謝志剛

摘? ?要：用圖解法求解動(dòng)平衡問(wèn)題直觀、簡(jiǎn)捷，深受師生喜愛(ài)。但是，長(zhǎng)期以來(lái)都存在著這一方法只有在“一個(gè)力的大小和方向不變，第二個(gè)力的方向不變”的條件下才能使用的片面認(rèn)識(shí)。文章通過(guò)理論分析及典型例證的方式說(shuō)明其適用條件為“三個(gè)力的大小和方向中有任意三個(gè)影響因素確定”時(shí)就可以用圖解法，或者“三個(gè)力的大小和方向中能確定的影響因素不夠三個(gè)，但還有其他的已知條件”時(shí)也可用圖解法求解。

關(guān)鍵詞：圖解法;動(dòng)態(tài)平衡;適用條件;影響因素

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? 文章編號(hào)：1003-6148（2019）12-0058-3

求解平衡問(wèn)題的方法很多，其中圖解法是一種直觀、簡(jiǎn)捷的方法，在處理動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題時(shí)深受師生喜愛(ài)。但是該方法并不是萬(wàn)能的，只有滿足一定的條件才能應(yīng)用該方法處理問(wèn)題。那么，其適用條件到底是什么呢？下面我們通過(guò)理論分析并結(jié)合一些典型例題的求解來(lái)探究其適用條件。

實(shí)際上許多人都習(xí)慣性地認(rèn)為圖解法的適用條件是：物體受三個(gè)力而處于動(dòng)態(tài)平衡狀態(tài)時(shí)，其中有一個(gè)力的大小和方向不變，第二個(gè)力的方向不變。比如，下面這個(gè)例題的求解：

例1 一物體放于水平面上，物體與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，物體的質(zhì)量為m，現(xiàn)對(duì)物體加一斜向上的拉力，該力與水平面的夾角為多大才能使物體在水平面上勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)拉力最小，該最小拉力為多少？重力加速度為g。

該題可用解析法通過(guò)函數(shù)求極值解出。雖然受四個(gè)力而處于平衡狀態(tài)，但也可以將圖1中的地面支持力與滑動(dòng)摩擦力合并成一個(gè)力R，畫(huà)出R、F、G這三個(gè)力所構(gòu)成的封閉矢量三角形，由于tanα=■=■=μ，可見(jiàn)力R的方向與豎直方向的夾角α始終不變，這樣就滿足了上面所說(shuō)的條件，其動(dòng)態(tài)圖如圖2所示。很容易看出：當(dāng)F⊥R時(shí)F有最小值，即θ=α=arctanμ時(shí)Fmin=mgsinα=■。

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圖1? 物體受力圖? ? ? ? ? ?圖2? 受力的矢量三角形

由這個(gè)例題可以看出，上面所說(shuō)的條件滿足時(shí)是一定能用圖解法求解的，那么當(dāng)上面的條件不滿足時(shí)就一定不能使用圖解法了嗎？下面我們?cè)敿?xì)分析。

在處于動(dòng)態(tài)平衡的三個(gè)力中，如將每個(gè)力的大小和方向分別作為一個(gè)影響因素，則共有六個(gè)影響因素，由前面的條件可知，“一個(gè)力的大小和方向不變，第二個(gè)力的方向不變”，說(shuō)明有三個(gè)影響因素確定，那么，是否只要其中的任意三個(gè)影響因素確定就可以用圖解法求解動(dòng)平衡問(wèn)題呢？下面我們從還可能存在的這五種情況分別分析。

（1）當(dāng)三個(gè)力的大小確定時(shí)

當(dāng)三個(gè)力的大小確定時(shí)，則矢量三角形的每個(gè)邊長(zhǎng)就確定。由余弦定理可知，每個(gè)內(nèi)角也是確定的。當(dāng)一個(gè)力的方向發(fā)生變化時(shí)，其他力的方向也隨之發(fā)生相同的變化。用圖解法時(shí)，只需畫(huà)出矢量三角形，相當(dāng)于整體一起轉(zhuǎn)動(dòng)。因太簡(jiǎn)單，不再舉例說(shuō)明。

（2）當(dāng)三個(gè)力的方向確定時(shí)

當(dāng)矢量三角形的三個(gè)邊的方向確定時(shí)，如果某個(gè)力的大小發(fā)生改變，仍要形成封閉的矢量三角形，又要保證各力的方向不變，即三個(gè)內(nèi)角大小不變。由正弦定理知，其他邊所代表的力的大小也發(fā)生相應(yīng)的變化，相當(dāng)于整體放大或縮小。

