廣東省華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 何小亞

始于1999年，以《基礎(chǔ)教育課程改革綱要》及三維目標(biāo)為標(biāo)志的第八次數(shù)學(xué)課程改革，到2017年已經(jīng)實(shí)施了19年，這項(xiàng)課程改革盡管已經(jīng)取得了不俗的成就，但仍然還存在著許多問(wèn)題，這就需要進(jìn)一步深化課程改革，要求我們正視問(wèn)題，找準(zhǔn)問(wèn)題，分析問(wèn)題，解決問(wèn)題.那么數(shù)學(xué)教學(xué)還存在什么嚴(yán)重的問(wèn)題? 數(shù)學(xué)教育的未來(lái)路在何方? 什么是數(shù)學(xué)素養(yǎng)、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，二者與數(shù)學(xué)三維目標(biāo)是什么關(guān)系? 如何具體落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)? 科學(xué)且具有實(shí)操性的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)是什么? 下面，運(yùn)用質(zhì)性研究方法來(lái)研究回答這些問(wèn)題.

1.數(shù)學(xué)教學(xué)存在的問(wèn)題

1.1 例題習(xí)題分不清，學(xué)生參與成空談

按照數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)標(biāo)準(zhǔn)，例題要由教師示范講授，而習(xí)題要由學(xué)生自己完成.但如今很多數(shù)學(xué)課上，看不到教師完整的講解例題過(guò)程，而是叫大家先做，然后教師問(wèn)：“會(huì)不會(huì)”，學(xué)生答：“會(huì)!”(中國(guó)的學(xué)生誰(shuí)愿意說(shuō)不會(huì)啊?).于是就對(duì)答案；一旦意識(shí)到一些學(xué)生不會(huì)，老師就叫學(xué)生講，而講的學(xué)生往往因其使用的字母符號(hào)、圖形和大家的不一致，或者是字跡、圖形、聲音不清楚，無(wú)法保證同伴形成清晰的問(wèn)題空間.沒(méi)有清晰的問(wèn)題空間，何來(lái)思維的同步共鳴? 學(xué)生參與數(shù)學(xué)思維名存實(shí)亡.而且學(xué)生往往只是講了綜合法形式，并沒(méi)有講出他或她是如何由因?qū)Ч绾螆?zhí)果索因，如何上下緊逼、前后夾攻而思路貫通——找到了問(wèn)題的初始狀態(tài)和目標(biāo)狀態(tài)的邏輯聯(lián)系[1]，沒(méi)有數(shù)學(xué)解題和數(shù)學(xué)證明的思路探索過(guò)程的示范展示，怎么可能做到真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平?

而布置學(xué)生做習(xí)題時(shí)，老師又不完全放手，像保姆一樣喋喋不休地公開啟發(fā)提示，到底是老師做還是學(xué)生做? 剝奪了學(xué)生解題思路探索的機(jī)會(huì)，怎么能提高學(xué)生的問(wèn)題解決能力?

聽了不少普通中學(xué)、重點(diǎn)中學(xué)的數(shù)學(xué)課，我們發(fā)現(xiàn)，無(wú)論是正常上課還是大型的同課異構(gòu)課，學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)思維的大概也就四分之一.如此低的參與度怎么能保證數(shù)學(xué)教學(xué)的效果? 學(xué)生參與度較低的主要原因是學(xué)生分層的缺失、教學(xué)設(shè)計(jì)的不專業(yè)、吸引和激勵(lì)學(xué)生玩數(shù)學(xué)的手段之匱乏.

如果要想真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平和問(wèn)題解決能力，必須恢復(fù)例題、習(xí)題的本來(lái)功能.例題就是要由老師來(lái)完整地示范講解，不能再低效地半做半講，學(xué)生代替老師講.你叫學(xué)生做例題，那例題就不是例題了，應(yīng)該選擇另外的問(wèn)題作為例題.而學(xué)生在做練習(xí)時(shí)，教師要公開閉嘴! 要想大面積提高學(xué)生的成績(jī)，數(shù)學(xué)教學(xué)必須實(shí)施分層教學(xué)!

1.2 方法先行失創(chuàng)新，問(wèn)題解決難實(shí)行

某重點(diǎn)大學(xué)畢業(yè)了十多年的教師，在一節(jié)立體幾何復(fù)習(xí)課中，講線面平行的證明，是按照其發(fā)給學(xué)生的學(xué)案結(jié)構(gòu)順序進(jìn)行的：

類型一 線面平行的證明(中位線法，平行四邊形法，面面平行法)

(1)方法一：中位線法 例1、變式1、變式2；

(2)方法二：平行四邊形法 例2、變式1、變式2；

(3)方法三：面面平行法 例3、變式1、變式2.

某重點(diǎn)中學(xué)的教師講數(shù)列通項(xiàng)與求和時(shí)，其板書的順序是：

一、求通項(xiàng) 1.公式法——例1； 2.累加法——例2； 3.累乘法——例3；4.倒數(shù)法——例4；5.待定系數(shù)法——例5.

盡管以上兩位老師的內(nèi)容不同，但他們教學(xué)生解題的方式完全一樣，那就是總結(jié)專題類型，方法先行，例題跟上，也就是用習(xí)題來(lái)說(shuō)明方法，為方法而解題.在解題之前，學(xué)生就知道此題用此法，彼題用彼法，還有什么思維訓(xùn)練價(jià)值? 中考、高考時(shí)可沒(méi)有人來(lái)提醒你，此題用A 法，彼題用B 法來(lái)解答.方法先行的解題教學(xué)的后果是，學(xué)生只會(huì)重復(fù)一個(gè)解題反應(yīng)，沒(méi)有學(xué)會(huì)獨(dú)立去創(chuàng)造一個(gè)反應(yīng)——問(wèn)題解決! 為什么平時(shí)的校際聯(lián)考、地區(qū)性考試，甚至一些模擬考，學(xué)生成績(jī)還不錯(cuò)，但一到真正的高考(指的是以問(wèn)題解決為價(jià)值取向的高考)學(xué)生的成績(jī)就不行了? 因?yàn)榉椒ㄏ刃械慕忸}教學(xué)難以教會(huì)學(xué)生解決真正的問(wèn)題(Problem：老師沒(méi)講過(guò)，自己也沒(méi)有練過(guò)，沒(méi)有現(xiàn)成模式和算法可套的問(wèn)題)[2]P201-240.筆者相信，張奠宙先生的在天之靈絕對(duì)反對(duì)這樣的變式教學(xué)!

1.3 標(biāo)準(zhǔn)缺失生亂象，數(shù)學(xué)本質(zhì)未揭示

許多教師，包括名校出身的、教了幾十年的教師，在教數(shù)學(xué)概念和原理時(shí)，由于缺少數(shù)學(xué)概念、原理的專業(yè)標(biāo)準(zhǔn)的支持，不知道，數(shù)學(xué)概念教學(xué)的本質(zhì)? 數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的幾種水平? 數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)的本質(zhì)? 數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)的幾種水平? 數(shù)學(xué)教學(xué)到底要教什么? 無(wú)法幫助學(xué)生建構(gòu)起良好的概念圖式和原理圖式[3]P40-71.例如，為什么要學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)? 理解對(duì)數(shù)要理解什么? 為什么要學(xué)習(xí)等差數(shù)列、等比數(shù)列? 為什么要講基本初等函數(shù)? 為什么要求曲線的方程? 求曲線的方程本質(zhì)上是求什么? 由于缺少問(wèn)題解決教學(xué)理論的指導(dǎo)，講數(shù)學(xué)題就是講答案，講算法(一做什么，二做什么，三做什么)，沒(méi)有講出怎么想出來(lái)的.有具體的解法，但沒(méi)有思路探索的揭示，更沒(méi)有數(shù)學(xué)思想.

