田明浩,徐曉丹,劉 芳,馮永新

(沈陽(yáng)理工大學(xué) 通信與網(wǎng)絡(luò)工程中心,沈陽(yáng) 110159)

目前,混沌非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)因具有類似于白噪聲的統(tǒng)計(jì)特性、確定性、類隨機(jī)性等特點(diǎn),并且易產(chǎn)生、易復(fù)制、對(duì)初始值極端敏感而被廣泛應(yīng)用于擴(kuò)頻通信領(lǐng)域[1]。隨著對(duì)混沌序列的深入研究,傳統(tǒng)一維混沌偽隨機(jī)序列存在一定的局限性,序列生成方式過于簡(jiǎn)單,隨機(jī)性差,復(fù)雜性低,容易被敵方破解[2]。因此,如何改善混沌偽隨機(jī)序列性能成為近年來該研究領(lǐng)域的焦點(diǎn)[3]。鑒于此,本文提出一種復(fù)合混沌優(yōu)選序列,該序列通過用kent映射輸出控制chebyshev序列的系統(tǒng)參數(shù),分段logistic映射輸出來控制chebyshev映射的初值,chebyshev映射輸出再反控分段logistic映射初值,最后將chebyshev和kent序列進(jìn)行異或得到復(fù)合混沌序列,再選取合適的初值及分形參數(shù)得到復(fù)合混沌優(yōu)選序列。

通過分析發(fā)現(xiàn)該序列提高了序列的復(fù)雜度,并且具有良好的平衡性、隨機(jī)性和相關(guān)性。

1 傳統(tǒng)一維混沌映射

目前,由于一維混沌映射其產(chǎn)生方式簡(jiǎn)單,生成序列眾多而被廣泛應(yīng)用于擴(kuò)頻通信中,現(xiàn)在比較常見的、統(tǒng)計(jì)性能較好的一維混沌映射主要有以下3種,其表達(dá)式以及初值和系統(tǒng)參數(shù)的取值范圍如下。

(1)a階chebyshev映射的表達(dá)式為

Xn+1=cos(acos-1Xn),-1≤Xn≤1

(1)

式中：初值Xn的取值范圍為[-1,1]；Xn+1是系統(tǒng)輸出；系統(tǒng)參數(shù)a取值范圍是a≥2時(shí),該混沌系統(tǒng)處于混沌狀態(tài),當(dāng)a≥4時(shí)該系統(tǒng)達(dá)到滿映射狀態(tài)[4]。

(2)Kent映射的表達(dá)式為

(2)

式中：初值Xn的取值范圍為(0,1)；Xn+1是系統(tǒng)輸出；系統(tǒng)參數(shù)a取值范圍在(0,1)時(shí),該混沌系統(tǒng)處于混沌狀態(tài),根據(jù)文獻(xiàn)[4-5]可知,在a=0.4997時(shí)的混沌狀態(tài)最好[4-5]。

(3)分段logistic映射的表達(dá)式為

(3)

式中：初值Xn的取值范圍為[-1,1]；Xn+1是系統(tǒng)輸出；系統(tǒng)參數(shù)a取值范圍在(0,2]時(shí),該混沌系統(tǒng)處于混沌狀態(tài),經(jīng)過實(shí)驗(yàn)可得,該系統(tǒng)在a∈(1.8,2]時(shí)都可以達(dá)到滿映射的狀態(tài)[6]。

2 復(fù)合混沌優(yōu)選序列產(chǎn)生方法

基于上述三種一維混沌映射作為擴(kuò)頻偽隨機(jī)序列數(shù)量眾多,統(tǒng)計(jì)特性較好,但其實(shí)現(xiàn)方式單一,復(fù)雜度低,隨機(jī)性較差的特點(diǎn),提出了一種復(fù)合混沌優(yōu)選序列,其產(chǎn)生原理是:將chebyshev映射和分段logistic映射進(jìn)行初值互控,并采用kent映射對(duì)chebyshev映射進(jìn)行參數(shù)控制,再將二者的輸出進(jìn)行異或生成復(fù)合混沌序列,經(jīng)過實(shí)驗(yàn),選取合適的初值以及分形參數(shù),得到復(fù)合優(yōu)選混沌序列。其原理框圖如圖1所示。

