張 徐

（中國鐵路設計集團有限公司機械動力和環(huán)境工程設計院，天津 300000）

車輛的運行狀態(tài)在直線和曲線上是不同的， 曲線段限界需在直線段限界的基礎上進行加寬和加高。對于圓曲線、緩和曲線段的限界加寬，《地鐵設計規(guī)范》(GB 50157—2013)[1]以及《地鐵限界標準》(CJJ 96—2003)[2]中均有相應的公式。對于直線和圓曲線、直線和緩和曲線、緩和曲線和圓曲線過渡段的加寬量，卻沒有相應的計算標準。由此，各大設計院只能參考《鐵路隧道設計規(guī)范》(TB 10003—99)[3]中緩和曲線加寬方法進行設計。但由于采用《鐵路隧道設計規(guī)范》中規(guī)定的加寬方法計算限界，明顯偏大，導致地鐵土建投資增加。因此，筆者對曲線段限界加寬方法進行了進一步研究，并利用 MATLAB編寫程序，簡化計算，以方便工程運用。

1 幾何加寬量

1.1 圓曲線地段幾何加寬

當車輛完全進入圓曲線，假設車輛、轉向架、軌道均為剛性體，分別以車輛縱向中心線、轉向架縱向中心線、軌道中心線代替，如圖1所示。

A1、B1為前轉向架的前后輪對，A2、B2為后轉向架的前后輪對，A、B為車體的前后端，M1、M2為前后轉向架的中心，M為車體的中心，轉向架軸距為p，車輛定距為a，車體長度為b，R為曲線半徑。如圖1所示，當車輛完全在圓曲線上運行時，最大的內側幾何加寬量出現在車體中部，最大的外側幾何加寬量出現車體兩端[2，4]。

圖1 圓曲線地段幾何加寬Fig.1 Diagram of geometric widening in circular curve

最大內側幾何加寬量：

1.2 緩和曲線地段幾何加寬

當車輛完全進入緩和曲線，不同于圓曲線，緩和曲線各處曲率均不一致。《地鐵設計規(guī)范》(GB 50157—2013)附錄E中介紹了緩和曲線幾何加寬量的計算方法，而筆者利用作圖法以及 MATLAB編寫緩和曲線幾何加寬量的計算程序，并與規(guī)范中的公式進行對比驗證。

在鐵路設計中，以三次拋物線函數表示緩和曲線[5-7]，其方程為：

式中，R為曲線半徑，L0為緩和曲線全長。

將上式展開多項式形式，省去高次項式，并進行積分可得緩和曲線弧長與x坐標之間的關系。

如圖2所示，車輛沿緩和曲線運行，當車體連線與緩和曲線a處的垂線相交時，線段ab即為此時緩和曲線a處的內側加寬量。不難發(fā)現，直至車輛駛離a處垂線，加寬量會一直發(fā)生變化，取其中內外側的極值作為a處內側幾何加寬量和外側幾何加寬量。

圖2 緩和曲線地段幾何加寬Fig.2 Diagram of geometric widening in transition curve

類似a點內外側幾何加寬量的計算，將緩和曲線分成若干等份如圖3所示，以直緩點zh為坐標原點，車輛前轉向架的一位輪對從原點開始進入緩和曲線，利用 MATLAB求出車體中心線與緩和曲線上各點法線的交點，并連接內外側法線交點的極值即可求出此緩和曲線地段內外側幾何加寬量控制線。

圖3 過渡曲線等分Fig.3 Contour map of a transition curve

以 B型車為例求解緩和曲線的幾何加寬量，車長19 m，定距12.6 m，轉向架軸距2.2 m。由于B型車車長19 m，故車輛完全處于緩和曲線的范圍為緩和曲線長度減去前后各一節(jié)車輛的長度。取緩和曲線長度70 m，圓曲線半徑分別取500 m、600 m進行分析，利用MATLAB求出當車輛完全處于緩和曲線中時內外側幾何加寬量，并與《地鐵設計規(guī)范》(GB 50157—2013)介紹的計算方法進行比較，如圖4、5所示。