數(shù)學(xué)教學(xué)低效的直接原因是，很多教師在上課時(shí)并不清楚這節(jié)課到底要學(xué)生學(xué)會(huì)什么，于是在快下課小結(jié)時(shí)問(wèn)一些無(wú)效的問(wèn)題：懂了沒(méi)有? 會(huì)不會(huì)? 大家要急著出去玩耍、上廁所、約會(huì)，誰(shuí)會(huì)說(shuō)不懂! 誰(shuí)敢說(shuō)不會(huì)! 一說(shuō)不會(huì)，老師會(huì)追問(wèn)：“哪里不會(huì)? 這么簡(jiǎn)單，別人會(huì)你怎么不會(huì)? ”(潛臺(tái)詞是：笨蛋! 弱智! 不努力!)于是教師聽到的是大聲整齊的回答：“會(huì)了! 懂了! ”于是大家都十分開心地閃了.假設(shè)有人問(wèn)這位老師：“什么叫會(huì)? 什么叫懂? ”這位先生十有八九是糊涂的、非專業(yè)的，因?yàn)樗⒉磺宄?shù)學(xué)教學(xué)除了教知識(shí)與技能之外，還有什么高大上的追求?

和其它學(xué)科相比，數(shù)學(xué)是最不受歡迎的學(xué)科，也是傷害眾多網(wǎng)友的學(xué)科[4].過(guò)程與方法目標(biāo)，尤其是情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)的缺失是導(dǎo)致“大眾不喜歡數(shù)學(xué)”這一現(xiàn)象最直接的原因.

產(chǎn)生以上亂象的根本原因是，數(shù)學(xué)教師在備課時(shí)缺少專業(yè)標(biāo)準(zhǔn)的指引.

1.4 不良觀點(diǎn)引誤解，數(shù)學(xué)素養(yǎng)難實(shí)現(xiàn)

盡管數(shù)學(xué)課程改革已經(jīng)實(shí)施了十幾年，但許多教師，包括專業(yè)的數(shù)學(xué)教育研究者，仍未能明確數(shù)學(xué)三維目標(biāo)的內(nèi)涵和外延.

許多一線教師都在抱怨，三維目標(biāo)還沒(méi)搞明白，怎么又出來(lái)“核心素養(yǎng)目標(biāo)”呢? 華東師范大學(xué)的崔允漷教授認(rèn)為“三維目標(biāo)”本身就比較難理解，尤其是“過(guò)程與方法”的目標(biāo).由于看不清“過(guò)程與方法”目標(biāo)的內(nèi)涵和外延，他認(rèn)為三維目標(biāo)是較低的2.0 版本，核心素養(yǎng)目標(biāo)是較高的3.0 版本[5].三維目標(biāo)真的過(guò)時(shí)了嗎? 事實(shí)上，三維目標(biāo)本身體現(xiàn)的恰恰就是核心素養(yǎng)的要求，我們不能因自己不知道、不理解而對(duì)其持否定的態(tài)度.

其實(shí)，核心素養(yǎng)的定義和特點(diǎn)表明，以核心素養(yǎng)為標(biāo)志的第九次數(shù)學(xué)課程改革不是革命性的，課堂教學(xué)改革更不是革命性的(革命是要否定，要推翻，要打倒重來(lái)的! )，而是對(duì)第八次數(shù)學(xué)課程改革的傳承，是補(bǔ)齊沒(méi)有落實(shí)好過(guò)程與方法、情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)這一短板的深化改革，這也是中央文件《關(guān)于深化教育體制機(jī)制改革的意見(jiàn)》的精神.

不少數(shù)學(xué)教育專家、教研員在各種場(chǎng)合說(shuō)：“三維目標(biāo)是課程目標(biāo)，不是課堂教學(xué)目標(biāo)，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)中沒(méi)必要都寫三維目標(biāo)”；“情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)要靠過(guò)程教學(xué)來(lái)完成，過(guò)程性目標(biāo)里就有情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)，怎么能分開來(lái)寫? ”試問(wèn)：沒(méi)有每一節(jié)課的過(guò)程與方法、情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)的具體化設(shè)計(jì)、追求，何來(lái)總體課程的過(guò)程與方法、情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)? 認(rèn)為不能把過(guò)程性目標(biāo)和情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)分開來(lái)寫的原因是他們自身并沒(méi)有明確數(shù)學(xué)三維目標(biāo)的內(nèi)涵和外延.

在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)目標(biāo)時(shí)，眾多的數(shù)學(xué)教育雜志上的優(yōu)秀教案，不少國(guó)家級(jí)、省級(jí)的獲獎(jiǎng)教案，都出現(xiàn)了這樣一些硬傷：目標(biāo)內(nèi)涵不清楚、目標(biāo)串位、目標(biāo)層次要求不清楚，目標(biāo)只是一個(gè)擺設(shè)，空洞無(wú)物，與內(nèi)容不協(xié)調(diào)，與學(xué)生實(shí)際不符.請(qǐng)看某初中教師設(shè)計(jì)的《平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的使用》這節(jié)課很不專業(yè)的教學(xué)目標(biāo)：

知識(shí)與技能：讓學(xué)生接觸并解決一些社會(huì)生活中問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，重視和提高學(xué)生的理解水平.

過(guò)程與方法：根據(jù)不同的問(wèn)題情景，選擇合理的統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行分析決斷，在問(wèn)題解決過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力；

情感、態(tài)度與價(jià)值觀：提供適當(dāng)?shù)膯?wèn)題情景，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣，在合作學(xué)習(xí)中，學(xué)會(huì)交流，相互評(píng)價(jià)，提高學(xué)生的合作意識(shí)與能力.

再比如，某個(gè)獲得省級(jí)教學(xué)大賽特等獎(jiǎng)后再獲得某學(xué)會(huì)全國(guó)青年教師優(yōu)質(zhì)課比賽一等獎(jiǎng)的說(shuō)課教案《回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用》的教學(xué)目標(biāo)也出現(xiàn)了前述的一些問(wèn)題[6]P263-275.

2.數(shù)學(xué)教育的未來(lái)之路

數(shù)學(xué)教育的未來(lái)之路必然是以追求理解、追求探究、追求問(wèn)題解決為價(jià)值取向，最終實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的達(dá)成，并促進(jìn)學(xué)生的核心素養(yǎng)發(fā)展.問(wèn)題是很多數(shù)學(xué)教師不清楚：數(shù)學(xué)是什么? 什么是理解? 什么是問(wèn)題? 什么是問(wèn)題解決? 什么是數(shù)學(xué)素養(yǎng)、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，二者與數(shù)學(xué)三維目標(biāo)是什么關(guān)系?數(shù)學(xué)三維目標(biāo)的內(nèi)涵、外延是什么? 什么是學(xué)生發(fā)展的核心素養(yǎng)?