由圖1看出,該混沌系統(tǒng)可以看作由三大部分組成,第一部分為初值控制模塊,第二部分為參數(shù)控制模塊,第三部分為疊加模塊?；?chebyshev映射的初值和分形參數(shù)的取值范圍都比較廣,所以選用其作為中心序列,其初值和分形參數(shù)分別由分段logistic映射和kent映射控制,這里初值和參數(shù)是根據(jù)查閱文獻(xiàn)和大量實(shí)驗(yàn)篩選得出的。

在第一部分，中由于分段logistic映射的初值取值范圍和chebyshev映射的初值范圍相同,所以選用分段logistic映射的輸出來控制chebyshev映射的初值,為增加序列的不可預(yù)測(cè)性,用chebyshev映射的輸出反控制分段logistic映射的初值,給定分段logistic映射初值為0.76,系統(tǒng)參數(shù)為2。

第二部分中采用均勻性較好的kent映射控制chebyshev映射的分形參數(shù),來增加參數(shù)的多變性,給定kent映射的初值為0.76,系統(tǒng)參數(shù)為0.4997,chebyshev映射的系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置為ac=4+4f1。

第三部分中將chebyshev映射的輸出與kent映射的輸出進(jìn)行二值化后異或,既產(chǎn)生了復(fù)合混沌優(yōu)選序列。

圖1 復(fù)合混沌優(yōu)選序列原理框圖

3 復(fù)合混沌優(yōu)選序列的性能分析

通信系統(tǒng)中偽隨機(jī)序列性能的好壞會(huì)影響通信系統(tǒng)的性能[7-8],而偽隨機(jī)序列的性能主要由復(fù)雜度、平衡性、游程特性、相關(guān)性和隨機(jī)性這幾個(gè)特性來體現(xiàn),其中,平衡性、游程特性和相關(guān)性可以歸為PN序列(Pseudo-noise Sequence)檢驗(yàn),所以復(fù)合混沌優(yōu)選序列作為混沌偽隨機(jī)序列,也要分析這些特性。

在理論分析的基礎(chǔ)上,基于Matlab 2015a 仿真軟件,使用Matlab語言對(duì)序列的復(fù)雜性、PN序列檢驗(yàn)和隨機(jī)性等方面進(jìn)行分析驗(yàn)證,這里的PN序列檢驗(yàn)指的是對(duì)序列的平衡性、游程特性和相關(guān)性進(jìn)行檢驗(yàn)。

3.1 復(fù)雜性分析

序列的復(fù)雜性會(huì)影響序列的隨機(jī)性和不確定性；復(fù)雜度越高,隨機(jī)性和不確定性越好。序列的復(fù)雜性可用近似熵(approximate entropy，ApEn)來衡量[9-11],不同序列長(zhǎng)度對(duì)序列復(fù)雜性的影響以及不同混沌序列的復(fù)雜性情況如表1所示。

表1 序列復(fù)雜性

由表1中可以看出,隨著混沌序列長(zhǎng)度的增加,混沌序列的復(fù)雜度增加,并且同一序列長(zhǎng)度下混合混沌序列的ApEn值最大,即它的復(fù)雜度最高,表現(xiàn)出了更好的隨機(jī)性和不確定性。

3.2 PN序列檢驗(yàn)

PN序列檢驗(yàn)就是檢驗(yàn)混沌序列作為偽隨機(jī)序列是否滿足Golomb提出的三點(diǎn)隨機(jī)性公設(shè),分別是平衡性、游程特性和相關(guān)性[12]。

