安徽亳州市譙城區(qū)夏侯分校 佟茂峰

從某種意義上說，數(shù)學教學就是對數(shù)學知識進行“解壓縮”，將“學術(shù)形態(tài)”的數(shù)學轉(zhuǎn)化為“教育形態(tài)”的數(shù)學。只有將“學術(shù)形態(tài)”的數(shù)學轉(zhuǎn)化為“教育形態(tài)”的數(shù)學，學生才能真正理解知識、掌握知識、運用知識。解壓縮，是將“學術(shù)形態(tài)”的數(shù)學轉(zhuǎn)化為“教育形態(tài)”的數(shù)學的一個有效路徑。

一、道而弗牽：恢復數(shù)學知識的“原始形態(tài)”

在數(shù)學教材中，數(shù)學知識是以一種簡約化、壓縮化的學術(shù)形態(tài)出現(xiàn)的。作為教師，要引導學生去認識數(shù)學知識誕生時的原始歷程，去揭示數(shù)學知識背后的誕生背景，去領(lǐng)悟數(shù)學知識蘊含的思想方法，去觸摸人類探索數(shù)學知識的關(guān)鍵步子，等等。這些最為原始的過程性、歷史性、思想性的數(shù)學知識所包含的人文、思想、文化等元素，對學生的數(shù)學精神來說更具有教育意義，這就是數(shù)學知識的教育形態(tài)。

北師大版數(shù)學二年級上冊《課桌有多長》一課，直接出示測量物體長度的工具——直尺，盡管學生習得了技能，如將物體的一端直接對準直尺的零刻度，讀出另一端的讀數(shù)等，但在這樣的學術(shù)形態(tài)的數(shù)學面前，學生沒有理解測量的本質(zhì)。教學中，教師有必要引導學生恢復測量物體長度的原始形態(tài)，讓學生經(jīng)歷“厘米尺”的發(fā)明、誕生過程。遠古時代，人類沒有任何測量工具，他們是怎樣測量的呢？（出示一搾、一庹）引導學生進入活動一。活動中，不同的學生用自身的身體尺來進行測量，由于每個學生一搾、一庹的長度不一，因此導致同一件物體長度的測量結(jié)果不同。據(jù)此，學生就想到要統(tǒng)一測量單位。人類首先想到了用小棒來進行測量。在測量較短長度的物體時，人們用這樣一根小棒（出示一厘米小棒，幫助學生建立厘米的表象）。引導學生進入活動二，學生在用一厘米小棒測量物體長度時發(fā)現(xiàn)，用一根一根小棒去測量物體長度比較麻煩，有學生想到應(yīng)當用長一些的小棒來測量，有學生想到可以將這些小棒一根根串聯(lián)起來，于是建構(gòu)了這樣的測量工具（厘米尺的雛形）。這樣的活動，教師道而弗牽，學生卻經(jīng)歷了數(shù)學知識創(chuàng)生時的原始形態(tài)，感悟到測量一個物體的長度，就是看這個物體長度里有多少個測量單位。當學生形成這樣的學習感悟后，為學生學習面積測量、體積測量奠定了堅實的基礎(chǔ)。

如何恢復數(shù)學知識誕生時鮮活的“原始形態(tài)”，一個重要的方法就是引導學生重走人類探索數(shù)學知識的關(guān)鍵步伐。只有經(jīng)歷了數(shù)學知識的誕生過程，才能真切地感受、體驗到數(shù)學知識的本質(zhì)。這個過程可能是緩慢的，但卻是必需的。要知道，學生的數(shù)學學習是一種慢速度的精彩，在數(shù)學教學中欲速則不達。

二、精心設(shè)問：恢復數(shù)學知識的“歷史形態(tài)”

著名數(shù)學史家克萊因深刻地指出：“歷史是教學的指南?！睂?shù)學史融入數(shù)學教學中，變數(shù)學知識的學術(shù)形態(tài)為歷史形態(tài)，有助于學生的數(shù)學理解。一般來說，數(shù)學教學對接數(shù)學史，有兩種基本形態(tài)：其一為顯性形態(tài)，即直接對接，比如：直接鏈接人類探索某一數(shù)學知識的數(shù)學史過程；其二為隱性形態(tài)，即間接對接，將人類探索知識的歷史過程融入數(shù)學教學中。這樣一種潤物無聲的教學，能讓學生在不知不覺中感受、領(lǐng)略到數(shù)學知識的本質(zhì)。