例如，如圖3所示的三根繩在結(jié)點(diǎn)O處聯(lián)結(jié)，用力拉直使O點(diǎn)處于靜止?fàn)顟B(tài)，當(dāng)拉力F1方向不變大小增大時(shí)，三個(gè)力的方向保持不變，由動(dòng)態(tài)圖可知：其余兩個(gè)力的大小也相應(yīng)增大。

（3）當(dāng)兩個(gè)力的方向及第三個(gè)力的大小確定時(shí)

為了方便，我們直接以例題的形式進(jìn)行分析和說(shuō)明。

例2 在圖3所示的例題中，保持結(jié)點(diǎn)O的位置不動(dòng)，在上面兩根繩都拉直的情況下（設(shè)兩繩間夾角為鈍角），下面一根繩的拉力F1保持大小不變、方向由F3的反向延長(zhǎng)線逆時(shí)針緩慢轉(zhuǎn)到F2的反向延長(zhǎng)線的過(guò)程中（如圖4所示），F(xiàn)2、 F3的大小怎么變化？

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圖3? 三繩聯(lián)結(jié)情形? ? ? ?圖4? 改變圖3中F1的方向

分析 由于力F1的大小不變，因此我們以結(jié)點(diǎn)O為圓心，以F1的大小為半徑作一個(gè)圓周。當(dāng)其沿F3的反向延長(zhǎng)線方向沿圓周逆時(shí)針緩慢轉(zhuǎn)到F2的反向延長(zhǎng)線方向的過(guò)程中，在保證F2、F3沿圖5所示方向不變的情況下作出封閉的矢量三角形。在任一矢量三角形中（如圖5所示），由于F2、F3的方向不變，故其夾角θ不變，■比值不變。當(dāng)F1的方向變化時(shí)，α、β角發(fā)生相應(yīng)的變化，由正弦定理可以判斷出F2、F3的大小變化情況。其動(dòng)態(tài)圖如圖5所示，在F1方向變化的過(guò)程中，α一直增大、β一直減小，可見(jiàn)F3逐漸減小到零，而F2先增大后減小到與F1等大。顯然這種情況圖解法也可以求解。

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圖5? F1變化到不同位置的矢量三角形

（4）當(dāng)一個(gè)力的大小和方向及第二個(gè)力的大小確定時(shí)

例3 某同學(xué)利用如圖6所示的裝置來(lái)驗(yàn)證力的平行四邊形定則，其中m1、m2已知，重力加速度為g，各接觸面均光滑。當(dāng)彈簧測(cè)力計(jì)的示數(shù)為F時(shí)，結(jié)點(diǎn)O平衡。如果增大彈簧測(cè)力計(jì)的拉力F，當(dāng)系統(tǒng)再次平衡后，OB與豎直方向的夾角如何變化？

分析：FB=F，當(dāng)F增大時(shí)，由平衡條件知，O點(diǎn)將向右上方移動(dòng)，因而AO段繩將逐漸向水平方向靠近，即圖7中FA與豎直方向的夾角增大。因此，我們以m1g這個(gè)力矢量的箭頭為圓心，以大小恒等于m2g的力FA為半徑畫(huà)一個(gè)圓，當(dāng)FA逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)少許時(shí)畫(huà)出其動(dòng)態(tài)圖如圖7所示。由于初始位置不能確定，當(dāng)FA逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)少許時(shí)，F(xiàn)B與豎直方向的夾角可能增大，可能減小，也可能不變。可見(jiàn)這種情況圖解法仍能求解。

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圖6? 題目示意圖? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖7? 動(dòng)態(tài)圖

（5）當(dāng)兩個(gè)力的大小及第三個(gè)力的方向確定時(shí)

例4 如圖8所示，三根輕繩系在結(jié)點(diǎn)O處，左、右兩根輕繩通過(guò)兩固定的光滑定滑輪O1、O2分別與兩個(gè)質(zhì)量為m1、m2的物塊相連，中間繩子懸掛質(zhì)量為m的物塊而靜止于如圖8所示的位置。此時(shí)結(jié)點(diǎn)O比定滑輪O1高，當(dāng)緩慢增大m的質(zhì)量時(shí)，繩OO2與豎直方向的夾角怎樣變化？

