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        構(gòu)造函數(shù)法在不等式中的應(yīng)用

        2019-01-06 02:11:25盧岱
        關(guān)鍵詞:構(gòu)造函數(shù)單調(diào)性不等式

        盧岱

        【摘要】不等式問題的求解或證明是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容,能夠培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)想思維和多種技巧.本文立足于高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與探究,針對許多復(fù)雜的不等式問題,構(gòu)造新的函數(shù),通過對新函數(shù)的單調(diào)性研究獲得問題的解決方法,從而展示了構(gòu)造函數(shù)法在不等式中的應(yīng)用.

        【關(guān)鍵詞】不等式;構(gòu)造函數(shù);單調(diào)性

        一、引 言

        不等式是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn).對于一些簡單的不等式問題,傳統(tǒng)的解題方法有比較法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法、分析法、重要不等式法等.對于比較難或者抽象的不等式問題,傳統(tǒng)方法具有局限性.但是,不等式靈活多變的求解及證明過程,也是有規(guī)律可循的.事實(shí)上,任何不等式都可以表示為

        也就是說,不等式問題實(shí)際上就是一個(gè)求極值(最值)問題.我們知道,極值問題的求解可以依照以下幾個(gè)步驟實(shí)現(xiàn):

        1.求導(dǎo)數(shù)f′(x).

        2.研究導(dǎo)數(shù)的符號,求得函數(shù)的單調(diào)性.

        3.研究導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn),判斷函數(shù)的極值點(diǎn).

        4.求出最值點(diǎn).

        因此,通過把不等式適當(dāng)變形,再構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),通過對其導(dǎo)數(shù)的研究,獲得函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性、極值、最值,常能使不等式問題獲得簡捷明了的解決方法.

        利用構(gòu)造法解決不等式問題的步驟一般為:(1)對不等式進(jìn)行合理變形,進(jìn)而構(gòu)造一個(gè)或多個(gè)函數(shù);(2)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;(3)得出不等式結(jié)論.其中,如何構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵,也是難點(diǎn).本文總結(jié)了幾類構(gòu)造函數(shù)的方法,并通過實(shí)例得出了規(guī)律性的認(rèn)識,具有較強(qiáng)的針對性和實(shí)效性.

        二、不等式問題中構(gòu)造函數(shù)的幾種方法

        三、結(jié) 論

        不等式問題是中學(xué)數(shù)學(xué)一個(gè)重要的知識點(diǎn),證明的方法多種多樣.針對不同的類型合理地構(gòu)造函數(shù),將其導(dǎo)數(shù)作為一種研究工具,利用相關(guān)的理論,會(huì)將靈活多變的不等式問題變得更加簡單.

        通過以上例題,我們體會(huì)到,不論采用哪種方法構(gòu)造函數(shù),都需要在解題時(shí)細(xì)心觀察與分析,類比聯(lián)想與變形轉(zhuǎn)化,自主探究與自我反思,盡量使所構(gòu)造的函數(shù)容易求導(dǎo)、容易判斷函數(shù)的符號.

        【參考文獻(xiàn)】

        [1]竺寶林.例談導(dǎo)數(shù)視角下“構(gòu)造函數(shù)證明不等式問題”的解決策略[J].中國數(shù)學(xué)教學(xué),2018(3):45-48.

        [2]賀建勛.例談構(gòu)造函數(shù)證明不等式[J].中國數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2017(4):36-38.

        [3]常顯貞.構(gòu)造法在不等式證明中的應(yīng)用[J].教學(xué)與管理,1992(5):34-35.

        [4]藍(lán)云波.也談構(gòu)造函數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)解答不等式恒成立問題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2016(5):31-33.

        [5]武增明.構(gòu)造函數(shù)證明不等式的數(shù)學(xué)思維途徑[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2018(12):21-22.

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