北京市北京師范大學(xué)出版集團(tuán)(100875) 岳昌慶

我們知道：若a,b ∈R+，則a+b≥(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào))

(1)當(dāng)ab為定值m時(shí)，a+b的最小值為此時(shí)

(2)當(dāng)a+b為 定 值l時(shí)，ab的 最 大 值 為此 時(shí)

以上為均值不等式及其應(yīng)用的相關(guān)結(jié)論，形象地、簡單地說就是“一正二定三相等”.本文僅只談均值不等式在高考真題中的一個(gè)有趣的應(yīng)用.

例1(2007年高考山東卷理科第16 題(4 分填空壓軸題))函數(shù)y=loga(x+3)-1(a＞0 且a1)的圖像恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx+ny+1=0 上，其中mn＞0，則的最小值為____.

簡解由已知可得A(-2,-1)，所以2m+n=1，又mn＞0，故m＞0,n＞0，(當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取等號(hào)).

評(píng)注(1)本題巧妙利用已知條件1=2m+n代入目標(biāo)函數(shù)并將該目標(biāo)函數(shù)化成關(guān)于的均值不等式.(2)本題也可用換元法設(shè)則關(guān)于m,n的二元目標(biāo)函數(shù)本質(zhì)上就變?yōu)殛P(guān)于t的一元函數(shù)(t＞0)，于是可用求導(dǎo)的方法得到f(t)的最小值.以下各例不再一一提及.

例2(2012年高考浙江卷文科第9 題(5 分))若正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy，則3x+4y的最小值是( ).

簡解由已知可得則(當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取等號(hào))，故選C.

評(píng)注(1)將已知條件化為后，由于常數(shù)余則同例1.(2)本質(zhì)上，例2 與例1 的已知條件及目標(biāo)函數(shù)似是“互逆”的，且均有最小值.

例3(2013年高考天津卷理科第14 題5 分壓軸題)設(shè)a+b=2，b＞0，則當(dāng)a=____時(shí)，取得最小值.

簡解由已知可得b=2- a＞0，故a＜2.所以(當(dāng)且僅當(dāng)即b=2|a|即a+2|a|=2 時(shí)，取等號(hào))，即a=-2 時(shí)，取得最小值

評(píng)注(1)由于常數(shù)及已知條件a+b=2，代入中，余下同例1.(2)本質(zhì)上，是一個(gè)常數(shù)或

例4在4×○+9×△=60 的○△中，分別填入1 個(gè)自然數(shù)，使它們的倒數(shù)和最小，應(yīng)分別填上____和____.

簡解設(shè)○=x,△=y，則已知條件為4x+9y=60，目標(biāo)函數(shù)為(當(dāng)且僅當(dāng)即x=6=○，y=4=△時(shí)，取等號(hào)).

評(píng)注(1)當(dāng)我們用代數(shù)的思想設(shè)元來解決這個(gè)問題時(shí)，本質(zhì)上同例1.(2)由于常數(shù)及已知條件4x+9y=60，代入目標(biāo)函數(shù)即可得.

這種類型的題目頻頻出現(xiàn)在高考真題中，既有其知識(shí)點(diǎn)考查的必要性，也有其數(shù)學(xué)思想方法考查的趣味性.

作業(yè)1(2007年高考山東卷文科第14 題(4 分))函數(shù)y=a1-x(a＞0，a1)的圖像恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx+ny-1=0(mn＞0)上，則的最小值為____.

作業(yè)2(2004年高考重慶卷文科第14 題(5 分))已知?jiǎng)txy的最小值是____.

作業(yè)3(2013年高考天津卷文科第14 題(5 分壓軸題))設(shè)a+b=2，b＞0，則的最小值為____.