2.1 發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)

改革開放40年，中國(guó)取得了舉世矚目的成就.經(jīng)濟(jì)學(xué)家測(cè)算，再過(guò)15年左右，中國(guó)的經(jīng)濟(jì)總量可以達(dá)到全球第一.要實(shí)現(xiàn)中國(guó)夢(mèng)，僅有經(jīng)濟(jì)第一還不行，還要有地球村民認(rèn)同的文化軟實(shí)力.為此，2012年11月，習(xí)近平主席提出具有全球視野的普世價(jià)值觀——社會(huì)主義核心價(jià)值觀(富強(qiáng)、民主、文明、和諧，自由、平等、公正、法治，愛(ài)國(guó)、敬業(yè)、誠(chéng)信、友善).2017年9月24日，國(guó)務(wù)院針對(duì)文化軟實(shí)力發(fā)展的需要和第八次課程改革存在的問(wèn)題，頒布了《關(guān)于深化教育體制機(jī)制改革的意見(jiàn)》的中央文件，由此掀起了以核心素養(yǎng)為標(biāo)志的第九次課程改革.為此，教育部曾于2013年委托北京師范大學(xué)和華南師范大學(xué)等五所高校研究學(xué)生發(fā)展的核心素養(yǎng)，最終于2016年9月13日正式發(fā)布了《中國(guó)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)》總體框架.

這一框架以科學(xué)性、時(shí)代性和民族性為基本原則，以培養(yǎng)“全面發(fā)展的人”為核心，分為文化基礎(chǔ)、自主發(fā)展、社會(huì)參與三大領(lǐng)域，綜合表現(xiàn)為人文底蘊(yùn)；科學(xué)精神；學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)；健康生活；責(zé)任擔(dān)當(dāng)；實(shí)踐創(chuàng)新六大素養(yǎng)，每一個(gè)素養(yǎng)又依次具體細(xì)化為三個(gè)要點(diǎn)，一共十八個(gè)基本要點(diǎn)：人文積淀、人文情懷、審美情趣； 理性思維、批判質(zhì)疑、勇于探究； 樂(lè)于善學(xué)、勤于反思、信息意識(shí)；珍愛(ài)生命、健全人格、自我管理；社會(huì)責(zé)任、國(guó)家認(rèn)同、國(guó)際理解；勞動(dòng)意識(shí)、問(wèn)題解決和技術(shù)運(yùn)用.

核心素養(yǎng)是學(xué)生在接受相應(yīng)學(xué)段的教育過(guò)程中，逐步形成的適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力.其基本特點(diǎn)是：①核心素養(yǎng)是所有學(xué)生應(yīng)具有的最關(guān)鍵、最必要的基礎(chǔ)素養(yǎng)； ②核心素養(yǎng)是知識(shí)、能力和態(tài)度等的綜合表現(xiàn)； ③核心素養(yǎng)可以通過(guò)接受教育來(lái)形成和發(fā)展；④核心素養(yǎng)具有發(fā)展連續(xù)性和階段性； ⑤核心素養(yǎng)兼具個(gè)人價(jià)值和社會(huì)價(jià)值； ⑥學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)是一個(gè)體系，其作用具有整合性.[7]

2.2 提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)[8]

數(shù)學(xué)素養(yǎng)是一種十分重要的學(xué)生發(fā)展的核心素養(yǎng).在全球10 個(gè)發(fā)達(dá)國(guó)家，3 個(gè)先進(jìn)組織，2 個(gè)發(fā)達(dá)地區(qū)的核心素養(yǎng)框架中，有13 個(gè)將“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”列為學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)的一級(jí)指標(biāo).

數(shù)學(xué)素養(yǎng)是滿足學(xué)生自身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展所必備的數(shù)學(xué)方面的品格和能力，是數(shù)學(xué)的知識(shí)、能力和情感態(tài)度價(jià)值觀的綜合體現(xiàn).數(shù)學(xué)素養(yǎng)的構(gòu)成要素為：數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)意識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)情感態(tài)度價(jià)值觀.按照學(xué)生獲得的先后順序和難易程度，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的表現(xiàn)水平可以由低到高分成三個(gè)層次：數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)過(guò)程與方法和數(shù)學(xué)情感態(tài)度價(jià)值觀.

當(dāng)前，數(shù)學(xué)教學(xué)低效的主要原因是教師不知道理解數(shù)學(xué)要理解什么? 也不清楚到底要教會(huì)學(xué)生什么? 因此，要提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，首先就要提高教師的數(shù)學(xué)素養(yǎng).于是，數(shù)學(xué)教師培訓(xùn)必須解決的核心問(wèn)題是：如何幫助教師深刻認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)和欣賞數(shù)學(xué)? 如何提高教師對(duì)數(shù)學(xué)具體內(nèi)容的理解水平?如何由低效的應(yīng)試刷題教學(xué)轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)問(wèn)題解決教學(xué)?

2.3 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的細(xì)分

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)則是一些重要的、關(guān)鍵的數(shù)學(xué)能力.2018年1月16日公布的普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)中給出的高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、運(yùn)算能力、直觀想象、數(shù)據(jù)分析.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)給出了十個(gè)關(guān)鍵詞，也就是小學(xué)初中的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析能力、運(yùn)算能力、推理能力、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)、模型思想.當(dāng)前，最迫切需要解決的問(wèn)題是，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何科學(xué)、具體地落實(shí)這些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?

首先，考慮到數(shù)學(xué)抽象的研究對(duì)象有兩類，一是真實(shí)世界，二是數(shù)學(xué)世界.另外，數(shù)學(xué)抽象的內(nèi)容主要有三類：一是問(wèn)題，二是數(shù)學(xué)概念，三是數(shù)學(xué)原理.于是數(shù)學(xué)抽象的內(nèi)容就可以細(xì)分為兩類六種：一是在真實(shí)世界中利用理想化和數(shù)學(xué)表示提出數(shù)學(xué)問(wèn)題、數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)原理，這個(gè)叫水平數(shù)學(xué)化(horizontal mathematization).數(shù)學(xué)建模是一種很重要的水平數(shù)學(xué)化，可以將其單列出來(lái)討論；二是在數(shù)學(xué)世界中提出更高級(jí)的數(shù)學(xué)問(wèn)題、數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)原理，這個(gè)叫垂直數(shù)學(xué)化(vertical mathematization).

其次，標(biāo)準(zhǔn)中所說(shuō)的邏輯推理的內(nèi)容實(shí)質(zhì)上包括了演繹推理與部分合情推理的內(nèi)容.

第三，直觀想象這一條核心素養(yǎng)中的“直觀”屬于數(shù)學(xué)思想.直觀只是化歸的手段之一，它只解決了代數(shù)與幾何的聯(lián)系問(wèn)題.其實(shí)化歸是比直觀更普遍、更重要的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).無(wú)論是初等代數(shù)還是高等代數(shù)，處理方程問(wèn)題時(shí)，都是在把多元問(wèn)題化歸為少元問(wèn)題，最終少到一元；把高次問(wèn)題化歸為低次問(wèn)題，最終低到一次.立體幾何中也是將空間問(wèn)題化歸為平面問(wèn)題，平面問(wèn)題化歸為數(shù)軸問(wèn)題.而想象則屬于合情推理，它是一種重要的合情推理形式.