分析：由平衡條件知F1=m1g、F2=m2g，這兩個(gè)力大小不變，作圖時(shí)每個(gè)力都要首尾相連而構(gòu)成封閉的矢量三角形。因此，以這兩個(gè)大小確定的力首尾相連處的點(diǎn)為圓心，以這兩個(gè)力的大小為半徑畫(huà)兩個(gè)圓周，這兩個(gè)圓的圓周上各點(diǎn)就是這兩個(gè)力的箭頭和箭尾的可能位置。再根據(jù)第三個(gè)力的方向F3是豎直向下的，將其畫(huà)在圖中構(gòu)成封閉矢量三角形。初始位置如圖9中Ⅰ所示，隨著m增大即F3的增大，依次經(jīng)歷圖9中Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ位置。由動(dòng)態(tài)圖可知F2與豎直方向的夾角先增大后減小，可見(jiàn)這種情況還是可用圖解法求解。

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圖8? 題目示意圖? ? ? ? ? ? 圖9? 動(dòng)態(tài)圖

由上面的各種情況可知：在三個(gè)力中只要有任意三個(gè)影響因素確定，則一定能通過(guò)圖解法求解動(dòng)平衡問(wèn)題。其他情況，當(dāng)已知的影響因素不夠三個(gè)，但還已知另外的其他條件時(shí)，能否用圖解法呢？我們?cè)賮?lái)看看下面的兩個(gè)例子

例5 如圖10所示，柔軟輕繩ON的一端O固定，其中間某點(diǎn)M拴一重物，用手拉住繩的另一端N，初始時(shí)OM豎直且MN被拉直，OM與MN之間的夾角為α（α>■），現(xiàn)將重物向右上方緩慢拉起，并保持夾角不變，在OM由豎直被拉到水平的過(guò)程中（? ? ? ）

A.MN上的張力逐漸增大

B.MN上的張力先增大后減小

C.OM上的張力逐漸增大

D.OM上的張力先增大后減小

分析：該題中物體受三個(gè)力而處于動(dòng)態(tài)平衡狀態(tài)，可以由正弦定理求解（解法略）。用圖解法能否求解呢？很顯然不滿足上面所說(shuō)的條件，只有一個(gè)力的大小和方向確定，另外兩個(gè)力的大小和方向都不確定?？墒俏覀冏⒁獾筋}中還有一個(gè)已知條件：第二個(gè)力與第三個(gè)力之間的共點(diǎn)夾角α不變，如果將這三個(gè)力也畫(huà)成一個(gè)封閉的矢量三角形，即是這兩個(gè)力的首尾相連夾角θ（θ=π-α，為銳角）也不變。在動(dòng)態(tài)變化圖中，由于θ及其所對(duì)應(yīng)邊的大小、方向都不變，相當(dāng)于一個(gè)圓中的一個(gè)弦（或圓?。┘捌渌鶎?duì)應(yīng)的圓周角不變，故封閉的矢量三角形的三個(gè)頂點(diǎn)就在同一圓周上。由于重力的大小和方向不變，對(duì)應(yīng)圓周上就是一個(gè)固定的弦，它所對(duì)的圓周角就是θ，是不變的。又因?yàn)棣葹殇J角，故重力G這根弦不能過(guò)直徑。畫(huà)出動(dòng)態(tài)圖依次經(jīng)歷如圖11中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ所示位置，可以看出，在F1由豎直緩慢變到水平的過(guò)程中，F(xiàn)1是先增大后減小，F(xiàn)2是一直增大到最大值，故該題應(yīng)選A、D選項(xiàng)。

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圖10? 題目示意圖? ? ? ? ? 圖11? 動(dòng)態(tài)圖

由例5可知，雖然不滿足上面的條件，但還有其他已知條件時(shí)，也能用圖解法求解。

綜上所述，在動(dòng)平衡問(wèn)題中，能使用圖解法的條件并不是“一個(gè)力的大小和方向不變，第二個(gè)力的方向不變”，而應(yīng)當(dāng)是三個(gè)力的大小和方向這六個(gè)影響因素中只要任意確定三個(gè)影響因素時(shí)，一定可用圖解法求解。另外，若已知的影響因素不夠三個(gè)，但還有其他已知條件時(shí)，仍可能用圖解法求解動(dòng)平衡問(wèn)題。同時(shí)，我們也可以看到使用這一方法時(shí)，畫(huà)好矢量三角形和圓周很重要。

參考文獻(xiàn)：

[1]鄧宏偉.較復(fù)雜動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題的解題策略[J].中學(xué)物理，2013，37（10）：65.

（欄目編輯? ? 羅琬華）