(shù)ε0使得對所有ε∈[0,ε0],Courant-Friedrichs的管道中的跨音速激波問題,(1)(6)(8)(9)(10)(這里x1=a換為r=x0?1) 和(11),有唯一的解,且具有如下性質(zhì):

這里?+是亞音速區(qū),即

而

注釋1這個結(jié)果證明了Courant-Friedrichs的跨音速激波解在對管道形狀和出口壓力的一般小攝動的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性.這個穩(wěn)定性結(jié)果可推廣到來流是一致流的小攝動的情形(見翁尚昆博士論文),從而也給出了二維完全歐拉方程的Courant-Friedrichds的跨音速激波問題對一類重要De Laval管道的第一個完全正面答案.

注釋2對一般的 De Laval管道,定理4.1中的跨音速激波解在亞音速區(qū)的正則性都是最優(yōu)的,即使管道是C∞正則,0<α<1也是無法改進的[15],但若管道是直的,即fi(r)≡0,這時管道壁伸張部分可表示為:

則解的正則性可提高到C2,α或者更高.事實上,我們有下述結(jié)果:

定理4.2[68]設(shè)定理4.1的假定成立,且將(12)改成(21),則存在正常數(shù)ε0使得對所有的ε∈[0,ε0],Courant-Friedrichs的管道中的跨音速激波問題有唯一解，而且滿足以下性質(zhì):

其中

注釋3當(dāng)管道壁的張開部分是直的時候,激波和管道壁具有較高的匹配性[15,68],這就導(dǎo)致了定理4.2的正則性高于定理4.1中的正則性.但對一般彎曲管道(即使無窮光滑),定理4.1的正則性是最佳的[15].

注釋4注意到在上述兩個定理中,對θ0沒有小性要求,也就是說沒有要求管道是水平管道的小攝動(這是以前很多文獻中的主要要求之一).但若θ0較小,會得到下述關(guān)于跨音速激波單調(diào)依賴于出口壓力的重要結(jié)論.

定理4.3[69]設(shè)定理4.2的假定成立,則存在一個適當(dāng)小的正常數(shù)使得若

并且

這里M?(x0)是馬赫數(shù),是常數(shù),則 Courant-Friedrichds的管道跨音速激波問題有唯一的解,且具有以下性質(zhì):

(iii)跨音速激波的位置x1=ξ(x2)是單調(diào)和Lipschitz連續(xù)地依賴于出口壓力.

注釋5這里指出證明定理4.1的主要困難.用特征線方法得到上游光滑超音速流是容易的,所以Courant-Friedrichs的管道中的跨音速激波問題可歸結(jié)為尋找亞音速區(qū)域而且滿足給定的邊界條件和穿過激波的跳躍條件.因為激波位置是未知的,這就變成了一個帶有固定邊值的雙曲-橢圓耦合方程的非線性自由邊界問題.注意到越過激波的跳躍條件給出了關(guān)于激波位置的一個常微分方程組.因此要確定激波的位置就需要激波過某點,比如激波和管道壁的交點的位置.在已有的許多工作中,假定這個點是給定的,但一般來講,這時的Courant-Friedrichds的管道中的跨音速激波問題是超定的[63],只有在允許出口壓力確定到一個常數(shù)或特殊的壓力條件,解才可以適定[55,58-60].因此,激波位置的確定(即使是其上一個點)是和滿足固定邊界的下游亞音速流動同時進行的.這是解決該問題的關(guān)鍵點之一.另外一個最重要的困難是解在亞音速區(qū)的低正則性.在文獻[63]中,作者證明了由于激波和管道壁相交,只有在交點附近H?lder連續(xù)的亞音速流可以存在除非管道壁是直的.但在亞音速區(qū),歐拉方程組(1)是一個橢圓-雙曲耦合方程組,因之在亞音速區(qū)解的低正則性導(dǎo)致非線性問題的很大困難.

注釋6定理4.1證明的主要步驟可概括如下:

第一步,通過特征線方法,可以找到滿足管道壁和入口條件的上游光滑超音速流.

第二步,將跨音速激波歸化為亞音速歐拉方程的非線性自由邊界和固定邊值問題.

第三步,通過Euler-Lagrange變換將該自由邊界問題變成一個在固定區(qū)域求解下述系統(tǒng)邊值問題:

·關(guān)于激波位置的帶有自由初始值的非線性常微分方程;

·關(guān)于壓力和角速度的一個非線性一階橢圓組;

·分別關(guān)于熵和Bernoulli函數(shù)的輸運方程.

注意到Euler-Lagrange變換只是一個部分速度圖變換,因之出口壓力條件會變成對上述系統(tǒng)的一個非局部邊界條件.

第四步,求解上述系統(tǒng)的初邊值問題.這是通過設(shè)計一個能夠有效分離雙曲變量和橢圓變量的迭代格式來實現(xiàn)同時確定跨音速激波的位置和下游的亞音速流動.這個迭代格式的關(guān)鍵是求解一個含低正則非局部項(超音速來流和下游亞音速流在激波的相互作用)和一個自由參數(shù)(激波和管道交點的位置)的一階橢圓組的混合邊值問題.這個問題的可解性條件正好給出了激波和管道壁交點的位置,從而解跳躍條件可確定激波的位置.

第五步是推導(dǎo)迭代解的緊性估計.

最后可證明解的存在唯一性和相關(guān)性質(zhì).

注釋7所有二維的結(jié)果都可以推廣到三維軸對稱的情形[70-72].當(dāng)有場的作用時(比如自重力場或電力場),已有很多有意義的推廣[76-79].

5 公開問題

盡管有了上述進展,Courant-Friedrichds的管道中的跨音速激波問題在很多有意義的情形還沒有解決,特別是三維一般管道或非常數(shù)出口壓力,有著實質(zhì)上的困難,但具有重要物理和理論意義.

1.即使對于二維問題,由于第4節(jié)中的結(jié)果強烈依賴于背景解(即Courant-Friedrichds的跨音速解)的結(jié)構(gòu).因此當(dāng)管道是一般的De Laval管時,Courant-Friedrichds的管道中的跨音速激波問題是公開的,只有當(dāng)管道是平行直管道的小攝動時,文獻[75]給出了一個存在性結(jié)果.一般情形還是未知的.

2.更重要的是三維問題.只有當(dāng)管道,來流和出口壓力都是軸對稱時,才有類似于第4節(jié)中的結(jié)果[70-72].對一般情形,Courant-Friedrichds的管道中的跨音速流問題完全公開.注意到第4節(jié)中的結(jié)果完全依賴于二維結(jié)構(gòu),是不適用于三維情形.需要新的想法和技術(shù).但注意到當(dāng)管道為伸開的直錐時,這個問題解的唯一性已在文獻[72]證明,但存在性還沒有證明.但在這種情況下,亞音速區(qū)的高正則性是可期待的,因此存在性也是可期待的.