基于以上三點(diǎn)考慮，結(jié)合文[9]的研究結(jié)論，可以將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)細(xì)分調(diào)整為：數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)意識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)情感態(tài)度價(jià)值觀.

數(shù)學(xué)化是從現(xiàn)實(shí)世界到數(shù)學(xué)世界或者由低層數(shù)學(xué)到高層數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化過(guò)程.它主要包括：形式化：用簡(jiǎn)潔有效的符號(hào)來(lái)表示心里產(chǎn)生的數(shù)學(xué)問(wèn)題、概念、原理和結(jié)構(gòu)模式的過(guò)程，它可以分為水平數(shù)學(xué)化(在真實(shí)世界中利用理想化和數(shù)學(xué)表示提出數(shù)學(xué)問(wèn)題、數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)原理)和垂直數(shù)學(xué)化(在數(shù)學(xué)世界中提出更高級(jí)的數(shù)學(xué)問(wèn)題、數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)原理).

圖式化：是對(duì)形式的數(shù)學(xué)本質(zhì)內(nèi)容的內(nèi)化過(guò)程，是對(duì)數(shù)學(xué)概念、原理、模式的理解過(guò)程.

數(shù)學(xué)建模：就是運(yùn)用理想化和數(shù)學(xué)表示的手段從實(shí)際問(wèn)題中概括提煉出一個(gè)數(shù)學(xué)模型，求出模型的解，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇?，從而使這一實(shí)際問(wèn)題得以解決的過(guò)程.

數(shù)學(xué)運(yùn)算是指，根據(jù)算理和算法對(duì)數(shù)與式進(jìn)行的運(yùn)算.它要求運(yùn)算要正確、迅速、合理，并對(duì)運(yùn)算結(jié)果的正確性進(jìn)行判斷、驗(yàn)算.它包括：數(shù)值計(jì)算、代數(shù)運(yùn)算.

數(shù)學(xué)推理是指，由一個(gè)或幾個(gè)已知判斷得出一個(gè)新的數(shù)學(xué)判斷的思維形式.它包括：

演繹推理(deductive reasoning中國(guó)學(xué)界習(xí)慣稱之為邏輯推理)：從已有的事實(shí)和確定的規(guī)則出發(fā)，按照邏輯推理規(guī)則進(jìn)行的推理，它是一種必然性推理.

合情推理(plausible reasoning)：從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)，通過(guò)不完全歸納、類比和想象等方式來(lái)推斷某些結(jié)果的推理，它是一種或然性推理.

數(shù)學(xué)意識(shí)是個(gè)體在思考問(wèn)題時(shí)在數(shù)學(xué)方面的自覺(jué)意識(shí)或思維習(xí)慣，是用數(shù)學(xué)的眼光看世界的具體內(nèi)容，它包括：

數(shù)的意識(shí)：對(duì)數(shù)的意義的理解；數(shù)的表示；數(shù)的大小的相對(duì)性；用數(shù)進(jìn)行交流；算法的選擇；數(shù)值的估算與解釋.

符號(hào)意識(shí)：能夠理解并且運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；知道使用符號(hào)可以進(jìn)行運(yùn)算和推理，所得到的結(jié)論具有一般性，能用符號(hào)進(jìn)行交流.

空間觀念：指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化；依據(jù)語(yǔ)言的描述畫出圖形，圖形的分解與組合，等等.

數(shù)據(jù)分析意識(shí)：意識(shí)到數(shù)據(jù)中隱藏著重要信息；有收集數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、用數(shù)據(jù)說(shuō)理的習(xí)慣；意識(shí)到數(shù)據(jù)分析方法的多樣性與合理性；通過(guò)數(shù)據(jù)分析體驗(yàn)隨機(jī)性.

應(yīng)用意識(shí)：一是有意識(shí)利用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象，解決現(xiàn)實(shí)世界中的問(wèn)題；二是認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)涵著大量與數(shù)量和圖形有關(guān)的問(wèn)題，這些問(wèn)題可以抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的方法予以解決.

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的統(tǒng)一，它既包括觀念層面的數(shù)學(xué)思想(一種數(shù)學(xué)觀念，它是貫穿于一類數(shù)學(xué)方法中的普遍的方法原則、策略和規(guī)律)又包括操作層面的數(shù)學(xué)方法.比如數(shù)形結(jié)合思想、公理化思想、化歸思想、模型化思想、統(tǒng)計(jì)思想、隨機(jī)思想、微積分思想，等等.

數(shù)學(xué)情感態(tài)度價(jià)值觀是指，個(gè)體對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科、數(shù)學(xué)活動(dòng)、數(shù)學(xué)對(duì)象的喜好、立場(chǎng)觀念等心理傾向.它包括：對(duì)數(shù)學(xué)的自信心，對(duì)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值和文化價(jià)值的認(rèn)識(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)的獨(dú)特之美的感受，等等.

3.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)[3]P20-24

3.1 數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的理念

數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)是教師根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和課程培養(yǎng)目標(biāo)，來(lái)制定具體教學(xué)目標(biāo)，選擇教學(xué)內(nèi)容，設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程各個(gè)環(huán)節(jié)的過(guò)程.主要解決以下三大問(wèn)題：要達(dá)到什么目標(biāo)? 如何實(shí)現(xiàn)目標(biāo)? 設(shè)計(jì)效果如何? 其設(shè)計(jì)理念是：

3.1.1 提高教學(xué)效率

數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)最基本、最重要的理念是提高教學(xué)效率.教學(xué)效率的高低主要體現(xiàn)在：是否激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī)，尤其是內(nèi)在動(dòng)機(jī)；是否促進(jìn)了學(xué)生的學(xué)習(xí)；是否落實(shí)了教學(xué)目標(biāo)要求.

3.1.2 教是為了不教

“一切為了學(xué)生的發(fā)展”是數(shù)學(xué)新課程的核心理念.學(xué)生是數(shù)學(xué)教學(xué)系統(tǒng)中最重要的一個(gè)要素.數(shù)學(xué)教學(xué)必須以促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)為主要目標(biāo)，體現(xiàn)“以人為本”的先進(jìn)教育理念.現(xiàn)代的數(shù)學(xué)教育十分強(qiáng)調(diào)以問(wèn)題解決教育為價(jià)值取向，這就要求數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)必須以提高學(xué)生的問(wèn)題解決能力為重要目標(biāo)，使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)獨(dú)立學(xué)習(xí)，從而實(shí)現(xiàn)“教是為了不教”的最終目標(biāo).

3.1.3 追求數(shù)學(xué)素養(yǎng)的達(dá)成

新課程提出，要改變課程過(guò)于注重知識(shí)傳授的傾向，強(qiáng)調(diào)形成積極主動(dòng)的學(xué)習(xí)態(tài)度，使獲得基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能的過(guò)程同時(shí)成為學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)和形成正確價(jià)值觀的過(guò)程.在培養(yǎng)目標(biāo)上強(qiáng)調(diào)知識(shí)與技能，過(guò)程與方法，情感態(tài)度與價(jià)值觀三維目標(biāo)的整合.最終實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的達(dá)成和促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展的目標(biāo).

