鐘志有，龍 浩

(中南民族大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，湖北 武漢 430074)

1 引言

量子力學(xué)是研究微觀粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律的理論，它不僅是現(xiàn)代物理學(xué)的兩大基本支柱之一，而且在化學(xué)、生物學(xué)、材料學(xué)和宇宙學(xué)等有關(guān)學(xué)科和許多近代技術(shù)中得到了廣泛的應(yīng)用[1～5]。量子力學(xué)是高等院校中光電專業(yè)的一門基礎(chǔ)課程，同時(shí)也是許多理工科專業(yè)的學(xué)科基礎(chǔ)必修課程之一。作為一門建立在公理體系上的科學(xué)，量子力學(xué)對(duì)初學(xué)者來說普遍感到物理概念生澀難懂、數(shù)學(xué)工具高深、課本難讀、習(xí)題難做，學(xué)習(xí)和掌握的難度很大[6～10]，因此，如何結(jié)合學(xué)生的實(shí)際，采取合適的教學(xué)方法使學(xué)生理解其物理思想，已經(jīng)成為量子力學(xué)課堂教學(xué)中的一個(gè)重要課題。本文分別以一維線性諧振子和一維無限深方勢(shì)阱作為實(shí)例，闡述了類比方法和模擬分析在量子力學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，提高了課堂教學(xué)的效果。

2 類比方法的運(yùn)用

類比方法是根據(jù)兩個(gè)不同對(duì)象的部分屬性相似而推出這兩個(gè)對(duì)象其他屬性也可能相似的一種邏輯推理方法，它是一種從特殊到特殊的推理方法，是人類認(rèn)識(shí)自然的重要方法[11～15]。類比方法不僅可以用于抽象概念的講授中，面且也可以用于Schr?dinger方程的求解。對(duì)于某些勢(shì)函數(shù)，其Schr?dinger方程可以通過一定的數(shù)學(xué)變換，化為能嚴(yán)格求解的Schr?dinger方程形式，將其解與已知的精確解進(jìn)行類比，按照精確解的形式直接寫出相應(yīng)的解[1,3]，特別是，這種方法很容易將相應(yīng)的能級(jí)表示出來。

如果一維線性諧振子受到附加勢(shì)場(chǎng)的擾動(dòng)[1]，其Hamilton算符可表示為：

(1)

對(duì)應(yīng)的定態(tài)Schr?dinger方程為：

(2)

為了求解方程(2)，可以首先考慮沒有受到擾動(dòng)的一維線性諧振子問題，這時(shí)其Hamilton算符為：

(3)

相應(yīng)的定態(tài)Schr?dinger方程為：

(4)

(5)

式(5)中，x′=x-λ/(mω2)。由(5)看出，該問題仍然屬于一維線性諧振子，它的每一個(gè)能級(jí)都比未受擾動(dòng)時(shí)線性諧振子的能級(jí)降低了λ2/(mω2)，同時(shí)其平衡點(diǎn)向右移動(dòng)了λ/(mω2)[1]。通過類比方法容易得出，受到-λx擾動(dòng)后的定態(tài)波函數(shù)和能級(jí)可以分別表示為：

ψ(x′)=Nne-α2x′2/2Hn(αx′)

(6)

(7)

由此可見，利用類比方法很容易得到受擾動(dòng)后一維線性諧振子的定態(tài)波函數(shù)和能級(jí)表達(dá)式。

MATLAB模擬分析

MATLAB軟件不僅具有強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算能力和功能齊備的可視化能力，而且還具有簡(jiǎn)單易學(xué)、運(yùn)算效率高、應(yīng)用范圍廣等特點(diǎn)[16～18]，是目前最為流行的一款數(shù)學(xué)工具軟件，它已經(jīng)廣泛應(yīng)用于各行各業(yè)的許多領(lǐng)域中[19～28]。本文中將MATLAB軟件應(yīng)用于量子力學(xué)教學(xué)過程，大大激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高了課堂教學(xué)的效率，起到了事半功倍的作用。

對(duì)于一維無限深方勢(shì)阱中的粒子[3]，其勢(shì)能如下：

(8)

在勢(shì)阱外，由于無限大，粒子不能運(yùn)動(dòng)到勢(shì)阱之外，所以其定態(tài)波函數(shù)。在勢(shì)阱內(nèi)，，此時(shí)粒子的波函數(shù)滿足定態(tài)Schr?dinger方程：

(9)

根據(jù)波函數(shù)的連續(xù)性，可以得到粒子的分立能級(jí)和歸一化波函數(shù)分別如下：

(10)

(11)

對(duì)于一維無限深方勢(shì)阱中的電子，其質(zhì)量為m=9.1×10-31kg，設(shè)勢(shì)阱寬度a=4 nm，利用MATLAB語言編寫程序，可以得到其波函數(shù)和概率密度曲線如圖1所示。由圖可見，粒子在勢(shì)阱中出現(xiàn)的概率因地而異，在阱壁處的概率為零；另外概率密度分布還隨量子數(shù)n而變化，模擬結(jié)果與理論分析完全相符[1,3]。

圖1量子數(shù)n為1、2和3時(shí)粒子的波函數(shù)和概率密度的曲線

4 結(jié)語

量子力學(xué)是中南民族大學(xué)光電專業(yè)的專業(yè)必修課程之一，針對(duì)學(xué)生量子力學(xué)學(xué)習(xí)中存在的困難，我們采用形式多樣的教學(xué)方法，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升了課堂教學(xué)水平，學(xué)習(xí)效果得到了明顯提高。然而這門課程的教學(xué)仍然存在教學(xué)手段單一、與生產(chǎn)實(shí)踐結(jié)合不緊密等問題，這些都有待于在今后教學(xué)中加以改進(jìn)。