因?yàn)樾蛄械钠胶庑院洼d波抑制度有密切聯(lián)系,平衡性差的序列會(huì)導(dǎo)致載波泄露,易使信息暴露、丟失、被截獲、破解等,所以一般要求混沌偽隨機(jī)序列的平衡度E<0.02[13]?；煦缧蛄性诔踔捣秶鷥?nèi)平衡度的平均值如表2所示。

表2 平衡度均值

由表2可以看出,復(fù)合混沌序列有均衡的0-1比,并且滿足E<0.02的要求,滿足Golomb偽隨機(jī)假設(shè)的第一條件。

游程特性是表征碼序列隨機(jī)性的一個(gè)重要方面,表3是混沌序列的游程統(tǒng)計(jì)結(jié)果,混沌序列長(zhǎng)度L設(shè)為3000。

表3 序列游程特性

由表3可以看出,序列長(zhǎng)度為L(zhǎng)的“0”串和“1”串個(gè)數(shù)大致相等,且占整個(gè)二進(jìn)制序列總游程個(gè)數(shù)的1/2L,滿足Golomb偽隨機(jī)假設(shè)的第二條件。

因混沌偽隨機(jī)序列的相關(guān)性對(duì)通信系統(tǒng)非常重要,要分析的因素較多,所以下面要對(duì)混沌序列的相關(guān)性展開具體的分析。

混沌序列作為偽隨機(jī)序列,要有良好的相關(guān)性能,自相關(guān)值需近似于δ函數(shù),以利于擴(kuò)頻碼的檢測(cè)與同步；而互相關(guān)值需接近于0[13],以有效地抑制不同擴(kuò)頻碼之間的干擾,這對(duì)通信中的多址應(yīng)用十分重要[14]。理論中無限長(zhǎng)度的混沌序列能滿足上述條件,但實(shí)際上混沌序列使用時(shí)都需要截短處理,這樣會(huì)影響混沌序列的相關(guān)性。除此之外,混沌序列的初值也會(huì)影響序列的相關(guān)性,經(jīng)過大量測(cè)試后發(fā)現(xiàn)復(fù)合混沌序列在初值為0.76時(shí)的相關(guān)性能較好,所以以此初值產(chǎn)生的混沌序列來進(jìn)行測(cè)試。

(1)自相關(guān)性

設(shè)混沌序列S的長(zhǎng)度為N,則自相關(guān)函數(shù)為[15]

(4)

式中:k為序列點(diǎn);n為偏移點(diǎn)數(shù);R(n)為自相關(guān)峰值。

自相關(guān)峰值最大值[15]

(5)

式中Rmax為自相關(guān)峰值最大值。

自相關(guān)旁瓣最大值[15]

(6)

式中Rmax1為自相關(guān)旁瓣最大值。

圖2為復(fù)合混沌序列和幾種一維混沌序列在不同序列長(zhǎng)度下的自相關(guān)峰值比的對(duì)比圖。

圖2 序列長(zhǎng)度對(duì)自相關(guān)峰值比的影響圖

由圖2可看出,幾種混沌序列的自相關(guān)峰值比都隨著序列長(zhǎng)度的增加而逐漸增大；在較短的長(zhǎng)度下,幾種混沌序列的自相關(guān)峰值比相差較??；隨著長(zhǎng)度的增加,漸漸出現(xiàn)差異,并且,復(fù)合混沌序列的自相關(guān)峰值比逐漸高于其它混沌序列,表現(xiàn)出良好的自相關(guān)性。

(2)互相關(guān)性

設(shè)混沌序列S1和S2的長(zhǎng)度為N,則互相關(guān)函數(shù)為[15]

(7)

式中：k為序列點(diǎn)；n為偏移點(diǎn)數(shù)；C(n)為互相關(guān)峰值。

互相關(guān)峰值最大值為[15]

(8)