因此，數(shù)學(xué)教學(xué)已不再僅僅以“知能(Literacy：讀、寫、算)”為目的，而是更加關(guān)注知識(shí)技能的形成過(guò)程和學(xué)習(xí)方式的多樣化.讓學(xué)生在多樣化的數(shù)學(xué)活動(dòng)中感受、體驗(yàn)數(shù)學(xué)的探索與創(chuàng)造，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)有好的理解，形成良好的情感態(tài)度價(jià)值觀.

3.2 知識(shí)與技能

這一維度指的是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能.其內(nèi)容主要包括三類：一類是數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)原理(即數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)、公式、法則)、基本的數(shù)學(xué)事實(shí)結(jié)論這樣一些用于回答“是什么”問(wèn)題的陳述性知識(shí)，它屬于言語(yǔ)信息；第二類是涉及到數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)原理、基本的數(shù)學(xué)事實(shí)結(jié)論的運(yùn)用，用于回答“做什么”的問(wèn)題的程序性知識(shí)，它屬于認(rèn)知技能；第三類是數(shù)學(xué)操作性技能，它屬于動(dòng)作技能.

知識(shí)與技能目標(biāo)的要求可以分成以下四個(gè)層次：

了解：能回憶出知識(shí)的言語(yǔ)信息；能辨認(rèn)出知識(shí)的常見(jiàn)例證；會(huì)舉例說(shuō)明知識(shí)的相關(guān)屬性.

理解：能把握知識(shí)的本質(zhì)屬性；能與相關(guān)知識(shí)建立聯(lián)系；能區(qū)別知識(shí)的例證與反例.

掌握：在理解的基礎(chǔ)上，能直接把知識(shí)運(yùn)用于新的情境.

綜合運(yùn)用：能綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題.

“了解”(同義語(yǔ)：知道、認(rèn)識(shí)、辨認(rèn))、“理解”、“掌握”都是針對(duì)某一具體的數(shù)學(xué)知識(shí)而言的.“綜合運(yùn)用”則強(qiáng)調(diào)綜合運(yùn)用各種知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題.而這里所說(shuō)的“問(wèn)題”則包括純數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題，以及介于這兩者之間的應(yīng)用題(部分理想化了的實(shí)際問(wèn)題).需要強(qiáng)調(diào)的是，“掌握”是以理解為前提的單個(gè)知識(shí)的運(yùn)用水平.那種會(huì)套用而不理解的水平不屬于“掌握”水平.

由于綜合運(yùn)用的難度主要取決于知識(shí)點(diǎn)的數(shù)量與由已知通向答案的步驟的數(shù)量，以及思路步驟間的跨度大小，因此，綜合運(yùn)用層次還可以據(jù)此細(xì)分.

我們?cè)趯懼R(shí)與技能目標(biāo)時(shí)，可以根據(jù)其知識(shí)與技能的內(nèi)容和層次要求來(lái)寫.比如說(shuō)，“了解什么”“理解什么”“掌握什么”“綜合運(yùn)用什么”.綜合運(yùn)用還可以再寫細(xì)一些，如“使學(xué)生達(dá)到兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)三步驟的綜合運(yùn)用水平.”

了解和理解反映了構(gòu)建知識(shí)意義的水平；掌握與綜合運(yùn)用反映了知識(shí)遷移運(yùn)用的水平.知識(shí)運(yùn)用的水平可以分成正用水平、逆用水平和變形使用水平.如“逆用……定理”、“逆用……公式”、“變形使用……公式”.“會(huì)解”、“會(huì)用”、“解決”這些術(shù)語(yǔ)既指單一知識(shí)點(diǎn)的掌握水平，也指綜合運(yùn)用水平.

3.3 過(guò)程與方法

過(guò)程與方法目標(biāo)的內(nèi)容是：通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，把握數(shù)學(xué)思想方法、形成數(shù)學(xué)能力，改善數(shù)學(xué)思維品質(zhì)(廣闊性、深刻性、靈活性、獨(dú)創(chuàng)性、批判性和嚴(yán)謹(jǐn)性)，發(fā)展數(shù)學(xué)意識(shí)，提高問(wèn)題解決能力(參看文獻(xiàn)[2]P201-241)和積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

標(biāo)準(zhǔn)中所說(shuō)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)就是數(shù)學(xué)能力系統(tǒng)中的一些關(guān)鍵能力，也就是說(shuō)，數(shù)學(xué)能力已經(jīng)包括標(biāo)準(zhǔn)中所說(shuō)的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、運(yùn)算能力、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等能力.

培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)學(xué)眼光”實(shí)際上就是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)，其操作性定義為：數(shù)的意識(shí)、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、數(shù)據(jù)分析意識(shí)、應(yīng)用意識(shí).

基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是指經(jīng)歷一項(xiàng)數(shù)學(xué)基本活動(dòng)后所獲得的意會(huì)知識(shí)(tacit knowledge).“意會(huì)知識(shí)是指不能言傳的、不能系統(tǒng)表述的知識(shí).意會(huì)知識(shí)是鑲嵌于實(shí)踐活動(dòng)之中的，是情境性的和個(gè)體化的，只可意會(huì)，不可言傳.只有通過(guò)親身的活動(dòng)體驗(yàn)才能學(xué)會(huì)和提高.”[2]P140基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是否符合專業(yè)標(biāo)準(zhǔn)，取決于我們?yōu)閷W(xué)生提供了什么樣的活動(dòng).學(xué)生經(jīng)常接吻，就獲得了吻的經(jīng)驗(yàn)；經(jīng)常刷題，就獲得刷題的經(jīng)驗(yàn)；經(jīng)歷問(wèn)題解決的過(guò)程，就獲得了問(wèn)題解決的經(jīng)驗(yàn)；經(jīng)歷了數(shù)學(xué)試算、猜想、探究、發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，就積累了數(shù)學(xué)研究發(fā)現(xiàn)的經(jīng)驗(yàn).

描述過(guò)程與方法目標(biāo)的常見(jiàn)術(shù)語(yǔ)有：經(jīng)歷……過(guò)程、培養(yǎng)……能力、領(lǐng)悟……思想方法、發(fā)展……意識(shí)、學(xué)習(xí)……的問(wèn)題解決方法； 觀察、參與、嘗試； 探索、研究、發(fā)現(xiàn)； 合作、交流、反思.在寫過(guò)程與方法目標(biāo)時(shí)，可以根據(jù)其內(nèi)容和上述術(shù)語(yǔ)來(lái)寫.

3.4 情感態(tài)度與價(jià)值觀

這里的情感是指，在數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程中比較穩(wěn)定的情緒體驗(yàn).數(shù)學(xué)態(tài)度是指，對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)、數(shù)學(xué)對(duì)象的心理傾向或立場(chǎng)，表現(xiàn)出興趣、愛(ài)好、喜歡與否、看法立場(chǎng).數(shù)學(xué)態(tài)度可以演變?yōu)閿?shù)學(xué)信念——對(duì)數(shù)學(xué)持有的較為穩(wěn)定的總體看法、觀念，一旦形成就難以改變.數(shù)學(xué)態(tài)度包括對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的態(tài)度(即數(shù)學(xué)信念)、對(duì)數(shù)學(xué)的興趣、對(duì)數(shù)學(xué)具體內(nèi)容的態(tài)度.這一維度目標(biāo)的內(nèi)容還包括宏觀的價(jià)值觀和數(shù)學(xué)審美觀，如：對(duì)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值和文化價(jià)值的看法；辯證法的觀點(diǎn)；數(shù)學(xué)的精確之美、嚴(yán)謹(jǐn)之美、簡(jiǎn)潔之美、概括之美、統(tǒng)一之美，以及奇異、對(duì)稱、和諧之美.

