廣東省開平市開僑中學(xué)(529300) 楊春傳

追本溯源回歸教材—淺論用真分式不等式,解決一類求和型數(shù)列不等式的證明問(wèn)題

廣東省開平市開僑中學(xué)(529300) 楊春傳

在高考解答題中,常滲透數(shù)列與不等式證明的內(nèi)容這個(gè)難點(diǎn),在證明過(guò)程中,要適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行放縮,但放縮的范圍較難把握,常常出現(xiàn)放縮后得不出結(jié)論或得到相反結(jié)論的現(xiàn)象.常規(guī)方法要求抓住題目的特點(diǎn),掌握放縮技巧,并且還要根據(jù)不同題目的類型,采用恰到好處的放縮方法,才能把題解活.還要求學(xué)生掌握比較多的放縮技巧,這對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō),是很難做到的.但是如果我們追本溯源,回歸教材,就會(huì)發(fā)現(xiàn)教材已經(jīng)給出了很好的解決問(wèn)題的方法.

人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書選修4-5中有這樣一個(gè)真分?jǐn)?shù)不等式:已知0＜a＜b,m＞0,則它具有生動(dòng)的現(xiàn)實(shí)情境:“糖水加糖變甜了”.其證明方法有分析法、綜合法、反證法、放縮法、構(gòu)造法等10多種證明方法,它不僅可以作為一個(gè)不等式證明的基本模型,很多高考題都可以用它來(lái)求解.下面我們利用精確放縮證明通項(xiàng)形如:且f(n)?a＞b＞0的求和型數(shù)列不等式的證明,希望能拋磚引玉,并說(shuō)明求解高考題時(shí)可以化歸為課本己解決的問(wèn)題來(lái)求解.

一、真分?jǐn)?shù)不等式的證明.

二、用真分?jǐn)?shù)不等式精確放縮求和型數(shù)列不等式的原理.

進(jìn)一步化簡(jiǎn)得

其中xb+a≤f(n)恒成立.它的化學(xué)意義是:通過(guò)x控制加糖量控制好糖水濃度.而在數(shù)學(xué)上,我們可以通過(guò)調(diào)整x的值進(jìn)行精確放縮.

三、用真分?jǐn)?shù)不等式精確放縮求和型數(shù)列不等式的應(yīng)用舉例.

例1已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足an+1= Sn+n+1(n∈N?),且a2,a3+2,a4成等差數(shù)列.

(1)求a1;

(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

令

恒成立,從而

解得x≤3,取x=3得

如果本題想放縮得更精確,則可以保留第一項(xiàng)(越精確,保留的項(xiàng)數(shù)越多),從第二項(xiàng)開始應(yīng)用真分?jǐn)?shù)不等式,即令

例2(2012年高考廣東卷(理19))設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,滿足2Sn=an+1?2n+1+1,n∈N?,且a1,a2+5,a3成等差數(shù)列.

(1)求a1的值;

(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

例3(2014年佛山一模(理20))數(shù)列{an}、{bn}的每一項(xiàng)都是正數(shù),a1=8,b1=16,且an、bn、an+1成等差數(shù)列,bn、an+1、bn+1成等比數(shù)列,n=1,2,3,···.

(1)求a2、b2的值;

(2)求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式;

例4已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1+2a2+ 3a3+···+nan=(n?1)Sn+2n(n∈N?).

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

兩式相減得

例5(2009年高考廣東卷(理21))已知曲線Cn: x2?2nx+y2=0(n=1,2,···).從點(diǎn)P(?1,0)向曲線Cn引斜率為kn(kn＞0)的切線ln,切點(diǎn)為Pn(xn,yn).

(1)求數(shù)列{xn}與{yn}的通項(xiàng)公式;

又由真分?jǐn)?shù)不等式得

同樣的,像這種求積型的數(shù)列不等式的證明問(wèn)題,可直接運(yùn)用真分?jǐn)?shù)不等式放縮求解.

通過(guò)以上例子的證明過(guò)程可以知道,高考中的不少難題,很多都可以化歸為教材中已經(jīng)解決的一些問(wèn)題來(lái)解決.由于很多高考題,直接取自教材,或?yàn)樵}、或?yàn)轭愵},或是課本概念、例題、習(xí)題的改編,或是教材中的幾個(gè)題目、幾種方法的串聯(lián)、并聯(lián)、綜合與開拓,即便是少量的難題,也是按照課本內(nèi)容設(shè)計(jì)的,只是在綜合性、靈活性上要求較高.總而言之,我們?cè)诮鉀Q問(wèn)題時(shí),要學(xué)會(huì)“追本溯源,回歸教材”.