宋展添

摘? ?要：文章從試題評析、一題多解、題目溯源、教學啟示等角度去分析高考真題，尋找高考真題對實際教學的指導意義。

關鍵詞：高考試題;試題評析;解法探究;題目溯源

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A ? ? 文章編號：1003-6148（2019）12-0035-4

1? ? 高考試題呈現(xiàn)

（2019年高考全國Ⅰ卷，21題） 在星球M上將一輕彈簧豎直固定在水平桌面上，把物體P輕放在彈簧上端，P由靜止向下運動，物體的加速度a與彈簧的壓縮量x間的關系如圖1中的實線所示。在另一星球N上用完全相同的彈簧，改用物體Q完成同樣的過程，其a-x關系如圖1中的虛線所示，假設兩星球均為質量均勻分布的球體。已知星球M的半徑是星球N的3倍，則（? ? ? ）

A.M與N的密度相等

B.Q的質量是P的3倍

C.Q下落過程中的最大動能是P的4倍

D.Q下落過程中彈簧的最大壓縮量是P的4倍

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圖1? a-x圖

2? ? 試題評析

此題以物體自由下落壓縮彈簧為原始模型，是一個比較復雜的過程。題目涉及到運動情況的變化、受力的變化等，要求學生根據(jù)物理過程的發(fā)生和變化情況進行建模;根據(jù)物理模型、物理條件選擇合適的物理規(guī)律解題。題目給出下落過程中物體的加速度與彈簧壓縮量之間的關系圖像，利用圖像呈現(xiàn)豐富的物理信息，增加了試題信息的廣度?？忌軌驈膱D像中獲取信息，建立不同信息之間的聯(lián)系，才能構建正確的物理圖景?？忌鶕?jù)a-x圖，結合受力分析、萬有引力定律、功能關系、動能定理、牛頓運動定律等綜合分析判斷。這是一道遵循考試大綱，又聚焦主干內容的好題。