刻畫情感態(tài)度目標(biāo)的術(shù)語(yǔ)有：感受……、體會(huì)……、領(lǐng)悟……；形成……觀點(diǎn)、養(yǎng)成……習(xí)慣、欣賞……之美.在寫情感與態(tài)度目標(biāo)時(shí)，可以根據(jù)其內(nèi)容和上述術(shù)語(yǔ)來(lái)寫.

3.5 數(shù)學(xué)三維目標(biāo)設(shè)計(jì)的注意事項(xiàng)

3.5.1 知識(shí)與技能目標(biāo)要具體詳細(xì)

對(duì)于概念，不能只空洞地寫理解什么概念，而要寫出理解的具體內(nèi)容.要做到這一點(diǎn)，教師首先要對(duì)概念要有好的理解，即具備此概念的良好圖式.概念圖式的核心內(nèi)容就是主體對(duì)概念的看法.良好的概念圖式要求看法要多，看法要準(zhǔn)確，看法要深刻.例如，字母a的良好圖式是：“看死a，它就是一個(gè)數(shù)； 看活a，它就是一個(gè)變數(shù)，可大，可小，可正，可負(fù)；a和x沒(méi)有什么不同，他倆都表示數(shù)，當(dāng)然，其值可能相同也可能不同；跳出代數(shù)看a，它是某一點(diǎn)的坐標(biāo)，某一線段的長(zhǎng)度，某一圖形的面積，某一幾何體的體積，這些度量的正負(fù)是有意義的，表明了對(duì)象所處的方位； …….”只有良好地理解了字母a，我們才有可能寫出理解a的具體內(nèi)容.

對(duì)于原理，也不能只是寫理解什么原理，而要寫出理解的具體內(nèi)容.理解原理就是要理解原理結(jié)構(gòu)的不變性和概括性(讓人跪拜之屬性!)，理解其表達(dá)形式的可變性、多樣性.

對(duì)于概念、原理的運(yùn)用，需要按照運(yùn)用的層次來(lái)寫.劃分水平層次的標(biāo)準(zhǔn)一是正用、逆用、變用； 二是知識(shí)點(diǎn)的數(shù)量，步驟的數(shù)量，步驟間跨度的大小(這是一個(gè)相對(duì)的指標(biāo)，只能做定性分析.當(dāng)然，我們可以用增加步驟來(lái)解決跨度大的問(wèn)題，實(shí)在增加不了，可以不考慮這一指標(biāo)，但要在難點(diǎn)之處說(shuō)明)；三是學(xué)生水平層次比較接近時(shí)，可考慮完成任務(wù)的人數(shù)比例維度(80%是個(gè)比較合理的要求).

3.5.2 過(guò)程與方法目標(biāo)要抓六方面

傳統(tǒng)教學(xué)是“重操作，輕理解； 重知識(shí)，輕思想； 重結(jié)論，輕過(guò)程”，而數(shù)學(xué)新課程則十分強(qiáng)調(diào)過(guò)程教學(xué).知識(shí)分為明確知識(shí)與意會(huì)知識(shí).知識(shí)與技能目標(biāo)主要解決明確知識(shí)方面的目標(biāo)，而意會(huì)知識(shí)方面的目標(biāo)要通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的過(guò)程來(lái)實(shí)現(xiàn).過(guò)程與方法目標(biāo)反映了過(guò)程教學(xué)的理念.這一目標(biāo)要從數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)意識(shí)、問(wèn)題解決、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)這六個(gè)方面的具體內(nèi)容去考慮書寫，要寫出具體的什么思想，這一思想的內(nèi)容是什么，什么能力，什么樣的思維品質(zhì)內(nèi)容，什么樣的意識(shí)，問(wèn)題解決中的什么內(nèi)容，以及什么過(guò)程.

3.5.3 情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)要抓小放大

情感態(tài)度價(jià)值觀屬于內(nèi)隱的心理結(jié)構(gòu)，不是明確知識(shí)，而是意會(huì)知識(shí)，無(wú)法通過(guò)傳授而直接獲得，必須通過(guò)學(xué)生的過(guò)程學(xué)習(xí)間接獲得.教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，要以知識(shí)技能為基礎(chǔ)，以過(guò)程方法為途徑，在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，形成良好的情感態(tài)度與價(jià)值觀.在設(shè)計(jì)這一目標(biāo)的內(nèi)容時(shí)，著重考慮以下幾個(gè)層次：

一是學(xué)習(xí)的興趣.數(shù)學(xué)教育應(yīng)當(dāng)使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)有一個(gè)比較客觀、正確的認(rèn)識(shí)，愿意接近數(shù)學(xué)、了解數(shù)學(xué)、談?wù)摂?shù)學(xué)，對(duì)數(shù)學(xué)現(xiàn)象保持一定的好奇心.這就要求課堂教學(xué)要從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，注意創(chuàng)設(shè)良好的問(wèn)題情境(水平數(shù)學(xué)化需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)世界的真情境，不要瞎編一些不存在的實(shí)際問(wèn)題；垂直數(shù)學(xué)化需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)世界的情境，沒(méi)必要每節(jié)課都聯(lián)系生產(chǎn)生活實(shí)際)，使學(xué)生對(duì)問(wèn)題或?qū)W習(xí)內(nèi)容產(chǎn)生好奇，產(chǎn)生“我想學(xué)”的興趣.

二是學(xué)生的參與.和其他學(xué)科相比，數(shù)學(xué)是最抽象，最不好玩，最難玩的學(xué)科.因此，數(shù)學(xué)教師要想法使學(xué)生主動(dòng)參與學(xué)習(xí)，學(xué)得快樂(lè)、學(xué)得成功，獲得情感上的滿足.

三是學(xué)生的體驗(yàn).在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，獨(dú)立思考，自主判斷，體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)原理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，體驗(yàn)問(wèn)題解決的過(guò)程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)的探索性和創(chuàng)造性，逐步形成一種對(duì)數(shù)學(xué)、對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的態(tài)度和價(jià)值觀.

四是學(xué)生的主體性.學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中獲得了強(qiáng)烈的主體意識(shí)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、提高自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)成為學(xué)生自身的主體愿望和自覺(jué)行為.

在寫情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)時(shí)，要多寫當(dāng)期的、微觀的具體內(nèi)容的感受、體會(huì)、喜好，少寫遠(yuǎn)期的、宏觀的信念、價(jià)值觀.