如教學《用字母表示數(shù)》（北師大版數(shù)學四年級下冊）時，教師要幫助學生實現(xiàn)從具體、真實的數(shù)字向抽象的字母的認知轉(zhuǎn)變。為此，教師要認真研讀數(shù)學史，把握人類“代數(shù)思想”的發(fā)展歷程，從而進行用字母表示數(shù)的設(shè)計，發(fā)展學生的符號化思想。我們知道，人類代數(shù)知識的發(fā)展大致經(jīng)歷了三個具體階段，即文辭代數(shù)、縮寫代數(shù)和符號代數(shù)。在學生身上，也會出現(xiàn)歷史上人類認知提升曾經(jīng)遭遇的障礙。首先，筆者出示“一只青蛙一張嘴，兩只眼睛四條腿，乒乒乓乓跳下水”，學生紛紛仿說。說不完，能不能用一句話概括地說呢？ 于是，有學生就是簡單地用字母代替文字，比如a只青蛙b張嘴，c只眼睛d條腿，乒乒乓乓跳下水。顯然，這樣簡單地用字母代替文字的過程，就是人類代數(shù)發(fā)展史上的“文辭階段”“縮寫階段”。為此，筆者這樣啟發(fā)學生：如何看出青蛙的只數(shù)與嘴的張數(shù)、眼睛的只數(shù)、腿的條數(shù)之間的關(guān)系呢？ 在學生思維出現(xiàn)障礙時，筆者這樣啟發(fā)學生：青蛙的眼睛的只數(shù)與青蛙的個數(shù)有怎樣的關(guān)系？ 青蛙的腿的條數(shù)與青蛙的只數(shù)有怎樣的關(guān)系？從而引領(lǐng)學生超越文辭代數(shù)、縮寫代數(shù)，進入符號代數(shù)的層面。只有當學生認識到青蛙的只數(shù)與眼睛的只數(shù)、腿的條數(shù)之間的關(guān)系，并能用符號表征這種關(guān)系時，學生才能深刻認識到，符號不僅可以表示確定的數(shù)，而且還可以表示變化的數(shù)；不僅可以表示未知數(shù)，而且還可以表示已知數(shù)；等等。

根據(jù)“歷史發(fā)生原理”，學生的數(shù)學學習歷程會重走人類探索數(shù)學知識的歷程。因此，教師有必要研究數(shù)學史、運用數(shù)學史。數(shù)學史中那些原始的、客觀的數(shù)學探究過程即是數(shù)學的“史學形態(tài)”?；謴蛿?shù)學知識的史學形態(tài)，其根本目的在于充分發(fā)揮數(shù)學史的教育功能，在數(shù)學教學中融入數(shù)學史，從而讓數(shù)學史更好地服務(wù)于學生的數(shù)學學習。

三、授之以漁：恢復數(shù)學知識的“思考形態(tài)”

著名教育家弗賴登塔爾說：“沒有一種數(shù)學思想，以它被發(fā)現(xiàn)時的那個樣子發(fā)表出來。一個問題被解決以后，相應(yīng)地發(fā)展成一種形式化的技巧，結(jié)果使得‘火熱的思考’變成了‘冰冷的美麗’?！睂W術(shù)形態(tài)的數(shù)學知識轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)，要恢復數(shù)學知識的思考形態(tài)，比如數(shù)學家的思考形態(tài)。這種思考形態(tài)是鮮活的，富有生命力的。授之以漁，就是要點燃學生數(shù)學思維的火花。

比如：教學北師大版數(shù)學四年級上冊《運算律》時，學生遇到了這樣一道習題：1+2+3+…+98+99+100=？ 這不就是著名的“高斯問題”嗎？ 如何啟發(fā)學生運用加法交換律、結(jié)合律？ 筆者在教學中，力圖恢復、引導學生揣摩數(shù)學家高斯的“思考形態(tài)”：一個一個相加，太麻煩了。這一串數(shù)字有怎樣的特征呢？學生發(fā)現(xiàn)，從左往右，每一個數(shù)依次增加1；從右往左，每一個數(shù)依次減少1。如果從兩端往中間看，每一組中兩個數(shù)的和都是101。這樣一共有50組101，也就是用101乘50?；蛘撸孕∫姶笳乙?guī)律。比如：1+2；1+2+3；1+2+3+4；……1+2+3+……+100。學生發(fā)現(xiàn)，每一組數(shù)都是“末位數(shù)”乘“末位數(shù)加1”然后除以2。在這個過程中，學生還原了一般的探索歷程，還原了數(shù)學家的思考品格：思維的變通性，思維的簡潔性。授之以漁，就是要引導學生展開火熱的數(shù)學思考，尋找數(shù)學知識背后的規(guī)律。借助這樣一種恢復數(shù)學思考形態(tài)的數(shù)學學習過程，可以培育學生的數(shù)學直覺力、數(shù)學理解力和數(shù)學創(chuàng)造性。經(jīng)歷了這樣一個過程，學生不僅可以完整而深刻地理解數(shù)學知識的本質(zhì)內(nèi)涵，也能感悟、領(lǐng)悟到數(shù)學的文化價值，即一種信念、興趣，一種文化的積極啟蒙、創(chuàng)造。

數(shù)學不僅是一種工具，更是一種思維模式。通過對數(shù)學知識思考形態(tài)的恢復，學生在數(shù)學學習中能獲得一種觀念性、思想性的突破。正如古希臘著名思想家普羅泰戈拉所說：“頭腦不是一個要被填滿的容器,而是一把要被點燃的火炬?！痹诨謴蛿?shù)學知識思考形態(tài)的教學中，學生“火熱的思考”正是點燃“火炬”的火種！

數(shù)學知識是一種壓縮形態(tài)的知識，通過對數(shù)學知識的“解壓縮”而展開的數(shù)學教學，不僅能被學生主動地激活，而且能讓學生主動地建構(gòu)、創(chuàng)造。通過“解壓縮”，教師引導學生將嚴密、抽象、冰冷的“學術(shù)形態(tài)”的數(shù)學轉(zhuǎn)化為生動、活潑、形象的“教育形態(tài)”的數(shù)學，這是一門科學，也是一門藝術(shù)。通過這樣的數(shù)學教學，學生能理解數(shù)學知識、感悟數(shù)學思想方法，能領(lǐng)悟數(shù)學的精神、文化。由此，有效提升學生的數(shù)學學習力，發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。