此題考查了考生的理解能力、推理能力、應用數(shù)學處理物理問題的能力，既凸顯了物理學科的特點，又強化了考生的關鍵能力。

3? ? 解法探究

3.1? ? A、B選項的解法

（1）解法一：解析法

設彈簧的勁度系數(shù)為k，對物體進行受力分析，如圖2所示。

根據(jù)牛頓第二定律有：a=■

解得a=-■x+g（1）

由（1）式可知，a-x圖的斜率為-■，縱截距為g，結合a-x圖有：mp=■，mQ=■，gM=3a0，gN=a0 。

因此，■=3， ■=6，知B選項錯誤。

在星球表面有：G■=mg

因此，■=■=27

星球體積：V=■πR3

因此，■=■=27

星球密度ρ=■，聯(lián)立可得：■=■=1。因此，A選項正確。

（2）解法二：特殊位置法

設彈簧的勁度系數(shù)為k。根據(jù)a-x圖，當x=0時，物體只受重力，物體的加速度為aP=3a0=gM，aQ=a0=gN。

當a=0時，物體處于平衡狀態(tài)，有：

mPgM=kx0，mQgN=2kx0

聯(lián)立以上式子，得■=6。所以，B選項錯誤。

A選項的解法與解法一相同。

3.2? ? C選項的解法

（1）解法一：動能定理

利用ma-x圖圍成的面積求合外力做的功。

根據(jù)a-x圖，畫出ma-x圖，如圖3所示。

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圖3? ma-x圖

根據(jù)W=FScosθ可知，ma-x圖圍成的面積等于合外力對物體做的功。

合外力對物體做的功：

W■=■×3m■a■×x■=■

W■=■×mQa■×2x■=mQa0x0

當a=0時，物體的動能最大，根據(jù)動能定理，EkP=WP，EkQ=WQ

所以，■=■=■=4，即C選項正確。

（2）解法二：能量守恒

設彈簧的勁度系數(shù)為k。當a=0時，物體的動能最大。

壓縮量從0～x0過程中，P和彈簧組成的系統(tǒng)能量守恒：mPgMx0=EkP+■kx■■

又 mPgM=kx0，因此EkP=■kx■■

壓縮量從0～2x0過程中，Q和彈簧組成的系統(tǒng)能量守恒：2mQgNx0=EkQ+■k（2x0）2

又mQgN=2kx0 ，因此EkQ=2 kx■■，得■=4。因此，C選項正確。

（3）解法三：圖像法

當a=0時，物體的動能最大。

根據(jù)v2=2ax，a-x圖圍成的面積等于■，可得：■=■，■=a■x■

所以，E■=■m■v■■=■

E■=■m■v■■=mQa■x■

即■=■=4。所以，C選項正確。

3.3? ? D選項的解法

（1）解法一：能量守恒

設彈簧的勁度系數(shù)為k。當物體的速度為零時，彈簧達到最大壓縮量。

從開始壓縮到最大壓縮量，P和彈簧組成的系統(tǒng)能量守恒：mPgMxP=■kx■■

又mPgM=kx0，知xp=2x0

從開始壓縮到最大壓縮量，Q和彈簧組成的系統(tǒng)能量守恒：mQgNxQ=■kx■■

又 mQgN=2kx0，得xQ=4x0，即■=2。所以，D選項錯誤。

（2）解法二：動能定理，用平均力求變力做功

彈簧的彈力（F=kx）與位移成線性關系，平均力F=■=■

從開始壓縮到最大壓縮量，彈簧的彈力對物體做的功W=-Fx=-■

根據(jù)動能定理，有mgx+W=0-0。聯(lián)立式子，得x=■

所以，xp=■，xQ=■，得■=■=2。

即D選項錯誤。

（3）解法三：簡諧運動

物體P和Q分別在彈簧上做簡諧運動，在平衡位置（a=0）時的壓縮量即為物體振動的振幅，由a-x圖可知，物體P和Q的振幅分別為x0和2x0。

因此，物體P所在彈簧的最大壓縮量為2x0，物體Q所在彈簧的最大壓縮量為4x0。即物體Q下落過程中彈簧的最大壓縮量是物體P的2倍。所以，D選項錯誤。

4? ? 題源追溯

（人教版教材必修二第80頁課后習題1） 把質量是0.2 kg的小球放在豎立的彈簧上，并把球往下按至A的位置，如圖4甲所示。迅速松手后，彈簧把球彈起，球升至最高位置C（圖丙），途中經(jīng)過位置B時彈簧正好處于自由狀態(tài)（圖乙）。已知B、A的高度差為0.1 m，C、B的高度差為0.2 m，彈簧的質量和空氣阻力均可忽略。

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圖4? 小球壓縮彈簧運動

（1）分別說出由狀態(tài)甲至狀態(tài)乙、由狀態(tài)乙至狀態(tài)丙的能量轉化情況。

（2）狀態(tài)甲中彈簧的彈性勢能是多少？狀態(tài)乙中小球的動能是多少？

（2016年Ⅱ卷第21題） 如圖5，小球套在光滑的豎直桿上，輕彈簧一端固定于O點，另一端與小球相連。現(xiàn)將小球從M點由靜止釋放，它在下降的過程中經(jīng)過了N點。已知M、N兩點處，彈簧對小球的彈力大小相等，且∠ONM<∠OMN<■。在小球從M點運動到N點的過程中（? ? ? ）

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圖5? 題目示意圖

A.彈力對小球先做正功后做負功

B.有兩個時刻小球的加速度等于重力加速度

C.彈簧長度最短時，彈力對小球做功的功率為零

D.小球到達N點時的動能等于其在M、N兩點的重力勢能差

5? ? 教學啟示

5.1? ? 舊模型也能考出“新花樣”，應注重變式訓練

物體下落壓縮彈簧是一個既舊又經(jīng)典的模型，在平時的教學中此類習題也做得相當多。在此題中以舊模型為載體，考出了“新花樣”。它將學生熟悉的情境轉移到了不同的兩個星球上，而且是兩個不同的物體壓縮一樣的彈簧，這一轉變相信會讓很多學生無所適從。筆者認為，此題是選擇題中難度較高的一題，得分情況應該不太理想。

這個情境來源于課本（人教版教材必修二第80頁課后習題1），卻又高于課本，這就提醒我們在教學中要取材于課本，以課本的物理模型為載體，進行變式教學。

5.2? ? 既要注重數(shù)理結合，也要重視數(shù)形結合

回顧物理學的發(fā)展歷史，物理理論和物理規(guī)律的建立、驗證和發(fā)展都離不開數(shù)學?？荚嚧缶V中也明確提出學生要具備應用數(shù)學處理物理問題的能力。在今年全國Ⅰ卷中就有3道數(shù)形結合的題目，所占分值很高。因此，在教學中既要注重數(shù)理結合，也要重視數(shù)形結合，培養(yǎng)學生用幾何圖形、函數(shù)圖像、函數(shù)表達式等數(shù)學工具來解決物理問題的能力。

本題中分析出圖像的斜率、截距、特殊點等代表的物理意義，也是解決此題的突破口。

5.3? ? 重視對變力做功及彈簧彈性勢能表達式的推導過程

彈簧的彈力屬于變力，求解變力做功是一個難點，也是平時教學中容易忽視的點。在人教版必修2的教材中專門有一節(jié)內容介紹彈簧彈性勢能表達式推導的內容，通過推導彈簧的彈力做功來得出彈性勢能的表達式，推導過程中用到了微元法。在實際的教學中，多滲透這種方法，既能提高學生的數(shù)學能力，又能讓學生遇變力而不慌。

參考文獻：

[1]陳顯盈，仇煥敏，尤愛惠.考查圖像物理意義，培養(yǎng)學科核心素養(yǎng)[J].物理教師，2018，39（12）：86-87.

[2]郭雪鵬.學習物理須重視數(shù)學——從2017年高考題談起[J].物理教學探討，2018，36（2）：40-41.

（欄目編輯? ? 陳? 潔）