例如，關(guān)于平方差公式的教學(xué)設(shè)計(jì)，有位高級(jí)老師將情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)設(shè)計(jì)為：

“敢于面對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)中的困難，并有獨(dú)立克服困難勇氣和運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的成功體驗(yàn)，有學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心；體驗(yàn)數(shù)、符號(hào)和圖形是有效的描述現(xiàn)實(shí)世界的重要手段，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)是解決實(shí)際問(wèn)題和進(jìn)行交流的重要工具，通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比、推斷可以獲得數(shù)學(xué)猜想，體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿著探索性和創(chuàng)造性，感受證明的必要性、證明過(guò)程的嚴(yán)謹(jǐn)性以及結(jié)論的確定性；在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，積極參與對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的討論，敢于發(fā)表自己的觀點(diǎn)，并尊重與理解他人的見(jiàn)解；能從交流中獲益.”

顯然，這樣的目標(biāo)太多，太全，太空，沒(méi)有針對(duì)性和現(xiàn)實(shí)性.文獻(xiàn)[6]中的案例20（“首屆東芝杯中國(guó)師范大學(xué)師范專業(yè)理科大學(xué)生教學(xué)技能創(chuàng)新實(shí)踐大賽”數(shù)學(xué)組一等獎(jiǎng)（冠軍））則將這一目標(biāo)設(shè)為：“糾正片面觀點(diǎn)：‘?dāng)?shù)學(xué)只是一些枯燥的公式、規(guī)定，沒(méi)有什么實(shí)際意義! 學(xué)了數(shù)學(xué)沒(méi)有用! ’體會(huì)數(shù)學(xué)源于實(shí)際，高于實(shí)際，運(yùn)用于實(shí)際的科學(xué)價(jià)值與文化價(jià)值.”與前一目標(biāo)相比，這一目標(biāo)更有針對(duì)性和現(xiàn)實(shí)性，也簡(jiǎn)潔實(shí)用得多.

如何讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)生情呢? 首先，教師自己要對(duì)數(shù)學(xué)生情，并在教學(xué)中公開表達(dá)自己的數(shù)學(xué)之情.只有理解了具體的數(shù)學(xué)概念、原理，才可能對(duì)這些概念、原理生情.沒(méi)有理解就有了傷害! 其次，數(shù)學(xué)教學(xué)要讓學(xué)生與數(shù)學(xué)“談戀愛(ài)”[10]，即：相識(shí)：創(chuàng)設(shè)情境，使其一見(jiàn)鐘情；勾魂：?jiǎn)栴}驅(qū)動(dòng)，使其欲罷不能；解惑：解決問(wèn)題，使其豁然開朗；相知：理解數(shù)學(xué)，使其情意綿綿；動(dòng)情：欣賞數(shù)學(xué)，使其情不自禁.

在此，僅舉一些對(duì)數(shù)學(xué)及其內(nèi)容的情感體驗(yàn)的例子供大家參考：

講直線與圓的位置關(guān)系，必須將“眼見(jiàn)并不為實(shí)! ”貫穿始終，教師要感慨：數(shù)學(xué)好精確哦，可以解決肉眼不能分辨的微觀粒子問(wèn)題.

講到不完全歸納的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，教師贊嘆：數(shù)學(xué)真的好嚴(yán)謹(jǐn)，其邏輯性，尤其是舉反例的思維簡(jiǎn)直是獨(dú)一無(wú)二的.

在短線段上的點(diǎn)與長(zhǎng)線段上的點(diǎn)之間建立一一對(duì)應(yīng)之后，教師要驚嘆：短線段上的點(diǎn)與長(zhǎng)線段上的點(diǎn)竟然一樣多，好神奇噢! 太不可思議了! 以后學(xué)習(xí)研究數(shù)學(xué)真的不能從真實(shí)世界的角度去看數(shù)學(xué)!

數(shù)學(xué)是因?yàn)樽非蠛?jiǎn)單而誕生的.例如，為了簡(jiǎn)化浪費(fèi)時(shí)間、浪費(fèi)人力物力在樹干上刻痕計(jì)數(shù)的工作，人類用0，1-9 這十個(gè)數(shù)字、進(jìn)位制以及小數(shù)點(diǎn)，就可以表示超大的數(shù)，無(wú)限接近0 的數(shù)；加法就是數(shù)數(shù)的簡(jiǎn)化；乘法就是復(fù)雜加法的簡(jiǎn)化，不是新東西.不信請(qǐng)看：請(qǐng)寫出10000 個(gè)2 相加.你要重復(fù)寫10000 個(gè)2，9999 個(gè)加號(hào)，你累不累啊! 浪費(fèi)時(shí)間，浪費(fèi)筆墨紙張，很不環(huán)保! 怎么辦? 簡(jiǎn)化它! 2 就寫一個(gè)，加號(hào)寫一個(gè)，不對(duì)! 那就把它旋轉(zhuǎn)45 度，給她取個(gè)名，叫乘號(hào)，于是，10000 個(gè)2 相加可以簡(jiǎn)化為2×10000，這就是乘法! 哇，乘法太簡(jiǎn)潔了!到了初中，老師如法炮制：乘方不是新運(yùn)算，你們?cè)谛W(xué)早已學(xué)過(guò).乘方就是復(fù)雜乘法的簡(jiǎn)化，不信請(qǐng)看：請(qǐng)寫出10000個(gè)2 相乘.你要重復(fù)寫10000 個(gè)2，9999 個(gè)乘號(hào)，你累不累啊!浪費(fèi)時(shí)間，浪費(fèi)筆墨紙張，很不環(huán)保! 怎么辦? 簡(jiǎn)化呀! 2 就寫一個(gè)，乘號(hào)就懶得寫了，就在2 的右上角寫上10000，于是，10000 個(gè)2 相乘可以簡(jiǎn)化為210000，這就是乘方! 哇塞，乘方太簡(jiǎn)潔了! 有了乘方，知道冪和指數(shù)求底數(shù)就是開方；知道冪和底數(shù)求指數(shù)就是求對(duì)數(shù).數(shù)學(xué)，真是太漂亮了!

數(shù)學(xué)最精彩的不是抽象性，而是概括性，即通殺性——以一個(gè)有限的模式搞定無(wú)窮的具體! 數(shù)學(xué)的概括性讓人跪拜!! 你不信? 請(qǐng)看平面向量基本定理：想象一下平面上有多少個(gè)向量? 向量有長(zhǎng)有短，長(zhǎng)至十萬(wàn)八千里，短至1 納米，還有無(wú)窮無(wú)盡的方向，這么多無(wú)窮無(wú)盡的向量如何掌控，我的媽呀，太復(fù)雜了! 不過(guò)所有向量都逃不出我數(shù)學(xué)佬的手心，我的世界我做主! 對(duì)于平面上的任意一個(gè)非零向量-→AB，我在這個(gè)平面上隨意選定兩個(gè)不共線的向量i,j，分別過(guò)起點(diǎn)A和終點(diǎn)B作直線a平行于i，直線b平行于j，因?yàn)閕和j不共線，所以直線a,b必然交于一點(diǎn)，根據(jù)向量的三角形法則和數(shù)乘向量就可得出-→AB=mi+nj.看到了吧，這么多無(wú)窮無(wú)盡的向量居然可以只用兩個(gè)不共線的已知向量i和j線性表示，哇，平面向量基本定理太簡(jiǎn)單了! 太概括了! 太強(qiáng)大了! 強(qiáng)大到以一個(gè)有限的模式駕馭無(wú)窮的具體! 老夫我不得不跪拜!! 還有哦，平面向量基本定理就是數(shù)乘向量的推廣，平面向量基本定理還可以推廣到三維空間，其方法、結(jié)果形式幾乎是一樣的.哇塞，數(shù)學(xué)是聯(lián)系的、統(tǒng)一的...，哦，My god，數(shù)學(xué)讓我，讓我心跳加快，血壓升高....