通過圖4、5分析可知，兩種方法計算出的外側幾何加寬量差值在1～2 mm，內側幾何加寬量相差較小，均在工程允許的誤差范圍內，另外，也相互驗證兩種方法的正確性。

圖4 R=500 m時，緩和曲線內、外側幾何加寬量對比Fig.4 R=500 m， comparison of inside and outside geometric widening in a transition curve

圖5 R=600 m時，緩和曲線內、外側幾何加寬量對比Fig.5 R=600 m， comparison of inside and outside geometric widening in a transition curve

1.3 緩和曲線和直線連接處幾何加寬

當車輛進入緩和曲線，但還未完全離開直線段時，如圖6所示，以B型車為例，緩和曲線取70 m，圓曲線半徑分別取500 m、600 m，利用MATLAB進行分析，并與《地鐵設計規(guī)范》(GB 50157—2013)介紹的計算方法進行比較，如圖7、8所示。

圖6 緩和曲線和直線連接處Fig.6 Connection between a transition curve and a straight-line section

圖7 R=500 m時，直緩連接處內、外側幾何加寬量對比Fig.7 R=500 m， comparison of inside and outside geometric widening in a connection between a transition curve and a straight-line section

圖8 R=600 m時，直緩連接處內、外側幾何加寬量對比Fig.8 R=600 m， comparison of inside and outside geometric widening in a connection between a transition curve and a straight-line section

由于《地鐵設計規(guī)范》中規(guī)定的計算公式，僅針對直緩點后的緩和曲線(圖6中坐標原點即為直緩點)，故分析圖7、8可知，在直緩點附近，兩種方法的外側加寬量相差不大，內側加寬量的擬合性卻有所差別。

之所以造成這種情況，主要是因為直緩點后緩和曲線法線外側極值一般出現在車輛完全駛入緩和曲線中車輛的后端，適用《地鐵設計規(guī)范》中規(guī)定的外側幾何加寬量的計算公式。

對于內側加寬量，直緩點后緩和曲線分兩部分，其中，直緩點后大約一半全軸距的范圍內(B型車7.4 m)，車輛一直橫跨兩種線型，《地鐵設計規(guī)范》中規(guī)定的內側幾何加寬計算公式不適用，剩余部分的法線內側極值出現在車輛完全運行于緩和曲線，故《地鐵設計規(guī)范》中規(guī)定的內側幾何加寬量計算方法與 MATLAB程序的計算結果相差不大。

對于直緩點前的直線部分，由于《地鐵設計規(guī)范》中未規(guī)定其內外側加寬量的計算方法，故可參考本文作圖法和 MATLAB編程相結合的方法進行計算，其變化特性如圖7、8所示。另外，直線段的外側幾何加寬量的加寬起點位于直緩點前一半車長+一半車輛定距+一半轉向架軸距的位置(B型車16.9 m)，直線段的內側幾何加寬量的加寬起點位于直緩點前定距+一半轉向架軸距的位置(B型車13.7 m)。

1.4 緩和曲線和圓曲線連接處幾何加寬

圖9中，以B型車為例，車輛進入圓曲線，但還未完全離開緩和曲線，緩和曲線取70 m，圓曲線半徑分別取500 m、600 m，利用MATLAB進行分析，并與《地鐵設計規(guī)范》介紹的計算方法進行比較，如圖10、11所示。

圖9 緩和曲線和圓曲線連接處Fig.9 Connection between a circular curve and a transition curve

圖10 R=500 m時，緩圓連接處內、外側幾何加寬量對比Fig.10 R=500 m， comparison of inside and outside geometric widening of a connection between a curve and a transition line

圖11 R=600 m時，緩圓連接處內、外側幾何加寬量對比Fig.11 R=600 m， comparison of inside and outside geometric widening in a connection between a circular curve and a transition curve