式中Cmax為互相關(guān)峰值最大值。

互相關(guān)均方值為[15]

(9)

式中σc為互相關(guān)均方值。

圖3、圖4分別為復(fù)合混沌序列和幾種一維混沌序列的互相關(guān)最大峰值及均方值在不同序列長(zhǎng)度下的變化曲線圖。

圖3 序列長(zhǎng)度對(duì)互相關(guān)最大峰值的影響圖

圖4 序列長(zhǎng)度對(duì)互相關(guān)均方值的影響圖

從圖3的整體趨勢(shì)可看出,隨著序列長(zhǎng)度的增加,這幾種混沌序列的互相關(guān)最大值都越來越接近于零,復(fù)合混沌優(yōu)選序列的互相關(guān)最大值與其它序列相差不大,且大部分處于其它序列下方。

從圖4可看出,這幾種序列的互相關(guān)均方值基本相同,并且整體趨勢(shì)都是隨著序列長(zhǎng)度的增加越來越接近于零。

這兩個(gè)圖說明復(fù)合混沌優(yōu)選序列同樣具有良好的互相關(guān)性。

結(jié)合以上分析,復(fù)合混沌優(yōu)選序列具有類似δ-like的性質(zhì),其自相關(guān)函數(shù)有尖銳的相關(guān)峰,互相關(guān)峰值接近于零,說明復(fù)合混沌序列的相關(guān)性能良好,滿足Golomb偽隨機(jī)假設(shè)的第三條件[15]。

3.3 隨機(jī)性分析

除上述性能檢驗(yàn)之外,作為偽隨機(jī)序列,還需要檢驗(yàn)其隨機(jī)性。在通信系統(tǒng)中,序列隨機(jī)性能跟系統(tǒng)的信息安全性能息息相關(guān),隨機(jī)性能良好的偽隨機(jī)序列,系統(tǒng)的信息安全性也好。因此對(duì)混合混沌序列也要進(jìn)行隨機(jī)性分析[16]。

檢驗(yàn)復(fù)合混沌序列的隨機(jī)性能常用的是NIST測(cè)試[17],由確定系統(tǒng)和算法產(chǎn)生的序列,最主要的測(cè)試包括其頻數(shù)測(cè)試、游程測(cè)試、譜測(cè)試和近似熵測(cè)試[18]。按照NIST測(cè)試的要求,為保證測(cè)試結(jié)果的可靠性和準(zhǔn)確性,每個(gè)被測(cè)序列的長(zhǎng)度應(yīng)為103～107。因此,選取每個(gè)序列長(zhǎng)度為106[19]。

表4是混沌序列的隨機(jī)性測(cè)試結(jié)果.

由表4可以看出,分段logistic映射和kent映射部分測(cè)試項(xiàng)沒有通過；chebyshev映射雖然通過全部測(cè)試,但測(cè)試值較低；而復(fù)合混沌映射不僅完全通過了這幾項(xiàng)測(cè)試,并且每一項(xiàng)測(cè)試值都高于其它混沌序列,說明復(fù)合混沌映射的隨機(jī)性更好。

表4 隨機(jī)性能測(cè)試結(jié)果

4 結(jié)束語

針對(duì)單一的一維混沌偽隨機(jī)序列實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單、復(fù)雜度低、隨機(jī)性差、在擴(kuò)頻通信中容易被反向破解的問題,本文提出用多種一維混沌映射相互控制并進(jìn)行異或疊加的方法,構(gòu)成一個(gè)復(fù)合混沌優(yōu)選序列。對(duì)比于單一的混沌序列,這種多映射的參數(shù)互控的復(fù)合混沌優(yōu)選序列不僅明顯提高了序列的復(fù)雜度和隨機(jī)性,而且也滿足PN序列檢驗(yàn)的要求,能夠作為偽隨機(jī)序列應(yīng)用到擴(kuò)頻通信中。