4.課堂教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)的案例

從內(nèi)容角度考慮，教數(shù)學(xué)就是要三教，即：一教概念；二教原理；三教問(wèn)題解決.決定一堂課好不好的核心要素是這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，以下是根據(jù)上述課堂教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)的理論標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行設(shè)計(jì)的案例.

4.1 數(shù)學(xué)概念教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)案例

案例一：對(duì)數(shù)概念第一節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)(“第六屆東芝杯中國(guó)師范大學(xué)師范專業(yè)理科大學(xué)生教學(xué)技能創(chuàng)新實(shí)踐大賽”數(shù)學(xué)組一等獎(jiǎng)(冠軍))[11]

知識(shí)與技能：理解對(duì)數(shù)的概念(即：對(duì)數(shù)loga N是一個(gè)實(shí)數(shù)，她十分有魅力，我喜歡稱她為“小鮮數(shù)”，你要問(wèn)我她等于多少，就是在問(wèn)底a的多少次冪等于真數(shù)N)以及指數(shù)與對(duì)數(shù)的互逆關(guān)系.

過(guò)程與方法：

①經(jīng)歷對(duì)數(shù)概念的提出過(guò)程，學(xué)習(xí)將乘法和除法轉(zhuǎn)化為指數(shù)的加減以及乘方和開方轉(zhuǎn)化為指數(shù)的乘除運(yùn)算的化歸思想；

②通過(guò)類比減法、除法、開方運(yùn)算學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)概念的過(guò)程，學(xué)習(xí)類比思想，積累垂直數(shù)學(xué)化的經(jīng)驗(yàn).

情感態(tài)度與價(jià)值觀：

①感受引入對(duì)數(shù)十分必要；

②領(lǐng)悟?qū)?shù)超強(qiáng)的簡(jiǎn)化運(yùn)算的功能；

③體會(huì)對(duì)數(shù)源于生活中數(shù)學(xué)運(yùn)算的需要，它有較高的科學(xué)價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值.

案例二：《雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程》第一節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能：

①理解雙曲線的定義；

②會(huì)推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

③明確雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中a,b,c的關(guān)系，知道怎樣求a,b,c；

④能分清什么形式的方程是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并知道焦點(diǎn)的位置與方程形式的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

過(guò)程與方法：

①經(jīng)歷用拉鏈畫雙曲線的活動(dòng)，培養(yǎng)動(dòng)手操作能力與合作意識(shí)，積累水平數(shù)學(xué)化的經(jīng)驗(yàn)；

②通過(guò)雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程，提高運(yùn)算化簡(jiǎn)能力，并最終形成這樣一種能力：“求曲線的方程實(shí)質(zhì)上就是求該曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式.為此，需要建立直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，抓住該曲線上的點(diǎn)滿足的幾何性質(zhì)，將此幾何性質(zhì)代數(shù)化得出方程，證明這個(gè)方程就是所求的方程”.

③通過(guò)拓展練習(xí)3 和4，學(xué)習(xí)分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法，并證明初中的反比例函數(shù)圖像就是雙曲線.

情感態(tài)度價(jià)值觀：

①通過(guò)用拉鏈畫雙曲線感受數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)的樂(lè)趣；

②通過(guò)發(fā)掘雙曲線定義的細(xì)節(jié)體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性；

③通過(guò)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程，感受“追求簡(jiǎn)單化”這一數(shù)學(xué)的靈魂；

④通過(guò)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程及圖像感受數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔、對(duì)稱、概括、統(tǒng)一之美.

4.2 數(shù)學(xué)原理教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)案例

案例三：《正弦定理》第一節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)(“第七屆東芝杯中國(guó)師范大學(xué)師范專業(yè)理科大學(xué)生教學(xué)技能創(chuàng)新實(shí)踐大賽”數(shù)學(xué)組一等獎(jiǎng)(冠軍))[12]

知識(shí)與技能：

①了解正弦定理的應(yīng)用背景，探索與證明正弦定理；

②理解正弦定理的“結(jié)構(gòu)不變性”和表達(dá)這一不變性的“字母可變性”.

③知道解三角形的概念，學(xué)會(huì)“正用”正弦定理解決三角形中“已知兩角一邊求其它”和“已知兩邊及其中一邊對(duì)角求其它”的問(wèn)題.

過(guò)程與方法：

①經(jīng)歷觀察發(fā)現(xiàn)、猜想并證明正弦定理的思路探索過(guò)程，學(xué)習(xí)由特殊到一般的思維方式，培養(yǎng)合情推理能力；

②通過(guò)嘗試定理的證明，領(lǐng)悟分類討論和化歸的數(shù)學(xué)思想.

情感態(tài)度價(jià)值觀：

①感受正弦定理的統(tǒng)一美、對(duì)稱美、簡(jiǎn)潔美；

②體會(huì)正弦定理的科學(xué)價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值，形成崇尚數(shù)學(xué)的精神.

案例四：《2.3 數(shù)學(xué)歸納法》教學(xué)目標(biāo)(“第五屆東芝杯中國(guó)師范大學(xué)師范專業(yè)理科大學(xué)生教學(xué)技能創(chuàng)新實(shí)踐大賽”數(shù)學(xué)組三等獎(jiǎng)(第9 名))[13]

知識(shí)與技能：

①理解兩步驟的必要性與合理性；

②會(huì)用它證明一些與正整數(shù)有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題.

過(guò)程與方法：

①借助具體問(wèn)題與直觀模型，經(jīng)歷數(shù)學(xué)歸納法的“再創(chuàng)造”過(guò)程，積累水平數(shù)學(xué)化的經(jīng)驗(yàn)；

②理解將無(wú)限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有限問(wèn)題的化歸思想，培養(yǎng)數(shù)學(xué)探究的意識(shí).

情感態(tài)度價(jià)值觀：喜歡數(shù)學(xué)歸納法，并體驗(yàn)以有限駕馭無(wú)限，以靜制動(dòng)的超強(qiáng)威力.

4.3 問(wèn)題解決教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)案例

案例五：《走進(jìn)數(shù)學(xué)建模世界》的教學(xué)目標(biāo)(“第二屆東芝杯中國(guó)師范大學(xué)師范專業(yè)理科大學(xué)生教學(xué)技能創(chuàng)新實(shí)踐大賽”數(shù)學(xué)組一等獎(jiǎng)(冠軍))[6]P231-243

知識(shí)與技能：

①理解數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)建模兩個(gè)概念；

②掌握框圖2——數(shù)學(xué)建模的過(guò)程.

過(guò)程與方法：

①經(jīng)歷解決實(shí)際問(wèn)題的全過(guò)程，初步掌握函數(shù)模型的思想與方法；

②提高學(xué)生通過(guò)建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

情感態(tài)度價(jià)值觀：

①體驗(yàn)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)學(xué)化過(guò)程；

②感受數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值，體會(huì)數(shù)學(xué)以不變應(yīng)萬(wàn)變的魅力.