從圖10、11分析可知，對于外側加寬量，緩圓點之前大約一半車長+一半車輛定距+一半轉向架軸距的位置(B型車16.9 m)，由于緩和曲線法線的外側極值出現在車輛橫跨兩種線型時，而《地鐵設計規(guī)范》中的公式僅針對完全運行在緩和曲線或完全運行在圓曲線時，故均不適用。緩圓點之后，圓曲線法線的外側極值均出現車輛完全運行在圓曲線時，故適用《地鐵設計規(guī)范》中圓曲線外側加寬量的計算方法。

對于內側加寬量，其不適用范圍與直緩點類似，為緩圓點前后一半全軸距的范圍(B型車7.4 m)。

圖12 直線和圓曲線連接處Fig.12 Connection between a circular curve and a straight-line section

圖13 R=400 m時，直圓連接處內、外側幾何加寬量對比Fig.13 R=400 m， comparison of inside and outside geometric widening in a connection between a circular curve and a straight-line section

1.5 直線和圓曲線連接處幾何加寬

圖12 中，以B型車為例，車輛進入圓曲線，但還未完全離開直線，圓曲線取50 m，圓曲線半徑取400 m，利用 MATLAB進行分析，并與《地鐵設計規(guī)范》介紹的計算方法進行比較，如圖13所示。

分析圖13可知，對于曲線外側加寬量，直圓點之后圓曲線部分，曲線法線的外側極值出現在車輛完全進入圓曲線，適用《地鐵設計規(guī)范》介紹的圓曲線外側加寬量計算公式，直圓點之前直線部分，《地鐵設計規(guī)范》未規(guī)定相關的計算公式，可參考本文的MATLAB程序進行計算。且直圓連接處外側加寬的起點為直圓點前一半車長+一半車輛定距+一半轉向架軸距的位置(B型車16.9 m)。

對于曲線內側加寬量，直圓點后圓曲線分兩部分，其中，直緩點后大約一半全軸距的范圍內(B型車7.4 m)，圓曲線法線內側極值出現在車輛橫跨前后兩種線型，《地鐵設計規(guī)范》中規(guī)定的內側幾何加寬計算公式不適用，剩余部分的法線內側極值出現在車輛完全運行于圓曲線，故適用《地鐵設計規(guī)范》中規(guī)定的圓曲線內側幾何加寬量計算公式。直圓點前直線段，《地鐵設計規(guī)范》未規(guī)定相應的計算公式，可采用本文的MATLAB程序進行計算。內側加寬量的起點為直圓點前定距+一半轉向架軸距的位置(B型車13.7 m)。

通過上述分析，對于已知相關參數的緩和曲線均可利用編寫的 MATLAB程序進行求解內外側幾何加寬量，且相對于《地鐵設計規(guī)范》的計算公式效率更高，結果更加精確。其流程如圖14所示。另外，緩和曲線70 m，圓曲線半徑500 m，車型為B型車時，內外側幾何加寬量如圖15所示。

圖14 幾何加寬量計算流程Fig.14 Flow chart of geometric widening calculation

2 軌道超高引起的加寬量

圖15 內、外側幾何加寬量Fig.15 Inside and outside geometric widening

式中，he內、he外為軌道超高引起的曲線內外側加寬量，mm；x為計算點距離緩和曲線起點的距離，m；L為緩和曲線長度，m；R為圓曲線半徑，m；h為圓曲線軌道超高值，mm；h緩為緩和曲線上計算點處的超高值，mm；(Y1，Z1)，(Y2，Z2)為計算曲線內外側加寬量的設備限界控制點坐標，mm。

3 其他因素引起的加寬量

其他因素如欠超高或者過超高引起的加寬量和曲線軌道參數及車輛參數變化引起的加寬量。其中，車站地段取10 mm，區(qū)間地段取30 mm。

4 結語

綜上所示，緩和曲線的限界加寬量由上述3部分組成，其中幾何加寬量在整個加寬量中占主要地位，且其計算過程相對復雜，尤其是直緩和緩圓連接處。因此，筆者通過作圖法及 MATLAB軟件相結合的方法進行分析，編寫適用緩和曲線全區(qū)域的計算程序，求解內外側加寬范圍和內外側加寬量，以供相關設計人員參考運用，簡化計算過程。