廣東省廣州市禺山高級中學(511483) 藍賢光

題目1 已知實數(shù)x,y滿足x2+2xy+4y2=6，則x2+4y2的最大值是____.

題目1是我校的一次高三數(shù)學階段性測試中的一道填空題，本題看似普通、簡單，但卻暗藏玄機!由基本不等式得

本題也可以采用以下方法：

由條件等式得(x+2y)2=6+2xy，又(x+2y)2≥0，所以6+2xy≥0，即-2xy≤6，于是x2+4y2=6-2xy≤12，即x2+4y2的最大值是12.

對于題目1，由于x2+4y2在條件等式中已經(jīng)出現(xiàn)了，因而才有以上兩種簡單而又巧妙的方法.但對于下列各題，就沒有這么“幸運”了：

題目2已知實數(shù)x,y滿足x2+2xy+4y2=6，則x2+y2的最小值、最大值分別是____.

題目3(2017年浙江省寧波市數(shù)學高考模擬試題第17題)已知實數(shù)x,y滿足6x2+4y2+6xy=1，則x2-y2的最大值是____.

題目4(2017年清華大學自主招生試題第12 題)已知實數(shù)x,y滿足5x2-y2-4xy=5，則2x2+y2的最小值是____.

題目5(2011年浙江省數(shù)學高考理科試題第16 題改編)已知實數(shù)x,y滿足4x2+xy+y2=1，則x-y的最小值是____，x+2y的最大值是____.

筆者查閱了一些文獻，發(fā)現(xiàn)對于這類條件最值問題，大多數(shù)都是采用“三角代換法”或“化奇次法”，其運算量是較大的.是否有其他的解決方法? 為此，筆者進行了探究.

在題目1 中：由條件等式可得6-(x2+4y2)=2xy，由基本不等式得-(4x2+y2)≤ 4xy≤ 4x2+y2，即于是有即4 ≤4x2+y2≤12，從而4x2+y2的最小值是4，最大值是12.

據(jù)此，我們作出大膽的猜想：由題目2 中的條件等式可得6-(x2+y2)=3y2+2xy，若存在實數(shù)λ和μ使得μ(x2+y2)≤3y2+2xy≤λ(x2+y2)，則也可求得x2+y2的最值.

下面我們看能否找到這個能“擔此重任”的實數(shù)λ和μ：

由3y2+2xy≤λ(x2+y2)得λx2+(λ-3)y2≥2xy，當λ≥3 時由基本不等式得比較以上兩個不等式的右邊，令解得由3y2+2xy≤μ(x2+y2)得-μx2+(3-μ)y2≥-2xy，當μ≤0 時由基本不等式得-μx2+比較以上兩個不等式的右邊，令解得于是我們有即從而可求得x2+y2的最小值、最大值分別是和

猜想成立，解法巧妙!

一般地，設實數(shù)x,y滿足ax2+by2+cxy=d，其中a、b、c、d、m、n為已知的非零實數(shù)，則d-(mx2+ny2)=(a - m)x2+(b - n)y2+cxy.若存在實數(shù)λ和μ，使得λ(mx2+ny2)≤(a-m)x2+(b-n)y2+cxy≤μ(mx2+ny2)，即λ(mx2+ny2)≤d-(mx2+ny2)≤μ(mx2+ny2)，由此即可求出mx2+ny2的最值.其中實數(shù)λ和μ的尋求方法是：由(a-m)x2+(b-n)y2+cxy≥λ(mx2+ny2)得(a-mλm)x2+(b-n-λn)y2≥-cxy，當a-m-λm≥0 且b-n-λn≥0 且c≤0 時，令當a - m - λm≥0 且b - n - λn≥0 且c≥0 時，令即可求得實數(shù)λ；由(a-m)x2+(b-n)y2+cxy≤μ(mx2+ny2)得(μm+ma)x2+(μn+n-b)y2≥cxy，當μm+m-a≥0 且μn+n-b≥0 且c≥0 時，令當μm+m - a≥ 0 且μn+n - b≥0 且c≤ 0 時，令即可求得實數(shù)μ.

我們不妨把上述方法稱之為待定系數(shù)法，下面用這種方法來完成題目3-題目5：

在題目3 中，由條件等式可得1-(x2-y2)=5x2+5y2+6xy.假設存在實數(shù)λ使得5x2+5y2+6xy≥λ(x2-y2)，即(5-λ)x2+(5+λ)y2≥-6xy.當-5 ≤λ≤5 時由基本不等式得比較上述兩個不等式的右邊，令解得λ=4(舍去λ=-4).于是由5x2+5y2+6xy≥4(x2-y2)可得1-(x2-y2)≥4(x2-y2)，由此可求得x2-y2的最大值是(若取λ=-4，可以得到x2-y2的最小值是

在題目4 中，由條件等式可得5-(2x2+y2)=3x2-2y2-4xy.假設存在實數(shù)λ使得3x2-2y2-4xy≤λ(2x2+y2)，即(2λ-3)x2+(λ+2)y2≥-4xy.當時由基本不等式得√比較上述兩個不等式的右邊，令解得λ=2.于是由3x2-2y2-4xy≤2(2x2+y2)得5-(2x2+y2)≤2(2x2+y2)，由此可求得2x2+y2的最小值是

在題目5 中，由條件等式可得1-(x-y)2=3x2+3xy.假設存在實數(shù)λ使得3x2+3xy≥λ(x-y)2，即(3-λ)x2+(-λ)y2≥-(3+2λ)xy.當-≤λ≤0 時由基本不等式得比較上述兩個不等式的右邊，令解得時由基本不等式得(3-λ)x2+(-λ)y2≥令無解.于是由3x2+3xy≥得由此可求得x-y的最小值是

由條件等式可得1-(x+2y)2=3x2-3y2-3xy.假設存在實數(shù)λ使得3x2-3y2-3xy≥λ(x+2y)2，即(3-λ)x2+(-3-4λ)y2≥(3+4λ)xy.當時由基本不等式得比較上述兩個不等式的右邊，令3+4λ，解得于是由得從而x+2y的最大值是2.